精品解析：四川省资阳市天立学校2024-2025学年高二上学期数学期末模拟试卷

资阳天立高二数学上学期模拟试卷 （时间：120分钟 试卷满分：150分） 审核：高二数学备课组 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 A. 623 B. 328 C. 072 D. 457 【答案】A 【解析】 【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，重复的只取一次即可 【详解】从第5行第6列开始向右读取数据， 第一个数为253，第二个数是313， 第三个数是457，下一个数是860，不符合要求， 下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复， 第四个是007，第五个是328，第六个数是623，，故A正确. 故选：A. 2. 某运动爱好者最近一周的运动时长数据如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 时长（分钟） 60 150 30 60 10 90 120 则（ ） A. 运动时长的第30百分位数是30 B. 运动时长的平均数为60 C. 运动时长的极差为120 D. 运动时长的众数为60 【答案】D 【解析】 【分析】根据这组数据数字特征即可结合选项逐一求解. 【详解】数据排序为：10，30，60，60，90，120，150．由，得第30百分位数为60，A错； 平均数为，B错； 极差为，C错； 众数为60，D对． 故选：D． 3. 投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数大于4”为事件，则事件，中至少有一个发生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将所求事件的概率转化为求对立事件的概率，再利用公式相减即可. 【详解】由题意得事件，中至少有一个发生的对立事件是事件，都不发生， 而事件不发生的概率为，事件不发生的概率为， 所以事件，都不发生的概率为， 故事件，中至少有一个发生的概率是，故D正确. 故选：D 4. 在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值. 【详解】∵， ∴． ∵， ∴． ∵四点共面， ∴，即． ∵，当且仅当时，等号成立， ∴的最小值为1． 故选：C 5. 给出下列说法，其中不正确的是（ ） A. 若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量 B. 若，则点是线段的中点 C. 若，则A，，，四点共面 D. 若平面，的法向量分别为，，且，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，根据基底向量的定义分析判断；对于B，根据线性运算可得，即可得结果；对于C，根据四点共面的结论分析判断；对于D，可得，结合向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】对于选项A：因为，则，与任何向量都共面， 所以，与任何向量都不能构成空间的一个基底向量，故A正确； 对于选项B：因为，即， 可得，所以M为AB中点，故B正确； 对于选项C：因为，且， 所以A，，，四点不共面，故C不正确； 对于选项D，平面α，β的法向量分别为，， 当时，则， 可得，解得，故D正确； 故选：C. 6. 已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知，画出图像，根据，可令，然后表示出，，然后利用椭圆定义找到与之间的关系，然后用分别表示出、、，在中，利用勾股定理判定，然后在中，可表示出与之间的关系，从而求解离心率. 【详解】由已知，可根据条件做出下图： 因为，令， 所以，，由椭圆的定义可知， 所以，所以，，，， 由椭圆的定义可知， 在中，，所以, 在中， ，所以 所以. 所以的离心率是. 故选：D. 7. 已知直线，圆，若直线上存在两点，圆上存在点，使得，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，可得以直线上的点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，再利用圆与圆的位置关系求出的范围. 【详解】由，得点在以线段为直径，中点为圆心的动圆上， 令圆的圆心为，则，当且仅当时取等号， 而点在圆上，则圆与圆必有公共点，显然点在圆外，于是， 又有最小值2，无最大值，因此无最大值，， 所以的取值范围是. 故选：C 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，.点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆、与轴的切点分别为，，圆心、在的角平分线上，从而切点也在的角平分线上，所以，由切线的性质求得，，由圆面积比得半径比，然后由相似形得出的关系式，从而求得离心率． 【详解】由已知及平面几何知识可得圆心、在的角平分线上.如图， 设圆、与轴的切点分别为，，由平面几何知识可得，直线为两圆的公切线， 切点也在的角平分线上，所以， 由椭圆的定义知，则，所以， 所以，所以， .又圆与圆的面积之比为4， 所以圆与圆的半径之比为2，因为，所以， 即，整理得，故椭圆的离心率. 故选：B. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一个质地均匀的正四面体4个表面上分别有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件发生的概率为 C. 事件与事件相互独立 D. 事件发生的概率为1 【答案】BC 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式判断B，利用特例说明A，计算、、，即可判断C，根据判断D. 【详解】由题意可得，故B正确； 当两次抛掷的点数为时，事件与事件同时发生，所以事件与事件不互斥，故A错误； 事件与事件同时发生的情况有共4种，所以， 又，所以，故事件与事件相互独立，故C正确； ，故D错误. 故选：BC. 10. 已知关于x的二次函数，设集合，，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对，则（　　） A. 所有的数对共有30种情况 B. 函数有零点的概率为 C. 使函数在区间上单调递增的数对共有13种情况 D. 函数在区间上单调递增的概率为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用列举法列出所有情况，然后逐个分析判断即可. 【详解】对于A，有（1,－1）,（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,－1）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,－1）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4），共15种情况，故A不正确； 对于B，函数有零点等价于，有（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4），共6种情况， 所以函数有零点的概率为，故B正确； 对于CD，因为，函数图象的对称轴为直线，且在区间上单调递增，所以有. 所以满足条件的数对有（1,－1），（1,1），（1,2），（2,－1），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,－1），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），共13种情况， 所以函数在区间上单调递增的概率为，故C正确，D错误． 故选：BC 11. 双曲线具有如下光学性质：如图是双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点.若双曲线的方程为，则（ ） A. 双曲线的焦点到渐近线的距离为 B. 若，则 C. 当过点时，光线由所经过的路程为8 D. 反射光线所在直线的斜率为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，求出双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式即可判断；对于B，判断出，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于C，利用双曲线的定义直接求得；对于D，先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围； 【详解】对于A，由双曲线C的方程为知双曲线的渐近线方程为：， 焦点到渐近线的距离为：，故A正确； 对于B，若，则. 因为P在双曲线右支上，所以.由勾股定理得：， 二者联立解得：.故B正确； 对于C，光由所经过的路程为 ， 故C不正确； 对于D，双曲线的渐近线方程为. 设左、右顶点分别为A、B.如图示： 当与同向共线时，的方向为，此时，最小. 因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为.即.故D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7，现两人各自独立射击一次，则至少一人中靶的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用独立事件同时发生的概率公式，结合对立事件公式，即可求解. 【详解】设甲中靶为事件，乙中靶为事件， 则至少有一人中靶的对立事件为两人都没有中靶， 则至少有一人中靶的概率. 故答案为： 13. 某学校报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.若第10排有41个座位，则该报告厅座位的总数是______. 【答案】840 【解析】 【分析】根据题意将问题转化为等差数列问题，应用等差数列的通项公式和前项和公式，基本量运算即可求解. 【详解】设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前项和为． 根据题意，数列是一个公差为的等差数列，且， 故． 由， 因此，则该报告厅总座位数为840个座位． 故答案为：840 14. 已知椭圆与双曲线（，）具有相同的左、右焦点、，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据椭圆、双曲线的定义得，结合离心率得，在中利用余弦定理得，结合椭圆性质知：当为短轴顶点时取到最大值，分析求解即可. 【详解】由题设，又， 直线与轴的交点的坐标为，则， 中， 综上，，整理得，可得或（舍）， 由，则， 由椭圆性质知：当为短轴顶点时取到最大，此时， 由，则，即，故. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：关键在于找到的两种表达方式，构造了关于的方程，从而得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且A到的焦点的距离为1． （1）求的方程； （2）若直线与抛物线C交于两点，，且，试探究直线是否过定点，若是，请求出定点坐标，否则，请说明理由． 【答案】（1） （2）直线过定点 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义及点在抛物线上计算即可； （2）设的方程，由平面向量数量积的坐标表示及韦达定理求参数即可. 【小问1详解】 依题意可得，解得，所以抛物线方程为：； 【小问2详解】 设直线显然存在， 联立方程，化简可得 所以 在抛物线C上，故， ，解得或， 因为，所以，得 所以直线过定点. 16. 甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率； （2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可； （2）两人分别猜两次，总共四次中有一次没猜对，分四种情况计算可得答案. 【小问1详解】 设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件， . 【小问2详解】 设事A＝“甲第一轮猜对”，B＝“乙第一轮猜对”，C＝“甲第二轮猜对”，D＝“乙第二轮猜对”，E＝““九章队”猜对三个数学名词”， 所以， 则， 由事件的独立性与互斥性，得 ， 故“九章队”在两轮活动中猜对三个数学名词的概率为． 17. 2021年底某市城市公园主体建设基本完成，为了解市民对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目进行评分（满分100分），根据所得数据，按，，，，进行分组，绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计该市市民评分的分位数； （2）为进一步完善公园建设，按分层随机抽样的方法从评分在中抽取7人，再随机抽取其中2人进行座谈，求这2人的评分在同一组的概率. 【答案】（1），85； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，求出，再根据百分位数计算规则计算可得； （2）利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得. 【小问1详解】 由题意得，， 解得. 因为，， 所以分位数位于之间， 则市民评分的分位数约为. 【小问2详解】 由题意得，按分层随机抽样从评分在中抽取人， 其中评分在中有人，记为，； 评分在中有人，记为，，，，. 现抽取其中人进行问卷调查，共有21种情况，它们是： ，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，， 其中这2人评分在同一组有11种情况，它们是： ，，，，，，，，，，， 则所求概率. 18. 如图，在几何体中，底面为正方形，，，． （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）首先证明平面平面，从而以的中点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离； （2）分别求平面和的法向量，利用法向量求平面的夹角. 【小问1详解】 由条件，，，且，平面， 从而平面，且平面，所以平面平面， 且平面平面， 取的中点为坐标原点，因为四边形为等腰梯形， 所以连结与的中点的直线与垂直，则平面, 如图，连结与的中点，则,以为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系： 得，，，，，， ，，， 设平面的一法向量为， 由，即，取，， 平面的一法向量为， 因此点到平面的距离； 【小问2详解】 由于，，， 设平面的一个法向量为， 由，得，取，， 得． 设平面的法向量为，， 由，即，取，， 求得平面的一个法向量为． 因此平面与夹角的余弦值为 即因此平面与夹角的余弦值为． 19. 已知椭圆过点和． （1）求C的方程； （2）设直线l：，过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l，直线AB于M，N两点，求的最小值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）将点代入方程求椭圆参数，即可得方程； （2）设直线，联立椭圆消去x，得，应用韦达定理求N点坐标，弦长公式求，点斜式写出直线并求出M点坐标，点线距离公式求到直线距离，最后得到关于参数t的方程，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件. 【小问1详解】 由题设，故. 【小问2详解】 由题意，直线不与x轴重合，可设直线， 联立椭圆消去x，可得，即， 此时，所以，， 则，故， 故直线，令，则，所以， 而， 到直线距离，又， 所以，令， 则， 当且仅当时取等号，故最小值为. 【点睛】关键点睛：第二问，注意设直线，联立椭圆，应用韦达定理、中点公式求中点坐标，点斜式求中垂线并求坐标为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 资阳天立高二数学上学期模拟试卷 （时间：120分钟 试卷满分：150分） 审核：高二数学备课组 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 A. 623 B. 328 C. 072 D. 457 2. 某运动爱好者最近一周的运动时长数据如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 时长（分钟） 60 150 30 60 10 90 120 则（ ） A. 运动时长的第30百分位数是30 B. 运动时长的平均数为60 C. 运动时长的极差为120 D. 运动时长的众数为60 3. 投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数大于4”为事件，则事件，中至少有一个发生的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 5. 给出下列说法，其中不正确的是（ ） A. 若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量 B. 若，则点是线段的中点 C. 若，则A，，，四点共面 D. 若平面，的法向量分别为，，且，则 6. 已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线，圆，若直线上存在两点，圆上存在点，使得，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，.点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一个质地均匀的正四面体4个表面上分别有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件发生的概率为 C. 事件与事件相互独立 D. 事件发生的概率为1 10. 已知关于x的二次函数，设集合，，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对，则（　　） A. 所有的数对共有30种情况 B. 函数有零点的概率为 C. 使函数在区间上单调递增的数对共有13种情况 D. 函数在区间上单调递增的概率为 11. 双曲线具有如下光学性质：如图是双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点.若双曲线的方程为，则（ ） A. 双曲线的焦点到渐近线的距离为 B. 若，则 C. 当过点时，光线由所经过的路程为8 D. 反射光线所在直线的斜率为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7，现两人各自独立射击一次，则至少一人中靶的概率为______． 13. 某学校报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.若第10排有41个座位，则该报告厅座位的总数是______. 14. 已知椭圆与双曲线（，）具有相同的左、右焦点、，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且A到的焦点的距离为1． （1）求的方程； （2）若直线与抛物线C交于两点，，且，试探究直线是否过定点，若是，请求出定点坐标，否则，请说明理由． 16. 甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率； （2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率． 17. 2021年底某市城市公园主体建设基本完成，为了解市民对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目进行评分（满分100分），根据所得数据，按，，，，进行分组，绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计该市市民评分的分位数； （2）为进一步完善公园建设，按分层随机抽样的方法从评分在中抽取7人，再随机抽取其中2人进行座谈，求这2人的评分在同一组的概率. 18. 如图，在几何体中，底面为正方形，，，． （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 19. 已知椭圆过点和． （1）求C的方程； （2）设直线l：，过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l，直线AB于M，N两点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $