精品解析：河北省衡水市阜城县阜城实验中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

2025年1月高二数学试卷 一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 设，直线：，：，若，则m的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行关系可得，从而求出的值. 【详解】若，则，解得或， 故选：D. 2. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则（ ） ①若，，且∥，则∥； ②若，∥，且∥，则； ③若∥，，且，则∥； ④若，，且，则. 其中真命题的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直的判定定理和性质定理，逐项判断，即可得出结论. 【详解】由且，可得， 而垂直同一个平面的两条直线相互平行，故①正确； 由于，，所以，则，故②正确； 若与平面的交线平行，则， 故不一定有，故③错误； 设，在平面内作直线， ，则，又，所以， ，所以，从而有， 故④正确. 因此，真命题的个数是. 故选：B 【点睛】本题考查了空间线面位置关系的判定和证明，其中熟记空间线面位置中的平行与垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查直观想象能力，属于基础题. 3. 与椭圆有相同焦点，且长轴长为的椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知椭圆的焦点坐标为，，所以，又长轴长为，即，进而求出b的值，即可得到答案. 【详解】因为椭圆的焦点坐标为，，所以所求椭圆的焦点在轴上，且．因为所求椭圆的长轴长为，即，所以，所以，所以所求椭圆的方程是． 故选：C． 4. 已知等比数列的公比q为整数，且，，则（ ） A. 2 B. 3 C. -2 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】由等比数列的性质有，结合已知求出基本量，再由即可得答案. 【详解】因为，，且q为整数， 所以，，即q=2. 所以. 故选：A 5. 双曲线的右焦点为，且点F到双曲线C的一条渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由焦点到渐近线的距离求得，然后由求得，再由离心率公式计算． 【详解】由题意双曲线的渐近线方程为，右焦点为，， 所以到渐近线的距离为，又， 所以，从而， 所以离心率为. 故选：A． 6. 直线始终平分圆，则的最小值为（ ） A. B. 20 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆的圆心，求出的关系等式，再借助二次函数求出最小值. 【详解】圆的圆心为， 由直线始终平分圆，得，则， 因此， 当且仅当时取等号，所以的最小值为20. 故选：B 7. 圆：与圆：的公共弦的弦长等于（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算圆心距确定两圆相交，得到公共弦为，根据弦长公式即得. 【详解】圆：，圆心为，半径为； 圆：，圆心为，半径为； 圆心距，，两圆相交， 联立两圆方程，得， 即公共弦所在直线的方程为， 故圆心到公共弦的距离为， 公共弦长为：. 故选：D. 8. 已知数列满足，则数列的前30项和（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据裂项相消法求和即可求解. 【详解】把代入整理得：， 故. 故选：D 二、多项选择题本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当且时，曲线C是椭圆 B. 当或时，曲线C是双曲线 C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D. 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用曲线C所表示的曲线类型求出参数的值或取值范围，由此可得出合适的选项. 【详解】选项A：若曲线为椭圆，则，即且，故A正确； 选项B：若曲线为双曲线，则，即或，故B正确； 选项C：若曲线为焦点在x轴上的椭圆，则，即，故C错误； 选项D：若曲线为焦点在y轴上的双曲线，则，即，故D正确； 故选：ABD. 10. 已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. 数列是递增数列 C. 数列中的最小项为 D. 、、成等差数列 【答案】AB 【解析】 【分析】根据可知数列为等差数列，根据通项公式和求和公式结合选项逐个判断. 【详解】因为，所以数列为等差数列，公差为3， 因为，所以，； 对于A，因为，所以是递增数列，A正确； 对于B，因为，所以数列是递增数列，B正确； 对于C，因为，所以数列中的最小项为，C不正确； 对于D，当时，，显然不是等差数列，D不正确. 故选：AB. 11. 点在圆上，点在圆上，则（ ） A. 圆与圆有4条公切线 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由两圆的位置关系即可判断ABC，当与圆相切时最大，即可判断D 【详解】 因为圆心，半径， 圆，即圆心，半径， 则，所以两圆外离，所以两圆有四条公切线，正确； ，，故错误，C正确： 当与圆相切时最大，且，， 则，所以最大值为，故正确. 故选：ACD 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 数列满足，则________. 【答案】 【解析】 【分析】将变形得到，然后逐项列举，累加可得到，又，代入即可得出结果 【详解】由题意可得， 所以，， ， 上式累加可得 ， 又，所以. 故答案为： 13. 等比数列的各项均为正数，且，则___________． 【答案】15 【解析】 【分析】根据等比数列的性质结合对数的运算性质计算即可. 【详解】解：由已知得数列是各项均为正数的等比数列， 则， 所以． 故答案为：15. 14. 直三棱柱中，是中点，则与CD所成角的余弦值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求线线角. 【详解】设， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系, 则， . ， ，. 设直线与CD所成角为， 则. 故与CD所成角的余弦值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明或演算步骤.） 15. 已知公比不为1的等比数列满足，且是等差数列的前三项. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的通项公式结合等差中项列式求得，即可得结果； （2）由（1）可知：等差数列的首项为，公差为，结合等差数列得通项公式和求和公式运算求解. 【小问1详解】 设的公比为， 因为成等差数列，则， 即，解得或1（舍去）， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知的前三项为， 则等差数列的首项为，公差为， 所以，即. 所以. 16. 已知数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，作差得到，从而得到，再由等差数列的定义及通项公式计算可得 （2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得. 【小问1详解】 因为， 即， 当时，解得或（舍去）， 当时， 所以， 即， 即，即， 又，所以，即， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 . 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形为矩形，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1）因为为等边三角形，为的中点，所以， 因为四边形为矩形，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）. 【解析】 【分析】（1）证明平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系如图所示， 设，则，故、、， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，故， 由题意可知是平面的一个法向量，， 由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为． 18. 已知等差数列的公差，且，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设求数列前项和为； （3）设求数列的前项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2）变形得到，裂项相消法求和； （3）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 根据题意，因为，，，成等比数列， 所以，又， 解得，， 故； 【小问2详解】 因为 ， 所以 ； 【小问3详解】 ∵ ∴①， ②， ∴①-②得 ∴. 19. 已知椭圆的方程为，其右顶点，离心率． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于不同的两点，（，不与左、右顶点重合），且．求证：直线过定点，并求出定点的坐标． 【答案】（1） （2） 直线方程与椭圆方程联立， 得， 设，， ，， 即，，， ， ，则， 即， 整理得， 或， 均满足 直线或， 直线过定点或（与题意矛盾，舍去） 综上知直线过定点． 【解析】 【分析】（1）由焦点坐标及离心率求出，得出方程； （2）设M，N的坐标，联立直线和椭圆的方程，消去，化简得关于的一元二次方程，由韦达定理可得，的值，利用得出m与k的关系式，最后检验直线所经过的定点，求出坐标． 【小问1详解】 右顶点是，离心率为， 所以，， ，则， 椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年1月高二数学试卷 一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 设，直线：，：，若，则m的值为（ ） A. B. C. D. 或 2. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则（ ） ①若，，且∥，则∥； ②若，∥，且∥，则； ③若∥，，且，则∥； ④若，，且，则. 其中真命题的个数是（ ） A. B. C. D. 3. 与椭圆有相同焦点，且长轴长为的椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列的公比q为整数，且，，则（ ） A. 2 B. 3 C. -2 D. -3 5. 双曲线的右焦点为，且点F到双曲线C的一条渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为（ ）. A. B. C. D. 6. 直线始终平分圆，则的最小值为（ ） A. B. 20 C. D. 5 7. 圆：与圆：的公共弦的弦长等于（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8. 已知数列满足，则数列的前30项和（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当且时，曲线C是椭圆 B. 当或时，曲线C是双曲线 C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D. 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 10. 已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. 数列是递增数列 C. 数列中的最小项为 D. 、、成等差数列 11. 点在圆上，点在圆上，则（ ） A. 圆与圆有4条公切线 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 最大值为 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 数列满足，则________. 13. 等比数列的各项均为正数，且，则___________． 14. 直三棱柱中，是中点，则与CD所成角的余弦值为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明或演算步骤.） 15. 已知公比不为1的等比数列满足，且是等差数列的前三项. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 已知数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形为矩形，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）若，求二面角的余弦值． 18. 已知等差数列的公差，且，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设求数列前项和为； （3）设求数列的前项和． 19. 已知椭圆的方程为，其右顶点，离心率． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于不同的两点，（，不与左、右顶点重合），且．求证：直线过定点，并求出定点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $