八年级数学下学期第一次月考测试卷【北师大版，测试范围：三角形的证明～一元一次不等式与一元一次不等式组】-【上好课】2024-2025学年初中数学同步精品课堂

2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：三角形的证明~一元一次不等式与一元一次不等式组（北师大版）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）下列四个不等式：（1）ac＞bc；（2）﹣ma＜﹣mb；（3）ac2＞bc2；（4）﹣ac2≤﹣bc2中，能推出a＞b的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（3分）若某不等式组的解集为﹣1＜x≤4，则其解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中垂线的交点 D．三边上高的交点 4．（3分）已知x＝2是方程3＝x﹣1的解，那么关于x的不等式（2）x＜4解集是（　　） A．x B．x C．x D．x 5．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数为（　　） A．50° B．40°或130° C．50°或140° D．50°或130° 6．（3分）用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，应先假设这个直角三角形中（　　） A．有一个锐角小于45° B．每一个锐角都小于45° C．有一个锐角大于45° D．每一个锐角都大于45° 7．（3分）某超市用1200元购进某种水果200千克，运输和销售的过程中有5%的正常损耗，要使销售利润不低于20%，该水果每千克的售价至少为多少元？设该水果每千克的售价为x元，由题意列不等式，得（　　） A． B． C． D．200（1﹣5%）x＞1200（1+20%） 8．（3分）如图，∠BAC为120°的等腰△ABC中，底边BC为，DE垂直平分AB于点D，则AE的长为（　　） A．2 B．2 C． D．3 9．（3分）若关于x的方程k﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负数，且关于x的不等式组有解，则符合条件的整数k值的和为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 10．（3分）如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形．若OA1＝1，则△A2024B2024A2025的边长为（　　） A．22022 B．22023 C．22024 D．22025 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）写出定理“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题　 　． 12．（3分）若关于x的不等式2x﹣a≤0只有3个非负整数解，则a的取值范围为 　 　 13．（3分）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小明设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝20cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 　 　cm． 14．（3分）直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式（k1﹣k2）x+b＞0的解集为 　 　． 15．（3分）如图所示的是3×2的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段AB，CD的端点均在格点上，线段AB，CD交于点O，则∠BOD的度数为 　 　． 16．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝12，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，线段AN的长为 　 　． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）解不等式（组），并将解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 18．（8分）电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 19．（8分）已知，AE平分∠FAC，EF⊥AF，∠AGE＝90°，DE是BC垂直平分线，求证：BF＝CG． 20．（8分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E、F，BE＝CF．求证： （1）AD平分∠BAC． （2）若△ABC的面积为84cm2，AB＝15cm，求DE的长． 21．（8分）阅读下列材料： 解答“已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法： 解：∵x﹣y＝2， ∴x＝y+2． 又∵x＞1， ∴y+2＞1． ∴y＞﹣1． 又∵y＜0， ∴﹣1＜y＜0．　…① 同理，可得1＜x＜2．…② ①+②，得﹣1+1＜x+y＜0+2． 即0＜x+y＜2， ∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2． 请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知x﹣y＝4，且x＞3，y＜1，则x+y的取值范围是　 　； （2）已知a﹣b＝m，且关于x、y的方程组中x＜0，y＞0，求a+b的取值范围（结果用含m的式子表示）． 22．（10分）某超市准备购进A、B两种商品，进3件A，4件B需要270元；进5件A，2件B需要310元；该超市将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元． （1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？ （2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ （3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（10＜m＜20）元，B种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案． 23．（10分）综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中AB＝AC，∠B＝30°．将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N． 特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，求旋转角α的度数为 　 　； 探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论． 拓展延伸：（3）①直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角α的度数． ②在图3中，作直线BD，CE交于点P，直接写出当△PDE是直角三角形时旋转角α的度数． 24．（12分）如图a，已知点B（0，6），点C为x轴上一动点，连接BC，△ODC和△EBC都是等边三角形． （1）求证：DE＝BO； （2）如图b，当点D恰好落在BC上时． ①求OC的长及点E的坐标； ②在x轴上是否存在点P，使△PEC为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，说明理由； ③如图c，点M是线段BC上的动点（点B，C除外），过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE于点H，当点M运动时，MH+MG的值是否发生变化？简要说明理由． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：三角形的证明~一元一次不等式与一元一次不等式组（北师大版）。 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列四个不等式：（1）ac＞bc；（2）﹣ma＜﹣mb；（3）ac2＞bc2；（4）﹣ac2≤﹣bc2中，能推出a＞b的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】不等式两边同除以一个正数，不等式不变号，同除以一个负数不等式变号，结合选项可得出答案． 【解答】解：（1）因为ac＞bc，所以c≠0，但c大于0还是小于0，不能确定，即不能确定c为正数，故不能得出a＞b，故错误； （2）因为﹣ma＜﹣mb，所以m≠0，但m大于0还是小于0，不能确定，即：不能确定出﹣m为负数，故不能得出a＞b，故错误； （3）因为ac2＞bc2，所以c2≠0，即：c2必为正数，故可得出a＞b，故正确； （4）﹣ac2≤﹣bc2中，不能得出﹣c2为负数，故不能得出a＞b，故错误； 综上可得（3）正确． 故选：A． 2．（3分）若某不等式组的解集为﹣1＜x≤4，则其解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】将解集表示在数轴上即可，注意端点是空心还是实心． 【解答】解：不等式组的解集﹣1＜x≤4在数轴上表示如下： 故选：B． 3．（3分）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中垂线的交点 D．三边上高的交点 【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上． 【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等， ∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当． 故选：C． 4．（3分）已知x＝2是方程3＝x﹣1的解，那么关于x的不等式（2）x＜4解集是（　　） A．x B．x C．x D．x 【分析】把x＝2代入方程求出a的值，再将a的值代入不等式求出解集即可． 【解答】解：把x＝2代入方程得：3＝2﹣1， 解得：a＝10， 把a＝10代入不等式得：﹣3x＜4， 解得：x． 故选：B． 5．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数为（　　） A．50° B．40°或130° C．50°或140° D．50°或130° 【分析】分高在三角形的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可． 【解答】解：如图，当高在三角形的内部时： 由题意得：∠ADB＝90°，∠ABD＝40°， ∴∠A＝50°； 当高在三角形的外部时，如图： 由题意得：∠ABD＝40°， ∴∠BAC＝130°； 故选：D． 6．（3分）用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，应先假设这个直角三角形中（　　） A．有一个锐角小于45° B．每一个锐角都小于45° C．有一个锐角大于45° D．每一个锐角都大于45° 【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可． 【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时， 应先假设每一个锐角都大于45°． 故选：D． 7．（3分）某超市用1200元购进某种水果200千克，运输和销售的过程中有5%的正常损耗，要使销售利润不低于20%，该水果每千克的售价至少为多少元？设该水果每千克的售价为x元，由题意列不等式，得（　　） A． B． C． D．200（1﹣5%）x＞1200（1+20%） 【分析】根据题意可得，这批水果可卖200（1﹣5%）x元，根据“这批水果至少获得20%的利润”即可列出不等式． 【解答】解：设该水果每千克的售价为x元， 根据题意所列不等式为200（1﹣5%）x≥1200×（1+20%）， 即20% 故选：B． 8．（3分）如图，∠BAC为120°的等腰△ABC中，底边BC为，DE垂直平分AB于点D，则AE的长为（　　） A．2 B．2 C． D．3 【分析】依题意得∠B＝∠C＝30°，根据DE垂直平分AB得AE＝BE，则∠EAB＝∠B＝30°，进而∠CAE＝90°，再根据直角三角形的性质得CE＝2AE，则BC＝3AE，据此可得AE的长． 【解答】解：∵∠BAC＝120°，△ABC为等腰三角形， ∴∠B＝∠C（180°﹣∠BAC）＝30°， ∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴∠EAB＝∠B＝30°， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝120°﹣30°＝90°， 在Rt△ACE中，∠C＝30°， ∴CE＝2AE， ∴BC＝BE+CE＝AE+2AE＝3AE， ∵底边BC为， ∴3AE， ∴AE． 故选：C． 9．（3分）若关于x的方程k﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负数，且关于x的不等式组有解，则符合条件的整数k值的和为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【分析】根据关于x的方程k﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负整数，且关于x的不等式组有解，可以求得k的取值范围，从而可以求得符合条件的整数k的值的和，本题得以解决． 【解答】解：由方程k﹣2x＝3（k﹣2），得x＝3﹣k， ∵关于x的方程k﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负整数， ∴3﹣k≥0，得k≤3， ， 由①，得x≥﹣1， 由②，得x≤k， ∵关于x的不等式组有解， ∴﹣1≤k，得k≥﹣1， 由上可得，﹣1≤k≤3， ∴符合条件的整数k的值为：﹣1，0，1，2，3， ∴符合条件的整数k的值的和为：﹣1+0+1+2+3＝5． 故选：C． 10．（3分）如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形．若OA1＝1，则△A2024B2024A2025的边长为（　　） A．22022 B．22023 C．22024 D．22025 【分析】根据所给图形，依次求出△AnBn∁n的边长，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， ∵∠MON＝30°，△A1B1A2是等边三角形， ∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°， ∴∠MON＝∠A1B1O， ∴A1B1＝OA1＝1， ∴△A1B1A2的边长为1． 同理可得， △A2B2A3的边长为2＝21； △A3B3A4的边长为4＝22； △A4B4A5的边长为8＝23； …， 所以△AnBnCn+1的边长为2n﹣1， 当n＝2024时， △A2024B2024A2025的边长为22023． 故选：B． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）写出定理“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题　一边上的高线和中线重合的三角形是等腰三角形　． 【分析】根据题意写出等腰三角形底边上的高线与中线重合的逆命题即可． 【解答】解：命题“等腰三角形底边上的高线与中线重合”的逆命题是一边上的高线和中线重合的三角形是等腰三角形， 故答案为：一边上的高线和中线重合的三角形是等腰三角形． 12．（3分）若关于x的不等式2x﹣a≤0只有3个非负整数解，则a的取值范围为 　4≤a＜6．　 【分析】求出不等式的解集，根据不等式只有3个非负整数解，求出a的取值范围即可． 【解答】解：∵2x﹣a≤0， ∴， ∵不等式只有3个非负整数解，即：0，1，2， ∴， ∴4≤a＜6； 故答案为：4≤a＜6． 13．（3分）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小明设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝20cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 　20　cm． 【分析】连接AB．利用等边三角形的判定可得结论． 【解答】解：连接AB． ∵OA＝OB，∠AOB＝60°． ∴△OAB是等边三角形． ∴AB＝OA＝20cm． 故答案为：20． 14．（3分）直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式（k1﹣k2）x+b＞0的解集为 　x＜﹣1　． 【分析】将不等式变形为k1x+b＞k2x，再利用函数图象解决即可． 【解答】解：由图可知：两条直线的交点坐标为（﹣1，﹣2）， ∵（k1﹣k2）x+b＞0， ∴k1x﹣k2x+b＞0， ∴k1x+b＞k2x，即直线l1在直线l2的上方， ∵当x＜﹣1时，直线l1在直线l2的上方， ∴解集为x＜﹣1， 故答案为：x＜﹣1． 15．（3分）如图所示的是3×2的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段AB，CD的端点均在格点上，线段AB，CD交于点O，则∠BOD的度数为 　45°　． 【分析】取格点E，连接AE，BE，可证∠BAE＝∠BOD，根据勾股定理和逆定理可判断△ABE为等腰直角三角形，即可解答． 【解答】解：取格点E，连接AE，BE，则AE∥CD， ∴∠BAE＝∠BOD， 由勾股定理，得AB2＝12+22＝5，EB2＝12+22＝5，AE2＝12+32＝10， ∴AB2+BE2＝AE2，AB＝BE， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴∠BAE＝45°＝∠BOD． 故答案为：45°． 16．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝12，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，线段AN的长为 　4或24﹣12　． 【分析】由△DCM为直角三角形，分两种情况进行讨论：①∠CDM＝90°；②∠CMD＝90°．分别依据含30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到AN的长． 【解答】解：分两种情况： 如图，当∠CDM＝90°时，△CDM是直角三角形， 在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝12， ∴∠C＝30°，， 由折叠可得，∠MDN＝∠A＝60°， ∴∠BDN＝30°， ∴， ∴， ∴AN＝2BN＝4， 如图，当∠CMD＝90°时，△CDM是直角三角形， 由题可得，∠CDM＝60°，∠A＝∠MDN＝60°， ∴∠BDN＝60°，∠BND＝30°， ∴，， 设BD＝x，则AN＝DN＝2x，， 又∵AB＝6， ∴， 解得：， ∴，， 故答案为：4或24﹣12． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）解不等式（组），并将解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【分析】（1）根据去分母，去括号，移项等过程求解不等式，在数轴上表示解集即可； （2）分别求出每个不等式的解集，在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【解答】解：（1）， 2（2x﹣1）﹣3（5x+1）＞6， 4x﹣2﹣15x﹣3＞6， ﹣11x＞11， x＜﹣1， 将解集表示在数轴上．如图所示： （2）， 解不等式①得：x≥7， 解不等式②得：x＜2， 将解集表示在数轴上，如图所示： ∴不等式组无解． 18．（8分）电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【分析】根据题意，P点既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即为发射塔P的位置． 【解答】解：设两条公路相交于O点．P为线段AB的垂直平分线与∠MON的平分线交点或是与∠QON的平分线交点即为发射塔的位置．如图，满足条件的点有两个，即P、P′． 19．（8分）已知，AE平分∠FAC，EF⊥AF，∠AGE＝90°，DE是BC垂直平分线，求证：BF＝CG． 【分析】根据角平分线的性质可以证得EF＝EG，然后根据线段的垂直平分线的性质证得BE＝EC，则可以证明直角△BEF≌直角△CEG，根据全等三角形的对应边相等证明． 【解答】证明：∵AE平分∠FAC，EF⊥AF，∠AGE＝90°，即EG⊥AC， ∴EF＝EG． ∵DE是BC垂直平分线， ∴BE＝EC， 在直角△BEF和直角△CEG中， ， ∴直角△BEF≌直角△CEG， ∴BF＝CG． 20．（8分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E、F，BE＝CF．求证： （1）AD平分∠BAC． （2）若△ABC的面积为84cm2，AB＝15cm，求DE的长． 【分析】（1）由D是BC的中点，得BD＝CD，由DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，得∠BED＝∠CFD＝90°，而BE＝CF，即可根据“HL”证明Rt△BED≌Rt△CFD，得DE＝DF，即可证明AD平分∠BAC； （2）由S△ABD+S△ACD＝S△ABC＝84cm2，得15DE13DE＝84，求得DE的长为6cm． 【解答】（1）证明：∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， 在Rt△BED和Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴DE＝DF， ∴点D在∠BAC的平分线上， ∴AD平分∠BAC． （2）解：∵AD既是△ABC的中线，也是角平分线， ∴△ABC为等腰三角形， ∴AB＝AC， ∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC＝84cm2，且AB＝AC＝15cm， ∴15×DE15×DF＝84， 由（1）得DE＝DF， ∴15×DE15×DE＝84， 解得DE， ∴DE的长为cm． 21．（8分）阅读下列材料： 解答“已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法： 解：∵x﹣y＝2， ∴x＝y+2． 又∵x＞1， ∴y+2＞1． ∴y＞﹣1． 又∵y＜0， ∴﹣1＜y＜0．　…① 同理，可得1＜x＜2．…② ①+②，得﹣1+1＜x+y＜0+2． 即0＜x+y＜2， ∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2． 请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知x﹣y＝4，且x＞3，y＜1，则x+y的取值范围是　2＜x+y＜6　； （2）已知a﹣b＝m，且关于x、y的方程组中x＜0，y＞0，求a+b的取值范围（结果用含m的式子表示）． 【分析】（1）仿照阅读材料求出x+y的取值范围； （2）解出一元一次不等式组，仿照阅读材料求出a+b的取值范围． 【解答】解：（1）∵x﹣y＝4， ∴x＝y+4． 又∵x＞3， ∴y+4＞3． ∴y＞﹣1． 又∵y＜1， ∴﹣1＜y＜1．　 …① 同理，可得3＜x＜5．…② ①+②，得﹣1+3＜x+y＜1+5． 即2＜x+y＜6， ∴x+y的取值范围是2＜x+y＜6， 故答案为：2＜x+y＜6； （2）解方程组得，， ∵a﹣b＝m， ∴b＝a﹣m， ∵x＜0，y＞0， ∴a﹣2＜0，2a﹣3＞0， 解得，a＜2， 则3﹣m＜2a﹣m＜4﹣m， ∴3﹣m＜a+b＜4﹣m． 22．（10分）某超市准备购进A、B两种商品，进3件A，4件B需要270元；进5件A，2件B需要310元；该超市将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元． （1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？ （2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ （3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（10＜m＜20）元，B种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案． 【分析】（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据“进3件A，4件B需要270元；进5件A，2件B需要310元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（40﹣a）件，根据“进货总价不超过1560元，且A种商品的数量不低于B种商品数量的一半”，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，再结合a为整数，即可得出进货方案的个数； （3）设销售这40件商品获得总利润为w元，利用总利润＝每件商品的销售利润×销售数量，即可得出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元， 依题意得：， 解得：． 答：A种商品每件的进价为50元，B种商品每件的进价为30元． （2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（40﹣a）件， 依题意得：， 解得：a≤18． 又∵a为整数， ∴a可以为14，15，16，17，18， ∴该商店有5种进货方案． （3）设销售这40件商品获得总利润为w元，则w＝（80﹣m﹣50）a+（45﹣30）（40﹣a）＝（15﹣m）a+600． 若15﹣m＞0，即10＜m＜15时，w随a的增大而增大， ∴当a＝18时，w取得最大值，此时40﹣a＝40﹣18＝22； 若15﹣m＝0，即m＝15时，w的值不变； 若15﹣m＜0，即15＜m＜20时，w随a的增大而减小， ∴当a＝14时，w取得最大值，此时40﹣a＝40﹣14＝26． 答：当10＜m＜15时，购进A种商品18件，B种商品22件时，销售这40件商品获得总利润最大；当m＝15时，选择各方案销售这40件商品获得总利润相同；当15＜m＜20时，购进A种商品14件，B种商品26件时，销售这40件商品获得总利润最大． 23．（10分）综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中AB＝AC，∠B＝30°．将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N． 特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，求旋转角α的度数为 　60　； 探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论． 拓展延伸：（3）①直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角α的度数． ②在图3中，作直线BD，CE交于点P，直接写出当△PDE是直角三角形时旋转角α的度数． 【分析】（1）根据等腰三角形“三线合一”可得结果； （2）可证明△BAM≌△EAN，从而得出结论； （3）①分成DM＝MO，DM＝OD及OM＝OD，根据∠D＝40°，每种情形可求得另外两个角，进一步求得结果； ②根据旋转的性质进行计算即可． 【解答】（1）解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠C＝∠B＝30°，∠BAD∠BAC， ∴∠BAD60， ∴α＝60°， 故答案为：60°； （2）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠MAN＝∠DAE﹣∠MAN， 即：∠BAM＝∠EAN， 在△BAM和△EAN中， ， ∴△BAM≌△EAN（ASA）， ∴AM＝AN； （3）解：①如图1， 当DM＝OM时，∠MOD＝∠D＝30°， ∵∠B＝∠D，∠AMB＝∠DMO， ∴∠BAD＝∠MOD＝30°， ∴α＝30°， 如图2， 当DM＝DO时，∠MDO＝∠DOM75°， ∴α＝∠DOM＝75°， 如图3， 当OM＝OD时，∠OMD＝∠D＝30°， ∴α＝∠DOM＝120°， 此时AD和AC重合，这种情形不存在． 综上所述：α＝30°或75°． ②如图： 当∠EDP＝90°时， ∵∠ABC＝ADE＝30°， ∴∠ADB＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BAD＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∵0°＜α＜100°， ∴旋转角α为60°． 24．（12分）如图a，已知点B（0，6），点C为x轴上一动点，连接BC，△ODC和△EBC都是等边三角形． （1）求证：DE＝BO； （2）如图b，当点D恰好落在BC上时． ①求OC的长及点E的坐标； ②在x轴上是否存在点P，使△PEC为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，说明理由； ③如图c，点M是线段BC上的动点（点B，C除外），过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE于点H，当点M运动时，MH+MG的值是否发生变化？简要说明理由． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到BC＝CE，OC＝CD，∠OCD＝∠BCE＝60°，求得∠OCB＝∠DCE，证明△BCO≌△ECD（SAS），根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）①由点B（0，6），得到OB＝6，根据全等三角形的性质得到∠CDE＝∠BOC＝90°，根据等边三角形的性质得到∠DEC＝30°，求得CE＝4，过E作EF⊥x轴于F，角三角形即可得到结论；②存在，如图d，当CE＝CP＝4时，当CE＝PE，根据等腰三角形的性质即可得到结论；③不会变化，如图c，连接EM，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵△ODC和△EBC都是等边三角形， ∴BC＝CE，OC＝CD，∠OCD＝∠BCE＝60°， ∴∠OCB＝∠DCE， 在△BCO与△ECD中， ， ∴△BCO≌△ECD（SAS）， ∴BC＝CE； （2）解：①∵点B（0，6）， ∴OB＝6， 由（1）知△BCO≌△ECD， ∴∠CDE＝∠BOC＝90°， ∴DE⊥BC， ∵△EBC是等边三角形， ∴∠DEC＝30°， ∴∠OBC＝∠DEC＝30°， ∴OCOB＝2，BC＝4， ∴CE＝4， 过E作EF⊥x轴于F， ∵∠DCO＝∠BCE＝60°， ∴∠ECF＝60°， ∵CE＝BC＝4， ∴CF＝2，EFCE＝6， ∴E（4，6）； ②存在，如图d，当CE＝CP＝4时， ∵OC＝2， ∴OP1＝2，OP2＝6， ∴P1（﹣2，0），P2（6，0）； 当CE＝PE， ∵∠ECP＝60°， ∴△CPE是等边三角形， ∴P2，P3重合， ∴当△PEC为等腰三角形时，P（﹣2，0），或（6，0）； ③不会变化，如图c，连接EM， ∵S△BCEBC•DEBE•GMCE•MN， ∵BC＝CE＝BE， ∴GM+MN＝DE＝6， ∴MN+MG的值不会发生变化． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$