1.3乘法公式第4课时（同步课件）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（北师大版2024）

1.3 乘法公式 第1章 整式的乘除 第4课时 北师大版（2024） 七年级 下册 学习目标 1.进一步掌握完全平方公式；(重点) 2.灵活运用完全平方公式进行计算．(难点) 新课导入 复习回顾 1.完全平方公式:(a+b)2=　 　　　　; (a-b)2=　 　　　　.  即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的 　　　　　　.  a2+2ab+b2 a2-2ab+b2 乘积的2倍 2.简记为：首平方，尾平方，积的两倍放中央，和是加差是减． 新课导入 情境引入 有一个王国的公主被妖怪抓到了森林里,两个农夫一起去森林打猎时打死了妖怪救出了公主,国王要赏赐他们.这两个农夫原来各有一块边长为a米的正方形土地,第一个农夫就对国王说:“您可不可以再给我一块边长为b米的正方形土地呢?”国王答应了他,国王问第二个农夫:“你是不是要跟他一样啊?”第二个农夫说:“不,我只要您把我原来的那块地的边长增加b米就好了”.国王想不通了,他说:“你们的要求不是一样的吗?” 第一个农民的土地扩大后面积为(a2+b2)米2, 第二个农民的土地扩大后面积为(a+b)²米2. 思考：a²+b²与(a+b) ²有什么关系? 新课讲授 探究一：运用完全平方公式简便运算 思考：怎样计算1022，992更简便呢？ 解:(1)1022=(100+2)2 =1002+2×100×2+22 =10000+400+4 =10404. (2)1972=(200-3)2 =2002-2×200×3+32 =40000-1200+9 =38809. 你是怎样做的？与同伴进行交流. 新课讲授 解:(1)原式=(100-0.2)2 =1002-2×100×0.2+0.04 =10000-40+0.04 =9960.04. 1.计算:(1)99.82; (2). (2)原式= = =90000+200+ =90200. 新课讲授 探究二：综合利用乘法公式进行计算 计算:(1)(x+3)2-x2;　 (2)(a+b+3)(a+b-3); 解:(1)方法一:(x+3)2-x2 =x2+6x+9-x2 =6x+9. (2)(a+b+3)(a+b-3) =[(a+b)+3][(a+b)-3] =(a+b)2-32 =a2+2ab+b2-9. 方法二:逆用平方差公式 (x+3)2- x2 =(x+3+x)(x+3- x) =(2x+3)·3=6x+9. 思考：有几种计算方法？ 新课讲授 (3)(x+5)2-(x-2)(x-3)； (4)[(a+b)(a-b)]2. (3)(x+5)2-(x-2)(x-3) =x2+10x+25-(x2-5x+6) =x2+10x+25-x2+5x-6 =15x+19. 注意:不要漏掉括号. (4)[(a+b)(a-b)]2 =(a2-b2)2 =a4-2a2b2+b4. 新课讲授 方法归纳 乘法公式的应用技巧： (1)在计算两数的平方差时，若底数是多项式，则可以直接利用完全平方公式展开后，再合并同类项，也可以把它看成一个整体，逆用平方差公式计算. (2)不能直接应用公式进行计算的式子,可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行; (3)减去多项式乘多项式时，需注意添括号. 新课讲授 探究三：完全平方公式的常见变形及应用 1×1 2×2 3×3 ... 观察下图，你认为(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵中的点数之和一样多吗?请用所学的公式解释自己的结论. 观察·思考 不一样多. (m+m)2=m2+n2-2mn ≠m2+n2 新课讲授 解:(1)a2+b2 =(a+b)2-2ab =32-2×1 =7. (2)(a-b)2 =(a+b)2-4ab =32-4×1 =5. 已知a+b=3,ab=1,求: (1)a2+b2的值; (2)(a-b)2的值. 尝试·思考 新课讲授 知识归纳 完全平方公式的常见变形： (1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; (2)(a+b)2-(a-b)2=4ab; (3)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2). 典例分析 例1：借助乘法公式计算:(1)79.82; (2)1992-201×199. 解:(1)79.82=(80-0.2)2 =802-2×80×0.2+0.22 =6400-32+0.04 =6368.04. (2)1992-201×199 =(200-1)2-(200+1)(200-1) =2002-2×200+1-(2002-1) =2002-400+1-2002+1 =-400+2=-398. 典例分析 例2：计算:(1)(x+2y-3)(x+2y+3); (2)(2a-b+c)(2a+b-c). 解:(1)原式=[(x+2y)-3][(x+2y)+3] =(x+2y)2-32 =x2+4xy+4y2-9. (2)原式=[2a-(b-c)][2a+(b-c)] =(2a)2-(b-c)2 =4a2-b2+2bc-c2. 典例分析 例3：已知a+b=10,a2+b2=4,求ab的值. 解:因为(a+b)2=a2+2ab+b2, 所以102=4+2ab, 所以100=4+2ab, 解得ab=48. 学以致用 1.将9.52变形,正确的是 (　　) A.9.52=92+0.52 B.9.52=(10+0.5)(10-0.5) C.9.52=102-2×10×0.5+0.52 D.9.52=92+9×0.5+0.52 C 2.下列计算正确的是 (　　) A.(b-4c)2=b2-16c2 B.(a-2bc)2=a2+4abc+4b2c2 C.(x+y)2=x2+xy+y2 D.(4m-n)2=16m2-8mn+n2 D 3.若(a+b)2=(a-b)2+A,则A为 (　　) A.2ab B.-2ab C.4ab D.-4ab C 学以致用 5.如图①,把一个长为2m,宽为2n(n<m)的长方形对折两次后展开,再用剪刀沿图中折痕剪开,把它分成四块完全相同的小长方形,然后按图②那样拼成一个大正方形,则中间空白部分的面积是(　　) A.2m B.(m+n)2 C.(m-n)2 D.m2-n2 4.一个长方形的长、宽分别为a,b,周长为14,面积为10,则a2+b2等于 (　　) A.27 B.29 C.31 D.32 B C 学以致用 7.一个正方形的边长增加3 cm,它的面积就增加45 cm2,则这个正方形的边长是　　　　.  6.化简:(x+2)2+4(1-x)=　　　　.  x2+8 6 cm 8.若a+b+c=4,ab+bc+ca=4,则a2+b2+c2的值为　　　　.  8 9.运用完全平方公式计算：(1) 962 ； (2) 2032 . 解：(1)原式=(100-4)2 =1002+42-2×100×4 =10000+16-800 =9216； (2)原式=(200+3)2 =2002+32++2×200×3 =40000+9+1200 =41209. 学以致用 10.计算:(1)(x+1)2-(x+2)(x-2); (2)(a+2b)(a-2b)+(a+2b)2-4ab; (3)(2a-b+c)(2a+b-c). 解:(1)原式=x2+2x+1-x2+4 =2x+5. (3)原式=[2a-(b-c)][2a+(b-c)] =(2a)2-(b-c)2 =4a2-b2+2bc-c2. (2)原式=a2-4b2+a2+4ab+4b2-4ab =2a2. 学以致用 11.若a+b=5,ab=－6, 求a2+b2,a2－ab+b2. 解：a2+b2 =（a+b)2－2ab =52-2×(－6) =37； a2－ab+b2 =a2+b2－ab =37－(－6) =43. 学以致用 12.胜利公园有一块正方形草坪,需要修整成一块长方形草坪,在修整时一边加长了4 m,与其相邻的一边减少了4 m,这时得到的长方形草坪的面积与原来正方形草坪的边长减少了2 m后的面积相等,求原正方形草坪的面积是多少. 解:设原正方形草坪的边长为x m. 根据题意,得(x+4)(x-4)=(x-2)2, x2-16=x2-4x+4, 4x=20, x=5. 所以原正方形草坪的面积为52=25(m2). 课堂小结 乘法公式4 应用完全平方公式简便运算 乘法公式的综合应用 完全平方公式的常见变形 (1)在计算两数的平方差时，若底数是多项式，则可以直接利用完全平方公式展开后，再合并同类项，也可以把它看成一个整体，逆用平方差公式计算. (2)不能直接应用公式进行计算的式子,可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行; (3)减去多项式乘多项式时，需注意添括号. a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; (a+b)2-(a-b)2=4ab; (a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2). 作业布置 习题1.3：5，7，8，9，12题. 北师大版（2024） 七年级 下册 感谢聆听 $$