广东省广州市第22届 WMO 数学创新讨论大会八年级上学期初赛试题

姓 名 年 级 学 校 测 评 编 号 、 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -装 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -订 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -线 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 第 22 届 WMO 数学创新讨论大会 --------------------------------------------------------------------------------- 须知： 1. 测试期间，不得使用计算工具或手机。 2. 本卷共 120 分，选择题每小题 5 分，解答题共 6小题，共 60 分。 3. 请将答案写在本卷上。大会结束时，本卷及草稿纸会被收回。 4. 若计算结果是分数，请化至最简。 八年级初测 （满分 120 分 ，时间 90 分钟 ） 一、选择题（每小题 5分，共 60 分） 1．下面不一定有平方根的是（ ） A．a2 B． 16 a C．100a D． 3 0 2．下面能与 85、84组成勾股数的是（ ） A．169 B．13 C．196 D．14 3．在平面直角坐标系中，长方形 ABCD的边 AB可表示为（2，y），其中－1≤y ≤3，边 BC可表示为（x，3），其中 2≤x≤5，则点 D的坐标是（ ） A．（5,3） B．（5,－1） C．（－1,2） D．（2,－1） 4．下列各式是（x+y）2－（x2－y2）－6（x－y）2的因式的是（ ） A．（甲）（丙） B．（乙）（丙） C．（甲）（丁） D．（乙）（丁） 5．缪缪把一副含 45°和 30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠D=30°， ∠A=45°，则∠α+∠β等于（ ） A．180° B．210° C．270° D．360° 第 5题图 第 6题图 第 8题图 第 9题图 6．如图，N，C，A三点在同一直线上，在△ABC中，∠A:∠ABC:∠ACB=3:5:10， 且△MNC≌△ABC，则∠BCM:∠BCN等于（ ） A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．1:4 7．若 m是整数且－60＜m＜－30，关于 x、y的二元一次方程组      myx yx 73 ,532 有整 数解，则 m的值为（ ） A．－45 B．－48 C．－50 D．－40 8．如图为一直四棱柱，其中上下两个底面为全等的梯形，其面积和为 16；四个侧 面均为长方形，其面积和为 45．若此直四棱柱的体积为 24，则所有边的长度和 为（ ） A．30 B．36 C．42 D．48 9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是 AB边上的动点（不与点 B重合），将△BCP沿 CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接 B′A，则 B′A长 度的最小值是（ ） A． 2 1 B． 3 3 C．1 D． 2 5 10．在 1~2016之间的整数（不包含 1和 2016）中，被 20除的余数比被 16除的余 数小的数有（ ） A．80个 B．300个 C．600个 D．800个 11．娜娜遇到了一道难题，如图，她想用方程的思想解决此题，则 M的值为（ ） A． 3 B． 3 3 C． 3 1 D． 3 4 第 11题图 第 12题图 第 13题图 12．如图，在等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=1200 ，点 D在 AB上运动（不与 A、B重合），将△CAD和△CBD分别沿直线 CA、CB翻折，得到△CAP与 △CBQ，给出下列结论：①CD=CP=CQ；②∠PCQ的大小不变；③△PCQ的 面积没有最小值；④△PCQ面积的最大值为 3；⑤当点 D为 AB的中点时， △PDQ是等边三角形．其中正确的有（ ） A．2个 B． 3个 C．4个 D．5个 二、解答题（共 6小题，共 60分） 13．如图，D是 BC上一点，AB=AD，BC=DE，AC=AE，求证：∠CDE=∠BAD． （8分） （甲）2x－y （乙）3x－y （丙）x－2y （丁）x－3y -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -装 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -订 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -线 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 14.(1)计算： 502 2 145.08 2 1  ；（3分） (2)化简： ab aba b b aab  )1534( 。（4分） 15．若 x＋y＋z=3m（m≠0），试求 222 )()()( ))(())(())(( mzmymx mxmzmzmymymx   的 值．（9分） 16．如图所示，是古代一个将军在一次护城战役中，进行的一个布阵图，在一座城 池的四周设了八个哨所，每个哨所都要保证有人，其中四个角上哨所的人数相 同，城池四周每条边上三个哨所的总人数都为 11人． （1）当八个哨所的总人数为 32人时，四个角上每个哨所的人数为多少？（5分） （2）在保证城池四周每条边上三个哨所的总人数都为 11人的条件下，四个角上 每个哨所的人数为 a，请用含 a的代数式表示八个哨所的总人数，并求出八个 哨所所需的总人数的最大值与最小值，以及对应 a的值．（6分） 17．四边形 ABCD为平行四边形，且∠A=∠DBC≠60°，以 D为顶点作三角形 DEF， 满足 DE=DF且∠EDF=∠ABD，M、N、P分别为 EF、EC、BC的中点，请探 究∠ABD与∠MNP的和是否为一个定值，并证明你的结论．（12分） 18.（1）阅读理解： 如图①，在△ABC中，若 AB=10，AC=6，求 BC边上的中线 AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长 AD到点 E使 DE=AD，再连接 BE（或将 △ACD绕着点 D逆时针旋转 180°得到△EBD），把 AB、AC，2AD集中在 △ABE中，利用三角形三边的关系即可判断． 中线 AD的取值范围是 ；（3分） （2）问题解决： 如图②，在△ABC中，D是 BC边上的中点，DE⊥DF于点 D，DE交 AB于 点 E，DF交 AC于点 F，连接 EF，求证：BE+CF＞EF；（5分） （3）问题拓展： 如图③，在四边形 ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以 C 为顶点作一个 70°角，角的两边分别交 AB，AD于 E、F两点，连接 EF，探索 线段 BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．（5分） 图① 图② 图③ 八年级初赛答案 一、选择题。 1．C 2．B 3．B 4．B 5．B 6．D 7．C 8．C 9．C 10．C 11．D 12．B 二、解答题。 13．证明：在△ABC 与△ADE 中，      = = = , , , AEAC DEBC ADAB ∴△ABC≌△ADE（SSS），∠E＝∠C， ∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，又∵∠E＝ ∠C，∠AFE＝∠DFC，∴∠CAE=∠CDE，∴∠CDE=∠BAD． 14．（1）原式= 2 － 2 2 － 2 23 ＋ 210 = 29 （2）原式=ab＋4|a|－3|b|＋5 15．解：由 x＋y＋z=3m 可得：(x－m)+(y－m)+(z－m)=0， 两边同时平方得： (x－m)2+(y－m)2+(z－m)2+2(x－m)(y－m)+2(y－m)(z－m)+2(x－m)(z－m)=0， 则(x－m)(y－m)+(y－m)(z－m)+(x－m)(z－m)= 2 1 − [(x－m)2+(y－m)2+(z－m)2]， ∴原式= 222 222 )()()( ])()()[( 2 1 mzmymx mzmymx −+−+− −+−+−− =－ 2 1 ． 16．解：（1）设四个角上每个哨所的人数为 x，则城池四周每条边上中间的每个哨所的人数 为（11﹣2x），根据题意得：4x+4（11﹣2x）=32，解得：x=3． 答：当八个哨所的总人数为 32 人时，四个角上每个哨所的人数为 3． （2）设八个哨所需要的总人数为 y，根据题意得：y=4a+4（11﹣2a）=44﹣4a． ∵ ，∴1≤a≤5．∵k=﹣4，∴当 a=1 时，y 取最大值，最大值为 40； 当 a=5 时，y 取最小值，最小值为 24． 17．∠ABD 与∠MNP 的和是一个定值，∠ABD+∠MNP=180°． 证明：如图，连接 BE、CF，延长 CE 交 BD 于点 G． ∵点 N、M 分别为 EC、EF 的中点， ∴MN 是△CEF 的中位线， ∴MN∥CF，∴∠MNE=∠FCE=∠FCD+∠DCE， ∵点 N、P 分别为 EC、BC 的中点， ∴PN 是△CBE 的中位线， ∴PN∥BE，∴∠ENP=∠BEG， ∵AB∥CD，∴∠BDC=∠ABD， 又∵∠EDF=∠ABD，∴∠BDC=∠EDF， ∴∠BDC－∠EDC=∠EDF－∠EDC，即∠BDE=∠CDF， ∵∠A=∠DBC，∠ADB=∠DBC， ∴∠A=∠ADB，∴AB=BD， 又∵AB=CD，∴BD=CD， 在△BDE 和△CDF 中，      = ∠=∠ = DF,DE CDFBDE CDBD ， , ∴△BDE≌△∠CDF， ∴∠DBE=∠DCF， 根据三角形的外角的性质，可得∠BGE=∠BDC+∠DCE， 在△BGE 中，∠BEG+∠BGE+∠GBE=180°， ∴∠ENP+（∠BDC+∠DCE）+∠DCF=180°， ∴（∠ENP+∠DCF+∠DCE）+∠BDC=180°， 又∵∠ENP+∠DCF+∠DCE=∠MNP，∠BDC=∠ABD， ∴∠ABD+∠MNP=180°，即∠ABD 与∠MNP 的和是一个定值． 18．（1）2＜AD＜8 提示：由题意得 BD=CD，∵∠BDE=∠CDA，DE=AD，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴ BE=AC=6，在△ABE 中，AB－BE＜AE＜AB+BE，∴10－6＜2AD＜10+6，即 2＜AD＜8； （2）证明：延长 FD 至点 M，使 DM=DF，连接 BM、EM，如图②所示，易得△BMD≌ △CFD（SAS），∴BM=CF，∵DE⊥DF，DM=DF，∴EM=EF，在△BME 中，由三角形 的三边关系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF； （3）解：BE+DF=EF．理由如下：延长 AB 至点 N，使 BN=DF，连接 CN，如图③所示． ∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°，∴∠NBC=∠D，在△NBC 和△FDC 中 ，      = ∠=∠ = ， ， DCBC DNBC DFBN , ∴△NBC≌△FDC（SAS），∴CN=CF，BN=DF，∠NCB=∠FCD， ∵∠BCD=140°，∠ECF=70°，∴∠BCE+∠FCD=70°，∴∠ECN=70°=∠ECF， 在△NCE 和△FCE 中，      = ∠=∠ = ， ， CECE ECFECN CFCN , ∴△NCE≌△FCE（SAS），∴EN=EF，∵BE+BN=EN， ∴BE+DF=EF．