专题7.5 复数全章十大基础题型归纳（基础篇）-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题7.5 复数全章十大基础题型归纳（基础篇） 【人教A版（2019）】 题型1 复数的分类及辨析 1．（24-25高一下·全国·课后作业）下列四种说法正确的是（    ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 2．（23-24高一下·上海浦东新·期中）下列命题一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则是纯虚数 D．若且，则且 3．（24-25高一·上海·课堂例题）在下列复数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？各数的实部和虚部分别是什么？ 、、、i、0、． 4．（24-25高一下·上海·课后作业）若为实数，求出复数，并判断复数是实数还是虚数，若是虚数，是纯虚数吗？ 题型2 已知复数的类型求参数  1．（23-24高一下·福建福州·期末）若是纯虚数，则实数（   ） A． B． C．2 D． 2．（23-24高一下·安徽安庆·期末）已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·甘肃定西·期末）已知复数． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当非零复数的实部和虚部互为相反数时，求实数的值． 4．（23-24高一下·广东清远·期末）已知复数，求当实数为何值时； (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)为虚数． 题型3 复数的几何意义 1．（23-24高一下·新疆巴音郭楞·期末）若（为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（23-24高一下·湖北·期末）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（23-24高一下·新疆巴音郭楞·期末）已知复数，，为虚数单位. (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面上对应的点在第一象限，求的取值范围. 4．（23-24高一·上海·课堂例题）求实数m的值或取值范围，使得复数在复平面上所对应的点分别位于 (1)实轴上； (2)虚轴上； (3)第四象限． 题型4 复数的模的计算 1．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知复数的实部与虚部相等，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·福建厦门·期末）若，则（    ） A．1 B． C． D．2 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）若复数的模小于，求实数x的取值范围. 4．（24-25高一·全国·随堂练习）已知，求． 题型5 复数的加、减运算 1．（23-24高一下·贵州毕节·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）若（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一下·全国·专题练习）计算： (1)  ； (2)； (3)； (4)． 4．（2024高一下·全国·专题练习）计算 (1) (2) (3) (4) 题型6 复数的乘、除运算 1．（23-24高一下·福建龙岩·期中）复数（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·陕西商洛·期末）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广东佛山·期中）计算： (1) (2) (3) 4．（2024高一下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3). 题型7 根据复数的四则运算结果求参数 1．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南·模拟预测）已知是虚数单位，若复数的实部是虚部的2倍，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一·全国·随堂练习）设复数，若复数的虚部减去其实部的差等于，求复数． 4．（23-24高一下·江苏常州·期中）在复平面内，复数对应的点在第四象限，设． (1)若，求； (2)若，求． 题型8 求辅角主值 1．（24-25高一下·重庆·阶段练习）复数的辐角主值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·福建泉州·期中）任意复数（、，为虚数单位）都可以写成的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）写出下列复数的辐角的主值 (1)-4 (2) (3) (4) 4．（2024高一下·上海·专题练习）已知，且，若． (1)求复数的三角形式，并且复数的辐角主值； (2)求． 题型9 复数的代数形式与三角形式的互化 1．（24-25高一上·全国·课后作业）请将以下复数表示为三角形式（辐角取主值）： (1)； (2)； (3)-1 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列复数用三角形式表示： (1)； (2). 3．（24-25高一·全国·课后作业）把下列复数表示成三角形式． (1)； (2) (3)； (4) 4．（24-25高一·全国·课后作业）把下列复数表示成三角形式，并画出与之对应的向量． (1)6； (2)； (3)； (4)． 题型10 复数乘、除运算的三角表示 1．（2024·辽宁·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数对应的向量绕原点逆时针旋转后得到的向量对应的复数为，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算，并用复数的代数形式表示计算结果： (1)； (2)． 4．（24-25高一·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.5 复数全章十大基础题型归纳（基础篇） 【人教A版（2019）】 题型1 复数的分类及辨析 1．（24-25高一下·全国·课后作业）下列四种说法正确的是（    ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【解题思路】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解. 【解答过程】对于A中，若，那么，所以A错误； 对于B中，由复数的概念，可得实数是复数，所以B正确； 对于C中，若且时，复数，所以C不正确； 对于D中，由虚数单位，可得D错误. 故选：B. 2．（23-24高一下·上海浦东新·期中）下列命题一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则是纯虚数 D．若且，则且 【解题思路】根据复数的概念和性质逐项进行检验即可判断. 【解答过程】对于，当时，，故选项错误； 对于，当时，，但并不相等，故选项错误； 对于，若，则并不是纯虚数，故选项错误； 对于，因为且，所以为正实数，则且，故选项正确， 故选：D. 3．（24-25高一·上海·课堂例题）在下列复数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？各数的实部和虚部分别是什么？ 、、、i、0、． 【解题思路】直接利用复数的基本概念逐一分析得答案． 【解答过程】、0是实数，的实部为，虚部为0；0的实部与虚部均为0． 、、、是虚数；i为纯虚数. 的实部为，虚部为6；的实部与虚部均为；的实部为，虚部为；的实部为0，虚部为1． 4．（24-25高一下·上海·课后作业）若为实数，求出复数，并判断复数是实数还是虚数，若是虚数，是纯虚数吗？ 【解题思路】根据复数的分类解出m，再将m代入z1即可得到答案. 【解答过程】因为为实数，所以或m=2. 时，，是虚数，且是纯虚数； 时，，是实数. 题型2 已知复数的类型求参数  1．（23-24高一下·福建福州·期末）若是纯虚数，则实数（   ） A． B． C．2 D． 【解题思路】根据纯虚数的定义，列出方程组，求解即可. 【解答过程】因为是纯虚数，所以，解得：， 故选：C. 2．（23-24高一下·安徽安庆·期末）已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由复数为实数及不等关系列不等式，解一元二次不等式即可. 【解答过程】由题，所以为实数，即， 则有，解得，即a的取值范围为. 故选：A. 3．（23-24高一下·甘肃定西·期末）已知复数． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当非零复数的实部和虚部互为相反数时，求实数的值． 【解题思路】（1）由条件可得实部为零，虚部不为零得出答案； （2）由条件可得可得答案. 【解答过程】（1）由复数是纯虚数，得，解得； （2）由复数的实部和虚部互为相反数，得， 化简得，解出或， 当时，不符合题意，（舍去），而满足， 所以实数的值为． 4．（23-24高一下·广东清远·期末）已知复数，求当实数为何值时； (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)为虚数． 【解题思路】（1）根据复数为实数的条件，列方程和不等式组m的值； （2）根据复数为纯虚数的条件，列方程和不等式求m的值； （3）根据复数为虚数的条件，列不等式组求m的值即可. 【解答过程】（1）当且时，复数为实数，解得， 所以时，复数为实数； （2）当且且时，复数为纯虚数， 解得或， 所以或时，复数为纯虚数； （3）当且时，复数为虚数，解得且， 所以且时，复数为虚数. 题型3 复数的几何意义 1．（23-24高一下·新疆巴音郭楞·期末）若（为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】首先得到其共轭复数，再根据复数的几何意义判断即可. 【解答过程】因为，所以， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 2．（23-24高一下·湖北·期末）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】根据复数的运算法则和复数的几何意义可得，结合即可下结论. 【解答过程】, 所以该复数在复平面所对应的点的坐标为， 又，所以， 所以点位于第四象限. 故选：D. 3．（23-24高一下·新疆巴音郭楞·期末）已知复数，，为虚数单位. (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面上对应的点在第一象限，求的取值范围. 【解题思路】（1）首先判断复数的实部与虚部，根据复数的类型得到方程（不等式）组，解得即可； （2）根据实部、虚部均大于得到不等式组，解得即可. 【解答过程】（1）复数，的实部为，虚部为， 因为复数为纯虚数，则，解得； （2）因为复数在复平面上对应的点为，位于第一象限， 所以，解得或， 即的取值范围为. 4．（23-24高一·上海·课堂例题）求实数m的值或取值范围，使得复数在复平面上所对应的点分别位于 (1)实轴上； (2)虚轴上； (3)第四象限． 【解题思路】（1）根据题意可得，运算求解即可； （2）由求m，代入验证，即可得结果； （3）由求出m的范围即可. 【解答过程】（1）由题意可得：，解得或. （2）由题设，，可得或， 当时，对应点在虚轴上； 当时，对应点在虚轴上； 综上，或. （3）由题设， 可得. 题型4 复数的模的计算 1．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知复数的实部与虚部相等，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由实部与虚部概念可得，代入计算可求出结果. 【解答过程】易知的实部为，虚部为， 由题意可知， 则. 故选：B. 2．（23-24高一下·福建厦门·期末）若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【解题思路】设，结合条件求出，再求模即可． 【解答过程】设，则, 又，则， 解得，即，故. 故选：A. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）若复数的模小于，求实数x的取值范围. 【解题思路】利用复数模的公式求解即可. 【解答过程】由题意，得， 整理，得，解得 所以实数x的取值范围是. 4．（24-25高一·全国·随堂练习）已知，求． 【解题思路】根据复数模的定义及模的性质求解. 【解答过程】因为， 所以. 题型5 复数的加、减运算 1．（23-24高一下·贵州毕节·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】直接利用复数的减法运算求解. 【解答过程】若，，则. 故选：A. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）若（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】移项化简可得． 【解答过程】，， 故选：B. 3．（2024高一下·全国·专题练习）计算： (1)  ； (2)； (3)； (4)． 【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据复数的加减法法则直接求解即可. 【解答过程】（1）； （2）； （3） ； （4） . 4．（2024高一下·全国·专题练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【解题思路】根据题意，结合复数的加法与减法的运算法则，准确运算，即可求解. 【解答过程】（1）解：由复数的运算法则，可得. （2）解：由复数的运算法则，可得. （3）解：由复数的运算法则，可得. （4）解：由复数的运算法则，可得. 题型6 复数的乘、除运算 1．（23-24高一下·福建龙岩·期中）复数（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用复数的运算法则即可得出． 【解答过程】． 故选：A． 2．（23-24高一下·陕西商洛·期末）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得，再根据复数的四则运算计算即可. 【解答过程】因为， 所以. 故选：A. 3．（23-24高一下·广东佛山·期中）计算： (1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据复数的加、减法运算求解； （2）根据复数的乘法运算求解； （3）根据复数的除法运算求解. 【解答过程】（1）由题意可得：. （2）由题意可得：. （3）由题意可得： . 4．（2024高一下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3). 【解题思路】根据复数除法的运算法则，结合复数乘方、加减法的运算法则对（1）（2）（3）进行求解即可. 【解答过程】（1）； （2）； （3） . 题型7 根据复数的四则运算结果求参数 1．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由为实数，为纯虚数列方程求出，进而可得值. 【解答过程】因为为实数，所以，即， 又为纯虚数，所以，即且， 综上可知，所以. 故选：A. 2．（2024·河南·模拟预测）已知是虚数单位，若复数的实部是虚部的2倍，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数的除法运算求得复数的实部和虚部，由题意列式，求得答案. 【解答过程】，所以， 解得， 故选：B. 3．（24-25高一·全国·随堂练习）设复数，若复数的虚部减去其实部的差等于，求复数． 【解题思路】先化简复数，再化简复数，再由的虚部减去其实部，即可求得，再将代入求解即可. 【解答过程】由已知，， ∴ ∴复数的实部为，虚部为， 由已知， ∵，∴解得. ∴复数的实部为，虚部为， ∴复数. 4．（23-24高一下·江苏常州·期中）在复平面内，复数对应的点在第四象限，设． (1)若，求； (2)若，求． 【解题思路】（1）设，根据复数除法运算和加减法运算化简，再根据复数的分类列出方程组，解之即可； （2）根据，可得等式左边化简后得复数虚部等于零，可得出关系，再根据复数的模的计算公式即可得解. 【解答过程】（1）设， 由，得， 即，整理得， 因为，即， 所以，解得， 所以； （2）由（1）结合， 可得，所以， 所以. 题型8 求辅角主值 1．（24-25高一下·重庆·阶段练习）复数的辐角主值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将复数的代数形式为三角形式，即可求出辐角的主值． 【解答过程】复数 ， 所以复数的辐角主值是． 故选：D. 2．（23-24高三上·福建泉州·期中）任意复数（、，为虚数单位）都可以写成的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将复数写成三角形式，可得结果. 【解答过程】复数，因此，复数的辐角主值为. 故选：A. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）写出下列复数的辐角的主值 (1)-4 (2) (3) (4) 【解题思路】利用复数的辐角求主值的方法求解即可. 【解答过程】（1），所以； （2），所以； （3），所以； （4），所以. 4．（2024高一下·上海·专题练习）已知，且，若． (1)求复数的三角形式，并且复数的辐角主值； (2)求． 【解题思路】（1）直接利用三角变换可得复数的三角形式及辐角主值. （2）设，结合求得，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解． 【解答过程】（1）， 则； （2）设，而，则， 又，于是， 则，解得，，即， 因此，所以． 题型9 复数的代数形式与三角形式的互化 1．（24-25高一上·全国·课后作业）请将以下复数表示为三角形式（辐角取主值）： (1)； (2)； (3)-1 【解题思路】求出模及幅角，即可将复数的代数形式化为三角形式． 【解答过程】（1）因为，，，所以， 于是． （2）因为，，，所以， 于是． （3）因为，，，所以， 于是． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列复数用三角形式表示： (1)； (2). 【解题思路】求出各复数的模和辐角，化简成的形式即可得解. 【解答过程】（1），，， 设为复数的辐角主值，为第四象限的角，故. 因为，， 所以. （2）. 3．（24-25高一·全国·课后作业）把下列复数表示成三角形式． (1)； (2) (3)； (4) 【解题思路】根据复数的三角表示公式，可得答案. 【解答过程】（1） ， 其中，故三角形式为 ； （2）由，则，， 显然复数对应的点在第三象限，所以的辐角， 所以. （3） ， 其中，故三角形式为 ； （4）因为，所以，复数对应的点在轴的负半轴上，取， 所以. 4．（24-25高一·全国·课后作业）把下列复数表示成三角形式，并画出与之对应的向量． (1)6； (2)； (3)； (4)． 【解题思路】对（1）（2）（3）（4）中的复数，先画出图像，结合图像求得辐角主值和模，从而求得其三角形式. 【解答过程】（1）设复数的模为，辐角主值为． 6对应的向量如下图中， ∵，，，又， ∴，∴． （2）设复数的模为，辐角主值为． 对应的向量如下图中， ∵，，， 又，∴， ∴． （3）设复数的模为，辐角主值为． 对应的向量如下图中， ∵，，， 又，∴， ∴． （4）设复数的模为，辐角主值为． 对应的向量如下图中， ∵，，， 又， ∴， ∴． 题型10 复数乘、除运算的三角表示 1．（2024·辽宁·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用复数的乘方运算以及其三角形式的运算即可得到答案. 【解答过程】 ， 故选：A. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数对应的向量绕原点逆时针旋转后得到的向量对应的复数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据复数的三角形式旋转得到新复数，再应用复数乘法计算即可. 【解答过程】 逆时针旋转后得，所以=. 故选：A. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算，并用复数的代数形式表示计算结果： (1)； (2)． 【解题思路】（1）（2）运用复数的三角形式表示，并按照乘除规则计算即可. 【解答过程】（1） ． （2） ． 4．（24-25高一·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案. （2）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案. （3）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案. （4）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案. 【解答过程】（1） （2） . （3） （4） . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$