第9讲：9.3旋转2024-2025学年苏科版（2024）七年级数学下册寒假自学讲义

9.3 旋转 【学习目标】 1.理解旋转的基本概念，掌握旋转的基本特征，并能利用旋转的性质进行证明有关问题； 2.知道一个图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系和性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质； 3.能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，并能利用旋转进行简单的图案设计. 4.理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质； 5.能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，并能利用旋转进行简单的图案设计. 【教学重难点】 利用旋转的性质进行证明有关问题 考点1：旋转的概念 知识点与方法： 旋转的定义 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 【例】有下列现象：①地下水位逐年下降：②传送带的移动；③方向盘的转动：④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动：⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】如图，顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（　　） A．点， B．点O， C．点， D．点O， 【变式2】如图，将绕点旋转得到，若，，，，则下列说法：①点的对应点是点；②；③；④；⑤旋转中心是点；⑥旋转角为.其中正确的是（    ） A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．③④⑤⑥ D．①②③④⑤⑥ 【变式3】如图，P为等边三角形内部一点，旋转后能与重合． (1)旋转中心是______，旋转角是______度． (2)连接，是什么三角形？并说明你的理由． 考点2：旋转的性质 知识点与方法： 旋转的特征： （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2） 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前后的图形全等。 理解以下几点： （1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。 （2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。 （3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置 【例】如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到，若，，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD，若OD＝AD，则∠BOC的度数为 ． 【变式3】如图，在中，，点D在斜边上．如果经过旋转后与重合，那么这一旋转的旋转角等于 度． 【变式4】如图，绕点旋转后能与重合．    (1)，，求的长； (2)延长交于点，，求的度数． 考点3：中心对称与中心对称图形 知识点与方法： 中心对称图形：把一个图形绕着中心旋转180°后能与自身重合，这种图形叫做中心对称图形，这个中心叫做对称中心． 要点诠释 (1)中心对称图形指的是一个图形； （2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形. 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 要点诠释 （1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同； （2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合. 【例】中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，△ABC与△DEF关于点O对称，请你写出两个三角形中的对称点，相等的线段，相等的角． 【变式2】如图，正方形ABCD边长为2cm，以各边中心为圆心，1cm为半径依次作圆，将正方形分成四部分． （1）这个图形　　旋转对称图形（填“是”或“不是”）；若是，则旋转中心是点　　，最小旋转角是　　度． （2）求图形OBC的周长和面积． ． 【变式3】在边长为1的正方形方格纸中，有如图所示的 (顶点都在格点上)． (1)先画出该三角形关于直线l成轴对称的； (2)再画将 绕点逆时针方向旋转后的； (3)求的面积． 【变式4】 如图，正五边形的边长等于2，分别以正五边形各边为直径，向外作半圆． (1)这个图形________（填“是”或“不是”）旋转对称图形，若是，则旋转中心是点________，最小旋转角为________； (2)求阴影部分的周长和面积（用含π的式子表示）． 【思维拓展】 1.如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为（    ）    A． B． C． D． 2.将分别含有角的一副三角板重叠，使直角顶点及两直角边重合，如图1．若保持含角的三角板固定不动，将含角的三角板绕直角顶点沿顺时针方向旋转，如图2，此时的度数 （填“增大”或“减小”）了 度． 3.将三角板与三角板摆放在一起，与重合（如图1），，，．固定三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转后停止，设旋转得． (1)当边落在内时（如图2），求的度数； (2)设三角板绕点旋转的速度为每秒5度，旋转时间为．若的一边与三角板的某边平行（不包含重合情况），请写出所有符合条件的的值． 【课后作业】 1．规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（　　） A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正十边形 2．下列图形中，旋转对称图形有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（　　） A．360° B．270° C．180° D．90° 4.如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，下列说法： ①∠BAC=∠B1A1C1；②AC=A1C1； ③OA=OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.如图，和中，，，，点D在边上，将 图中的绕点O按每秒15°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 秒时，边恰好与边AB平行． 6.如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上，点是另一格点，下列作图仅用无刻度直尺在网格中完成． (1)画出关于点的中心对称图形． (2)将绕点逆时针旋转得，画出； 7.如图，D是边的中点，连接并延长到点E，使，连接．    （1）和 成中心对称， （2）已知的面积为4，则的面积是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.3 旋转 【学习目标】 1.理解旋转的基本概念，掌握旋转的基本特征，并能利用旋转的性质进行证明有关问题； 2.知道一个图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系和性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质； 3.能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，并能利用旋转进行简单的图案设计. 4.理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质； 5.能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，并能利用旋转进行简单的图案设计. 【教学重难点】 利用旋转的性质进行证明有关问题 考点1：旋转的概念 知识点与方法： 旋转的定义 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 【例】有下列现象：①地下水位逐年下降：②传送带的移动；③方向盘的转动：④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动：⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据平移和旋转的定义对各运动进行分析，即可找出其中的旋转运动． 【详解】解：③④⑤⑥属于旋转，共有4个． 故选：C． 【变式1】如图，顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（　　） A．点， B．点O， C．点， D．点O， 【答案】B 【分析】本题考查了旋转，根据旋转的定义和性质可知，两组对应点连线的交点是旋转中心，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可得出答案． 【详解】由题给图形得：绕着点O顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是点O和． 故选：B． 【变式2】如图，将绕点旋转得到，若，，，，则下列说法：①点的对应点是点；②；③；④；⑤旋转中心是点；⑥旋转角为.其中正确的是（    ） A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．③④⑤⑥ D．①②③④⑤⑥ 【答案】A 【分析】根据旋转的性质即可得到结论． 【详解】解：将绕点旋转得到，，，，， 点的对应点是点，故①正确， ，故②错误， ，故③正确， ，故④正确， 旋转中心是点，故⑤正确， 旋转角不一定为，故⑥错误， 故选：A. 【变式3】如图，P为等边三角形内部一点，旋转后能与重合． (1)旋转中心是______，旋转角是______度． (2)连接，是什么三角形？并说明你的理由． 【答案】(1)， (2)是等边三角形 【分析】（1）因为为等边三角形，所以，． 旋转后能与重合，显然是与重合，可判断是绕点顺时针旋转得到的； （2）根据旋转角和对应边可判断是等边三角形． 【详解】（1）根据题意，与重合，所以旋转中心是点，旋转角等于． 故答案为：，； （2）等边三角形． ∵旋转角为，即，， ∴等边三角形． 考点2：旋转的性质 知识点与方法： 旋转的特征： （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2） 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前后的图形全等。 理解以下几点： （1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。 （2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。 （3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置 【例】如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，根据旋转得性质可得出，，，即可得出答案． 【详解】解：A．由旋转可知：，∴，故该选项符合题意； B．与不一定平行，∴与不一定相等，故该选项不符合题意； C．与不一定相等，∴与不一定相等，故该选项不符合题意； D．由上述过程可知，与不一定平行，故该选项不符合题意； 故选∶A． 【变式1】如图，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到，若，，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质得到，，三角形的内角和求出的度数，再根据角的和差关系求出即可． 【详解】解：∵旋转， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选C． 【变式2】如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD，若OD＝AD，则∠BOC的度数为 ． 【分析】设∠BOC＝α，根据旋转前后图形不发生变化，易证△COD是等边△OCD，从而利用α分别表示出∠AOD与∠ADO，再根据等腰△AOD的性质求出α． 【解答】解：设∠BOC＝α，根据旋转的性质知，△BOC≌△ADC，则OC＝DC，∠BOC＝∠ADC＝α． 又∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC， ∴∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝∠CDO＝60°， ∵OD＝AD， ∴∠AOD＝∠DAO． ∵∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°， ∴2×（190°﹣α）+α﹣60°＝180°， 解得α＝140°． 故答案是：140°． 【变式3】如图，在中，，点D在斜边上．如果经过旋转后与重合，那么这一旋转的旋转角等于 度． 【答案】40 【分析】本题考查了旋转的相关概念，要求学生能找出旋转过程中的旋转中心和旋转角等，对学生的空间想象能力有一定的考查，涉及到了数形结合的思想，利用旋转的性质，进行求解即可． 【详解】解：由旋转中，点的对应点为它本身，因此可以判定旋转中心是点； 又，， ∴， ∵点D在斜边上 ∴旋转角为． 故答案为：40． 【变式4】如图，绕点旋转后能与重合．    (1)，，求的长； (2)延长交于点，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据旋转得，得，计算即可； （2）根据，得，，再根据三角形外角的性质得，，推出即可． 【详解】（1）解：∵旋转， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ， ∴． 考点3：中心对称与中心对称图形 知识点与方法： 中心对称图形：把一个图形绕着中心旋转180°后能与自身重合，这种图形叫做中心对称图形，这个中心叫做对称中心． 要点诠释 (1)中心对称图形指的是一个图形； （2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形. 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 要点诠释 （1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同； （2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合. 【例】中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 【变式1】如图，△ABC与△DEF关于点O对称，请你写出两个三角形中的对称点，相等的线段，相等的角． 【点拨】利用中心对称的定义及性质直接写出即可． 【解析】 解：对称点为：A和D、B和E、C和F； 相等的线段有AC=DF、AB=DE、BC=EF； 相等的角有：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F． 【变式2】如图，正方形ABCD边长为2cm，以各边中心为圆心，1cm为半径依次作圆，将正方形分成四部分． （1）这个图形　　旋转对称图形（填“是”或“不是”）；若是，则旋转中心是点　　，最小旋转角是　　度． （2）求图形OBC的周长和面积． 【分析】（1）旋转对称图形的定义，结合图形即可作出判断； （2）图形OBC的周长为BC圆的周长，面积S正方形ABCD． 【解答】解：（1）这个图形是旋转对称图形，旋转中心是点O，最小旋转角为90°． （2）图形OBC的周长＝BC圆的周长＝2+π； 面积S正方形ABCD4＝1cm2． 【变式3】在边长为1的正方形方格纸中，有如图所示的 (顶点都在格点上)． (1)先画出该三角形关于直线l成轴对称的； (2)再画将 绕点逆时针方向旋转后的； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了作轴对称图形，作旋转图形，利用网格求三角形面积等知识，熟练掌握作轴对称图形，作旋转图形是解题的关键． （1）利用轴对称的性质作图即可； （2）利用旋转的性质作图即可； （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由轴对称的性质作图，如图1； （2）解：由旋转的性质作图，如图2， （3）解：由题意知，， ∴的面积为3． 【变式4】 如图，正五边形的边长等于2，分别以正五边形各边为直径，向外作半圆． (1)这个图形________（填“是”或“不是”）旋转对称图形，若是，则旋转中心是点________，最小旋转角为________； (2)求阴影部分的周长和面积（用含π的式子表示）． 【答案】(1)是，O， (2)周长为，阴影部分的面积为 【分析】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转对称图形的概念以及最小旋转角的求法是解答此题的关键．旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心．根据定义可知，最小旋转角等于周角除以正多边形的边数． 【详解】（1）解：根据题意，可知这个图案是旋转对称图形，点是旋转对称中心， 这个图案的最小旋转角为； 故答案为：是，O， （2）由题意得，阴影部分的周长为， 阴影部分的面积为． 【思维拓展】 1.如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、平角的定义，根据旋转的性质和平角的定义计算即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：箕面与水平地面的夹角为， ，即箕面绕点旋转的度数为， 故选：A． 2.将分别含有角的一副三角板重叠，使直角顶点及两直角边重合，如图1．若保持含角的三角板固定不动，将含角的三角板绕直角顶点沿顺时针方向旋转，如图2，此时的度数 （填“增大”或“减小”）了 度． 【答案】 减小 15 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 运用三角形内角和定理和外角定理即可求解． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∴旋转前， ∵， ∴， ∵旋转后， ∴旋转后， ∴， ∴度数减小了， 故答案为：减小，． 3.将三角板与三角板摆放在一起，与重合（如图1），，，．固定三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转后停止，设旋转得． (1)当边落在内时（如图2），求的度数； (2)设三角板绕点旋转的速度为每秒5度，旋转时间为．若的一边与三角板的某边平行（不包含重合情况），请写出所有符合条件的的值． 【答案】(1) (2)15秒或24秒或27秒或33秒 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质、三角板中角的运算、一元一次方程等知识，分情况讨论和数形结合是解题的关键． （1）由题意可得，作差即可得到答案； （2）按照旋转时间的变化分情况画图进行解答即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 即的度数为； （2）解：如图1，当时，， （秒）； 如图2，当 时，， （秒）； 如图3，当时，， （秒）； 如图4，当时，， （秒）； 如图5，当时，， （秒）； 综上可知，所有符合条件的的值为15秒或24秒或27秒或33秒． 【课后作业】 1．规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（　　） A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正十边形 【答案】C 【分析】分别求出各旋转对称图形的最小旋转角，继而可作出判断． 【解析】解：A、正三角形的最小旋转角是120°，故此选项错误； B、正方形的旋转角度是90°，故此选项错误； C、正六边形的最小旋转角是60°，故此选项正确； D、正十角形的最小旋转角是36°，故此选项错误； 故选：C． 2．下列图形中，旋转对称图形有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据旋转对称图形的定义对四个图形进行分析即可． 【解析】解：旋转对称图形是从左起第（1），（2），（4）；不是旋转对称图形的是（3）． 故选：C． 3．一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（　　） A．360° B．270° C．180° D．90° 【答案】C 【分析】根据菱形是中心对称图形解答． 【解析】解：∵菱形是中心对称图形， ∴把菱形绕它的中心旋转，使它与原来的菱形重合，旋转角为180°的整数倍， ∴旋转角至少是180°． 故选C． 4.如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，下列说法： ①∠BAC=∠B1A1C1；②AC=A1C1； ③OA=OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D； 【解析】解：中心对称的两个图形全等，则①②④正确； 对称点到对称中心的距离相等，故③正确； 故①②③④都正确． 故选D． 5.如图，和中，，，，点D在边上，将 图中的绕点O按每秒15°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 秒时，边恰好与边AB平行． 【答案】5或17 【分析】本题考查了平行线的性质，旋转变换的性质，以及三角形外角的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．分两种情况求解：①两三角形在点O的同侧时，②两三角形在点O的异侧时． 【详解】解：①两三角形在点O的同侧时，如图1，设与相交于点E， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵每秒旋转， ∴时间为秒； ②两三角形在点O的异侧时，如图2，延长与相交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角为， ∵每秒旋转， ∴时间为秒； 综上所述，在第5或11秒时，边恰好与边平行． 故答案为5或17． 6.如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上，点是另一格点，下列作图仅用无刻度直尺在网格中完成． (1)画出关于点的中心对称图形． (2)将绕点逆时针旋转得，画出； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平移，旋转，勾股定理及其逆定理， （1）连接，反向延长使，连接，反向延长使，连接，反向延长使，即可得； （2）连接，绕点逆时针旋转，使，连接，绕点逆时针旋转，使，连接，绕点逆时针旋转，使，即可得； 【详解】（1）解：如图所示，连接，反向延长使，连接，反向延长使， 连接，反向延长使， （2）解：如图所示，连接，绕点逆时针旋转，使，连接，绕点逆时针旋转，使，连接，绕点逆时针旋转，使， 7.如图，D是边的中点，连接并延长到点E，使，连接．    （1）和 成中心对称， （2）已知的面积为4，则的面积是 ． 【答案】 8 【分析】本题考查了中心对称图形及三角形中线的性质， （1）根据中心对称图形的性质即可求解； （2）根据三角形中线的性质即可求解； 熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：（1）根据中心对称图形的性质可得； 和成中心对称， 故答案为：； （2）由（1）得：和成中心对称， 线段是的中线， ， D是边的中点， ， 故答案为：8． 学科网（北京）股份有限公司 $$