第06讲 一元二次方程（讲义）【2大考点10大题型】-2025年中考数学一轮复习【举一反三】系列（全国版）

第06讲 一元二次方程【2大考点10大题型】 考点一 一元二次方程 1.一元二次方程 （1）一元二次方程的定义 等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数就是2；③就是整式方程. （2）一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是一次项系数；c就是常数项. （3）一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.方程的解的定义就是解方程过程中验根的依据. 2. 直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边就是非负数，可以直接开平方.一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解的x1=,x2=； （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法. （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根就是零；负数没有平方根. （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤就是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根. 3. 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的就是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解. 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开. （1）把常数项移到等号的右边；（2）方程两边都除以二次项系数；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；（4） 若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解. 4. 公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求的方程的解，这种解方程的方法叫做公式法. （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程. （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值； ②确定公式中a,b,c的值，注意符号； ③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则把a,b,c与b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根. 5. 一元二次方程根的判别式 式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4a. 一元二次方程根的判别式 △＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根； △=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； △＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根. 6. 因式分解法解一元二次方程 （1）把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法. （2）因式分解法的详细步骤： ①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0； ②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式与完全平方公式； ③令每一个因式分别为零，的到一元一次方程； ④解一元一次方程即可的到原方程的解. 7. 一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q； 若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=, x1x2=. 【题型1 由一元二次方程的概念及其解求字母的值】 【例1】（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【变式1-1】（2024·江苏南京·中考真题）写出两个一元二次方程，使每个方程都有一个根为0，并且二次项系数都为1： ． 【变式1-2】（2024·广东深圳·中考真题）一元二次方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是(　 ) A．x2－5x+5=0 B．x2+5x－5=0 C．x2+5x+5=0 D．x2+5=0 【变式1-3】（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【题型2 一元二次方程的解法】 【例2】（2024·山东东营·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·贵州黔东南·中考真题）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ． 【变式2-2】（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 【变式2-3】（2024·湖北随州·中考真题）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型3 由一元二次方程判断根的情况】 【例3】（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【变式3-1】（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·内蒙古·中考真题）对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程 的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【变式3-3】（2024·河北·中考真题）小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是，他核对时发现所抄的比原方程的的值小，则原方程的根的情况（　　） A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个根是 D．有两个相等的实数根 【题型4 由根的情况判定字母的取值范围】 【例4】（2024·广东广州·中考真题）已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（    ） A． B．1 C． D． 【变式4-1】（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是 ． 【变式4-2】（2024·江苏南通·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值： ． 【变式4-3】（2024·四川遂宁·中考真题）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围． 【题型5 利用根与系数的关系求代数式的值】 【例5】（2024·江西·中考真题）一元二次方程的两根为, ,则的值为 . 【变式5-1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 【变式5-3】（2024·四川达州·中考真题）已知：m2﹣2m﹣1=0，n2+2n﹣1=0且mn≠1，则的值为 ． 【题型6 利用根与系数的关系求字母的值】 【例6】（2024·山东日照·中考真题）已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式6-1】（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式6-2】（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2．若，则m的值是（    ） A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在 【变式6-3】（2024·湖北武汉·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（    ） A．2或6 B．2或8 C．2 D．6 考点二 一元二次方程的应用 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1） 审：就是指读懂题目，弄清题意，明确哪些就是已知量，哪些就是未知量以及它们之间的等量关系. （2） 设：就是指设元，也就就是设出未知数. （3） 列：就就是列方程，这就是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就的到含有未知数的等式，即方程. （4） 解：就就是解方程，求出未知数的值. （5） 验：就是指检验方程的解就是否保证实际问题有意义，符合题意. （6） 答：写出答案. 2. 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1） 数字问题 三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2. 三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数就是100a+10b+c、 （2） 增长率问题 设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1）2=b. （3）利润问题 利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率 （4）图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程. 【题型7 平均增长（下降）率问题】 【例7】（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【变式7-1】（2024·重庆·中考真题）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为 ． 【变式7-2】（2024·山东·中考真题）某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（  ） A．1000（1+x）2＝3990 B．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990 C．1000（1+2x）＝3990 D．1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3990 【变式7-3】（2024·山东滨州·中考真题）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同． （1）求该商品每次降价的百分率； （2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？ 【题型8 循环赛问题】 【例8】（2024·广东中山·一模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 【变式8-1】（2024·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·黑龙江·中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（    ） A．8 B．10 C．7 D．9 【变式8-3】（2024·河北保定·一模）在一次同学聚会中，每两名同学之间都互送了一件礼物，所有同学共送了90件礼物，共有多少名同学参加了这次聚会? 【题型9 与涨价、降价有关的商品利润问题】 【例9】（2024·辽宁朝阳·中考真题）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？ (3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【变式9-1】（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【变式9-2】（2024·湖北荆州·中考真题）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝24－x，第一年除60万元外其他成本为8元/件． (1)求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式； (2)该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？ 【变式9-3】（2024·贵州毕节·中考真题）北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价） 类别价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣 进货价（元/件） 30 25 销售价（元/件） 45 37 (1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数； (2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？ 【题型10 几何图形的面积问题】 【例10】（2024·山东东营·中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【变式10-1】（2024·黑龙江·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（    ）    A． B． C．或 D． 【变式10-2】（2024·江苏·中考真题）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为．若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需如何设置页边距？    【变式10-3】（2024·辽宁沈阳·中考真题）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完． (1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？ (2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米． 【新考向：新考法】 1．（2024·浙江杭州·中考真题）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，说明理由，并解这个方程． ①；②；③；④． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 2．（2024·山东济南·中考真题）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是 ． 3．（2024·湖南张家界·中考真题）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多 步． 4．（2024·宁夏·中考真题）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程即为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程的正确构图是 ．（只填序号） 5．（2024·湖北十堰·中考真题）对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为 ． 【新考向：新趋势】 1.（2024·福建·中考真题）空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米． （1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1，求所利用旧墙AD的长； （2）已知0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．    2．（2024·吉林·中考真题）若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以为 （写出一个即可）． 3．（2024·江苏扬州·中考真题）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若，则每个直角三角形的面积为 ．    4．（2024·江苏常州·中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份． (1)八进制数3746换算成十进制数是_______； (2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值． 5．（2024·山东济宁·中考真题）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件． (1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元？ (2)每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【新考向：新情境】 1．（2024·湖南郴州·中考真题）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知，，，则正方形ADOF的边长是（        ） A． B．2 C． D．4 2．（2024·四川乐山·模拟预测）《九章算术》中有这样题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙各行几何？”大意是说： 甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．问甲、乙各走了多少步？请问乙走的步数是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·福建龙岩·中考真题）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有，如：，若，则实数x的值是 A．或 B．4或 C．4或 D．或2 4.（2024·上海·中考真题）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 ． 【新考向：跨学科】 1．（2024·广东·模拟预测）电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）之间满足关系式．已知导线的电阻为，1s的时间导线产生的热量，则通过导线的电流为（    ） A．2 A B．4 A C．8 A D．16 A 2．（2024·湖北·模拟测试）如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上拋，那么物体经过离地面的高度（单位：m）为．根据物理学规律，物体经过 s落回地面．（结果保留小数后两位） 3．（2024·浙江·模拟预测）小明利用杠杆原理称药品质量，其知识是“杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂”．如图，当质量为m克的药品分别放在左盘、右盘时，另外一盘分别放了重20克、5克的砝码时杠杆平衡，则m的值为 ． 1．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（    ） A．或 B．或 C． D． 4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 5．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 6．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（    ） A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 7．（2024·四川德阳·中考真题）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 8．（2024·江苏徐州·中考真题）关于x的方程有两个相等的实数根，则k值为 ． 9．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 10．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为 ． 11．（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为 ． 12．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则 ． 13．（2024·江苏南京·中考真题）解方程：x2－2x－3＝0 14．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 15．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 16．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 17．（2024·浙江绍兴·中考真题）已知关于x的方程的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程有实数根．当k为正整数时，求不等式的解． 18．（2024·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两个根为，，且，求的值． 19．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． (1)求与与的关系式． (2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． (3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 一元二次方程【2大考点10大题型】 考点一 一元二次方程 1.一元二次方程 （1）一元二次方程的定义 等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数就是2；③就是整式方程. （2）一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是一次项系数；c就是常数项. （3）一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.方程的解的定义就是解方程过程中验根的依据. 2. 直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边就是非负数，可以直接开平方.一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解的x1=,x2=； （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法. （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根就是零；负数没有平方根. （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤就是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根. 3. 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的就是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解. 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开. （1）把常数项移到等号的右边；（2）方程两边都除以二次项系数；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；（4） 若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解. 4. 公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求的方程的解，这种解方程的方法叫做公式法. （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程. （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值； ②确定公式中a,b,c的值，注意符号； ③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则把a,b,c与b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根. 5. 一元二次方程根的判别式 式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4a. 一元二次方程根的判别式 △＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根； △=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； △＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根. 6. 因式分解法解一元二次方程 （1）把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法. （2）因式分解法的详细步骤： ①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0； ②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式与完全平方公式； ③令每一个因式分别为零，的到一元一次方程； ④解一元一次方程即可的到原方程的解. 7. 一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q； 若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=, x1x2=. 【题型1 由一元二次方程的概念及其解求字母的值】 【例1】（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 【变式1-1】（2024·江苏南京·中考真题）写出两个一元二次方程，使每个方程都有一个根为0，并且二次项系数都为1： ． 【答案】如x2=0, x2-x=0 【详解】只要符合题中条件即可． 【变式1-2】（2024·广东深圳·中考真题）一元二次方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是(　 ) A．x2－5x+5=0 B．x2+5x－5=0 C．x2+5x+5=0 D．x2+5=0 【答案】A 【详解】一元二次方程的一般式为：ax2+bx+c=0(a≠0)， 将原方程去括号为：x2-6x+4+x+1=0， 合并为：x2-5x+5=0， 故答案为：A. 【变式1-3】（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 【题型2 一元二次方程的解法】 【例2】（2024·山东东营·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用配方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 【变式2-1】（2024·贵州黔东南·中考真题）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系．先解一元二次方程，根据三角形三边关系确定第三边的长，进而即可求解． 【详解】解：， ∴， 解得：． 当时，三边为3，4，6，能组成三角形， ∴这个三角形的周长为； 当时，三边为2，3，6，不能组成三角形， 故答案为：13． 【变式2-2】（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 【变式2-3】（2024·湖北随州·中考真题）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得，代入即可得出答案． 【详解】∵， ∴，， ∴ = = = = =， ∵，且， ∴， ∴原式=， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是会将四次先降为二次，再将二次降为一次． 【题型3 由一元二次方程判断根的情况】 【例3】（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此先求出，再求出的符号即可得到结论． 【详解】解： ∵， ∴， ∴ ， ， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 【变式3-1】（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断． 【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意； B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意； C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意； D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意； 故选：D． 【变式3-2】（2024·内蒙古·中考真题）对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程 的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据新定义得到关于x的方程为，再利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为是解题的关键． 【变式3-3】（2024·河北·中考真题）小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是，他核对时发现所抄的比原方程的的值小，则原方程的根的情况（　　） A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个根是 D．有两个相等的实数根 【答案】A 【分析】直接把已知数据代入进而得出 的值，再解方程求出答案． 【详解】解：∵小刚在解关于的方程时，只抄对了，解出其中一个根是， ∴， 解得：， 故原方程中， ∴原方程为， 则， 则原方程的根的情况是不存在实数根， 故选：A． 【点睛】此题考查了根的判别式和一元二次方程的解，正确得出的值是解题关键． 【题型4 由根的情况判定字母的取值范围】 【例4】（2024·广东广州·中考真题）已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】首先根据关于x的方程有两个实数根，得判别式，由此可得，据此可对进行化简． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴判别式， 整理得：， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键． 【变式4-1】（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键． 由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，． 故答案为：． 【变式4-2】（2024·江苏南通·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值： ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解∶∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴当k取0时，方程有两个不相等的实数根． 故答案为：0（答案不唯一）． 【变式4-3】（2024·四川遂宁·中考真题）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围． 【答案】(1)10； (2)且． 【分析】（1）根据新定义计算即可求解； （2）根据新定义得到一元二次方程，利用根的判别式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 整理得， ∵关于x的方程有两个实数根， ∴，且， 解得且． 【点睛】本题考查了新定义运算，根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键． 【题型5 利用根与系数的关系求代数式的值】 【例5】（2024·江西·中考真题）一元二次方程的两根为, ,则的值为 . 【答案】2 【详解】【分析】根据一元二次方程根的意义可得+2=0，根据一元二次方程根与系数的关系可得=2，把相关数值代入所求的代数式即可得. 【详解】由题意得：+2=0，=2， ∴=-2，=4， ∴=-2+4=2， 故答案为2. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的意义，一元二次方程根与系数的关系等，熟练掌握相关内容是解题的关键. 【变式5-1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和； ∴， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和． ∴ A. 中，，，故该选项不符合题意； B. 中，，，故该选项符合题意； C. 中，，，故该选项不符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式5-2】（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 【答案】2028 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 【变式5-3】（2024·四川达州·中考真题）已知：m2﹣2m﹣1=0，n2+2n﹣1=0且mn≠1，则的值为 ． 【答案】3 【分析】将n2+2n-1=0变形为.据此可得m，是方程x2-2x-1=0的两根，由一元二次方程的根与系数的关系可得m+=2，代入可得． 【详解】由n2+2n-1=0可知n≠0． ∴1+-=0． ∴， 又m2-2m-1=0，且mn≠1，即m≠． ∴m，是方程x2-2x-1=0的两根． ∴m+=2． ∴=2+1=3， 故答案为3． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出m，是方程x2-2x-1=0的两根． 【题型6 利用根与系数的关系求字母的值】 【例6】（2024·山东日照·中考真题）已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，再由得到，据此可得答案． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的两个根， ． ， ， ∴ ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 故选：B． 【变式6-1】（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键． 【变式6-2】（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2．若，则m的值是（    ） A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在 【答案】A 【分析】先由二次项系数非零及根的判别式，得出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出，，结合，即可求出m的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+=0有两个不相等的实数根x1、x2， ∴， 解得：m>−1且m≠0， ∵x1、x2是方程mx2−(m+2)x+=0的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴m=2或−1， ∵m>−1， ∴m=2． 故选：A． 【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：(1)根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于m的不等式组；(2)牢记，． 【变式6-3】（2024·湖北武汉·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（    ） A．2或6 B．2或8 C．2 D．6 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可． 【详解】解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根, ∴, ∴ ∵是方程的两个实数根, ∵， 又 ∴ 把代入整理得, 解得, 故选A 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合，找出关于m的一元二次方程． 考点二 一元二次方程的应用 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1） 审：就是指读懂题目，弄清题意，明确哪些就是已知量，哪些就是未知量以及它们之间的等量关系. （2） 设：就是指设元，也就就是设出未知数. （3） 列：就就是列方程，这就是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就的到含有未知数的等式，即方程. （4） 解：就就是解方程，求出未知数的值. （5） 验：就是指检验方程的解就是否保证实际问题有意义，符合题意. （6） 答：写出答案. 2. 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1） 数字问题 三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2. 三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数就是100a+10b+c、 （2） 增长率问题 设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1）2=b. （3）利润问题 利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率 （4）图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程. 【题型7 平均增长（下降）率问题】 【例7】（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为 (2)购买的这种健身器材的套数为200套 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 【变式7-1】（2024·重庆·中考真题）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，则第二季度低空飞行航线安全运行了架次，第三季度低空飞行航线安全运行了架次，据此列出方程即可． 【详解】解：设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为， 由题意得，， 故答案为：． 【变式7-2】（2024·山东·中考真题）某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（  ） A．1000（1+x）2＝3990 B．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990 C．1000（1+2x）＝3990 D．1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3990 【答案】B 【分析】设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1+x）万元，三月份的营业额为100（1+x）2万元，根据该超市第一季度的总营业额是3990万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1+x）万元，三月份的营业额为100（1+x）2万元， 依题意，得1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990． 故选B． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知增长率问题的求解. 【变式7-3】（2024·山东滨州·中考真题）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同． （1）求该商品每次降价的百分率； （2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？ 【答案】（1）10%；（2）6件 【分析】（1）根据某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同，可设每次降价的百分率为x，从而可以列出方程60（1-x）2=48.6，然后求解即可； （2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的不等式，然后即可求得第一次降价出售的件数的取值范围，再根据件数为整数，即可得到第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价． 【详解】解：（1）设该商品每次降价的百分率为x， 60（1-x）2=48.6， 解得x1=0.1，x2=1.9（舍去）， 答：该商品每次降价的百分率是10%； （2）设第一次降价售出a件，则第二次降价售出（20-a）件， 由题意可得，[60（1-10%）-40]a+（48.6-40）×（20-a）≥200， 解得a≥， ∵a为整数， ∴a的最小值是6， 答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系和不等关系，列出相应的方程和不等式，第一问是典型的下降率问题，是中考常考题型． 【题型8 循环赛问题】 【例8】（2024·广东中山·一模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 【答案】9． 【分析】设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为x•x=x2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91列出方程，解方程即可． 【详解】解：设每个支干长出x小分支，根据题意可得：1+x+x2=91， 解得：x1=9，x2=﹣10（不合题意舍去）， 答：每个支干长出9小分支． 【变式8-1】（2024·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：． 【详解】由题意得：， 故选：C． 【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 【变式8-2】（2024·黑龙江·中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（    ） A．8 B．10 C．7 D．9 【答案】B 【分析】设有x支队伍，根据题意，得，解方程即可． 【详解】设有x支队伍，根据题意，得， 解方程，得x1=10，x2=-9（舍去）， 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【变式8-3】（2024·河北保定·一模）在一次同学聚会中，每两名同学之间都互送了一件礼物，所有同学共送了90件礼物，共有多少名同学参加了这次聚会? 【答案】10人 【详解】试题分析：设共有x名同学参加了聚会，根据“每两名同学之间都互送了一件礼物，共送了90件礼物”即可列方程求解. 解：设共有x名同学参加了聚会，由题意得 x(x-1)=90 解得x1=-9，x2=10 经检验x=-9不符合实际意义，舍去 ∴x=10 答: 共有10人参加了聚会. 考点：一元二次方程的应用 点评：解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列方程求解，最后注意舍去不符合题意的解. 【题型9 与涨价、降价有关的商品利润问题】 【例9】（2024·辽宁朝阳·中考真题）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？ (3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)13 (3)每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式； （2）根据每件的销售利润×每天的销售量=425，解一元二次方程即可； （3）利用销售该消毒用品每天的销售利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，根据题意得： ，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：（-5x+150）（x-8）=425， 整理得：， 解得：， ∵8≤x≤15， ∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元； （3）解：根据题意得： ∵8≤x≤15，且x为整数， 当x<19时，w随x的增大而增大， ∴当x=15时，w有最大值，最大值为525． 答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系. 【变式9-1】（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】(1)，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元 (2)这天售出了64辆轮椅 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，得到关于的一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； ∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，每天的利润最大，为元； 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元； （2）当时，， 解得：（不合题意，舍去）； ∴（辆）； 答：这天售出了64辆轮椅． 【变式9-2】（2024·湖北荆州·中考真题）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝24－x，第一年除60万元外其他成本为8元/件． (1)求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式； (2)该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？ 【答案】(1) (2)①第一年的售价为每件16元，②第二年的最低利润为万元． 【分析】（1）由总利润等于每件产品的利润乘以销售的数量，再减去投资成本，从而可得答案； （2）①把代入（1）的函数解析式，再解方程即可，②由总利润等于每件产品的利润乘以销售的数量，再减去投资成本，列函数关系式，再利用二次函数的性质求解利润范围即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得： （2）①由（1）得：当时， 则即 解得： 即第一年的售价为每件16元， ② 第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件， 解得： 其他成本下降2元/件， ∴ 对称轴为 当时，利润最高，为77万元，而 当时，（万元） 当时， （万元） 所以第二年的最低利润为万元． 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，二次函数的性质，理解题意，列出函数关系式，再利用二次函数的性质解题是关键． 【变式9-3】（2024·贵州毕节·中考真题）北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价） 类别价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣 进货价（元/件） 30 25 销售价（元/件） 45 37 (1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数； (2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？ 【答案】(1)A、B两款钥匙扣分别购进20件和10件 (2)购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元 (3)销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元 【分析】(1)设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，根据“用850元购进A、B两款钥匙扣共30件”列出二元一次方程组即可求解； (2)设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，根据“进货总价不高于2200元”列出不等式求出；设销售利润为元，得到，随着m的增大而增大，结合m的范围由此即可求出最大利润； (3)设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，由“平均每天销售利润为90元”得到(4+2a)(12-a)=90，求解即可． 【详解】（1）解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件， 由题意可知： ， 解出：， 故A、B两款钥匙扣分别购进20和10件． （2）解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件， 由题意可知：， 解出：， 设销售利润为元，则， ∴是关于m的一次函数，且3＞0， ∴随着m的增大而增大， 当时，销售利润最大，最大为元， 故购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元． （3）解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元， 由题意可知：(4+2a)(12-a)=90， 解出：a1=3，a2=7， 故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用、一次函数增减性求利润最大问题及一元二次方程的应用，属于综合题，读懂题意是解决本题的关键． 【题型10 几何图形的面积问题】 【例10】（2024·山东东营·中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为 的羊圈； (2)不能，理由见解析． 【分析】（1）设矩形的边，则边 ，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【详解】（1）解：设矩形的边，则边 ． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为 的羊圈． （2）解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 【变式10-1】（2024·黑龙江·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（    ）    A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得： 解得：，（不合题意，舍去）， ∴小路宽为． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式10-2】（2024·江苏·中考真题）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为．若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需如何设置页边距？    【答案】 【分析】设页边距为，根据题意找出等量关系列方程，解方程即可解题． 【详解】解：设页边距为 则列方程为：， 解得：，（舍去）， 答：页边距为． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系列方程式解题的关键． 【变式10-3】（2024·辽宁沈阳·中考真题）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完． (1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？ (2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米． 【答案】(1)AB的长为8厘米或12厘米． (2)150 【分析】（1）设AB的长为x厘米，则有厘米，然后根据题意可得方程，进而求解即可； （2）由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设AB的长为x厘米，则有厘米，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， ∴都符合题意， 答：AB的长为8厘米或12厘米． （2）解：由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S平方厘米，则有： ， ∵，且， ∴当时，S有最大值，即为； 故答案为：150． 【点睛】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关系． 【新考向：新考法】 1．（2024·浙江杭州·中考真题）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，说明理由，并解这个方程． ①；②；③；④． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】选②，，；选③，， 【分析】先根据判别式判断一元二次方程根的情况，再利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：中， ①时，，方程有两个相等的实数根； ②时，，方程有两个不相等的实数根； ③时，，方程有两个不相等的实数根； ④时，，方程没有实数根； 因此可选择②或③． 选择②时， ， ， ， ，； 选择③时， ， ， ， ，． 【点睛】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解一元二次方程，解题的关键是掌握：对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程没有实数根． 2．（2024·山东济南·中考真题）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是 ． 【答案】16 【分析】设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积． 【详解】解：设小正方形的边长为， 矩形的长为 ，宽为 ， 由图1可得：， 整理得：， ，， ， ， 矩形的面积为 ． 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，求出小正方形的边长是解题的关键． 3．（2024·湖南张家界·中考真题）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多 步． 【答案】12 【分析】设长为x步，宽为 (60-x) 步，根据长方形的面积公式列出方程进行求解即可得. 【详解】设长为x步，宽为(60-x) 步， x(60-x)=864 ， 解得，x1=36，x2=24(舍去)， ∴当x=36 时，60-x=24 ， ∴长比宽多：36-24=12 (步)， 故答案为12． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键. 4．（2024·宁夏·中考真题）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程即为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程的正确构图是 ．（只填序号） 【答案】② 【分析】仿造案例，构造面积是的大正方形，由它的面积为，可求出，此题得解． 【详解】解：即， 构造如图②中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， 据此易得． 故答案为②． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，仿造案例，构造出合适的大正方形是解题的关键． 5．（2024·湖北十堰·中考真题）对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为 ． 【答案】或2 【分析】根据新定义的运算得到，整理并求解一元二次方程即可． 【详解】解：根据新定义内容可得：， 整理可得， 解得，， 故答案为：或2． 【点睛】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键． 【新考向：新趋势】 1.（2024·福建·中考真题）空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米． （1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1，求所利用旧墙AD的长； （2）已知0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．    【答案】（1）利用旧墙AD的长为10米．（2）见解析． 【分析】（1）按题意设出AD，表示AB构成方程； （2）根据旧墙长度a和AD长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论s与菜园边长之间的数量关系． 【详解】解：（1）设AD=x米，则AB=米 依题意得，＝450 解得x1=10，x2=90 ∵a=20，且x≤a ∴x=90舍去 ∴利用旧墙AD的长为10米． （2）设AD=x米，矩形ABCD的面积为S平方米 ①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意 得： S=，0＜x＜a ∵0＜a＜50 ∴x＜a＜50时，S随x的增大而增大 当x=a时，S最大=50a-a2    ②如按图2方案围成矩形菜园，依题意得 S=，a≤x＜50+ 当a＜25+＜50时，即0＜a＜时， 则x=25+时，S最大=（25+）2=， 当25+≤a，即≤a＜50时，S随x的增大而减小 ∴x=a时，S最大==， 综合①②，当0＜a＜时，-（）=＞0 ＞， 此时，按图2方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为平方米 当≤a＜50时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等． ∴当0＜a＜时，围成长和宽均为（25+）米的矩形菜园面积最大，最大面积为平方米； 当≤a＜50时，围成长为a米，宽为（50-）米的矩形菜园面积最大，最大面积为（）平方米． 【点睛】本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解题的关键是注意分类讨论变量大小关系． 2．（2024·吉林·中考真题）若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以为 （写出一个即可）． 【答案】5（答案不唯一，只有即可） 【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式△≥0，由此可以得到关于c的不等式，解不等式就可以求出c的取值范围． 【详解】解：一元二次方程化为x2+6x+9-c=0， ∵△=36-4（9-c）=4c≥0， 解上式得c≥0． 故答为5（答案不唯一，只有c≥0即可）． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.关键在于求出c的取值范围． 3．（2024·江苏扬州·中考真题）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若，则每个直角三角形的面积为 ．    【答案】96 【分析】由题意知，，由，可得，计算求出满足要求的，然后求，根据每个直角三角形的面积为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴每个直角三角形的面积为， 故答案为：96． 【点睛】本题考查了勾股定理．解题的关键在于对勾股定理的熟练掌握与灵活运用． 4．（2024·江苏常州·中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份． (1)八进制数3746换算成十进制数是_______； (2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值． 【答案】(1)2022 (2)9 【分析】（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答； （2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）， 故答案为：2022； （2）根据题意有：， 整理得：， 解得n=9，（负值舍去）， 故n的值为9． 【点睛】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n的一元二次方程是解答本题的关键． 5．（2024·山东济宁·中考真题）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件． (1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元？ (2)每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)每件售价应定为50元 (2)每件售价定为55元时，每天的销售利润最大，最大销售利润450元 【分析】（1）设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，从而根据题意列出一元二次方程求解，并舍去不合题意的根即可； （2）由每件利润乘以销售量得到利润的函数关系式，化为顶点式，利用函数性质解答． 【详解】（1）设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每件售价应定为50元； （2）设每天的销售利润为w元． 依题意，得： 整理，得：， 化成顶点式，得， ∴当时．每天的销售利润最大，最大利润是450元． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意列出函数关系式，并掌握将二次函数化为顶点式，利用函数的性质求最值是解题的关键． 【新考向：新情境】 1．（2024·湖南郴州·中考真题）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知，，，则正方形ADOF的边长是（        ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】设正方形ADOF的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，解方程即可． 【详解】设正方形ADOF的边长为x， 由题意得：，， ， 在Rt△中，， 即， 整理得，， 解得：x=2或x=-12(舍去)， ， 即正方形ADOF的边长是2， 故选B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 2．（2024·四川乐山·模拟预测）《九章算术》中有这样题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙各行几何？”大意是说： 甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．问甲、乙各走了多少步？请问乙走的步数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其正值代入中即可求出结论． 【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（舍去）， ， 故选：D 3．（2024·福建龙岩·中考真题）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有，如：，若，则实数x的值是 A．或 B．4或 C．4或 D．或2 【答案】B 【分析】原式根据题中的新定义，得到关于x的一元二次方程，解一元二次方程即可得到结果． 【详解】解：∵对于任意实数a，b，都有， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 故选：B． 【点睛】此题考查了用因式分解的方法解一元二次方程，解答本题关键是明确新定义的运算符号所代表的运算法则． 4.（2024·上海·中考真题）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 ． 【答案】/ 【分析】如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，再证明经过圆心，，分别求解AC，BC，CF， 设的半径为 再分别表示 再利用勾股定理求解半径r即可． 【详解】解：如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK， 过圆心O，， 设的半径为 ∴ 整理得： 解得： 不符合题意，舍去， ∴当等弦圆最大时，这个圆的半径为 故答案为： 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解本题的关键． 【新考向：跨学科】 1．（2024·广东·模拟预测）电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）之间满足关系式．已知导线的电阻为，1s的时间导线产生的热量，则通过导线的电流为（    ） A．2 A B．4 A C．8 A D．16 A 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，正确建立方程是解题关键．根据题意，将已知数值代入关系式可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以通过导线的电流为， 故选：B． 2．（2024·湖北·模拟测试）如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上拋，那么物体经过离地面的高度（单位：m）为．根据物理学规律，物体经过 s落回地面．（结果保留小数后两位） 【答案】2.04 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，列出一元二次方程并求解是解题的关键． 根据物体回落到地面，即，求解即可． 【详解】解：根据物体落回地面，可得， 解得：（舍），， 因此物体经过2.04s落回地面． 故答案为：2.04． 3．（2024·浙江·模拟预测）小明利用杠杆原理称药品质量，其知识是“杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂”．如图，当质量为m克的药品分别放在左盘、右盘时，另外一盘分别放了重20克、5克的砝码时杠杆平衡，则m的值为 ． 【答案】10 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，准确列出等式列出关于m的方程，是解题的关键．根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，分别利用两幅图分别列式变形为，，然后得出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图， 由第一个图可得，则， 由第二个图可得，则， ∴， 解得：，负值舍去， 故答案为：10． 1．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 根据利用完全平方公式的特征求解即可； 【详解】解： 故选B． 2．（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷，则2023年平均每公顷产，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产， 则2023年平均每公顷产， 根据题意有：， 故选：A． 3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为 ，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程即可． 【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为 ， 则平行于墙的一边的长为， 由题意得， 解得：，， 当时，平行于墙的一边的长为； 当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意； ∴该矩形场地长为米， 故选C． 4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 5．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和； ∴， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和． ∴ A. 中，，，故该选项不符合题意； B. 中，，，故该选项符合题意； C. 中，，，故该选项不符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 故选：B． 6．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（    ） A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当时和当，根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：当即时，一次函数y随x的增大而增大， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 当即时，一次函数y随x的增大而减小， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 综上，或， 故选：A 7．（2024·四川德阳·中考真题）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解，熟练掌握勾股定理，利用判别式判断一元二次方程解的情况是解题的关键．设，，假设存在点，且，则，利用勾股定理得到，，，可得到方程，结合，然后根据判别式的符号即可确定有几个解，由此得解． 【详解】解：如图所示，四边形是黄金矩形，，， 设，，假设存在点，且，则， 在中，， 在中，， ， ，即， 整理得， ，又，即， ， ，， ， 方程无解，即点不存在． 故选：D． 8．（2024·江苏徐州·中考真题）关于x的方程有两个相等的实数根，则k值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 9．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 【答案】12 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； …， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知，解得， 又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 故答案为：12． 10．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解． 【详解】解：∵， ∴， 将代入 得，， 即：， ， ∴或， ∵， ∴舍， ∴， 故答案为：3． 11．（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴ ， 故答案为：． 12．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 设，，根据折叠性质得，，过E作于H，设与相交于M，证明得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形得到，可得，证明得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵沿翻折，得到， ∴，， 过E作于H，设与相交于M， 则，又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴，则， 解得，（舍去）， 即， 故答案为：． 13．（2024·江苏南京·中考真题）解方程：x2－2x－3＝0 【答案】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【详解】解：， ， 或， 或， 故方程的解为． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键． 14．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 【答案】（1）或 （2）第三边的长是或 【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理． （1）用因式分解法解即可； （2）分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计算即可． 【详解】解：（1） 或； （2）当两条直角边分别为3和1时， 根据勾股定理得，第三边为； 当一条直角边为1，斜边为3时， 根据勾股定理得，第三边为． 答：第三边的长是或． 15．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可； （2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴ ． 16．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． （）利用根和系数的关系即可求解； （）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得； （）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解． 【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （3）解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 17．（2024·浙江绍兴·中考真题）已知关于x的方程的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程有实数根．当k为正整数时，求不等式的解． 【答案】或 【分析】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，分式有意义、解一元二次方程等知识点，在解方程时一定要注意所求k的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程． 由于关于x的方程的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a的方程求出a，又由于关于x的方程有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k为正整数，利用判别式可以求出k，最后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】解：设方程的两个根为， 则， 由条件知，即且， 故． 则方程为． 当，即时，关于x的方程为有实数根， 不等式即为， 则， 或． 当时，， ． 又是正整数，且， ，但使不等式的分母无意义． 综上，不等式的解为：或． 18．（2024·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两个根为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，把字母和数代入求出的取值范围； （2）根据两根之积为：，把字母和数代入求出的值． 【详解】（1）解：， ∵有两个不相等的实数， ∴， 解得：； （2）∵方程的两个根为，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）． 即：． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，． 19．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． (1)求与与的关系式． (2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． (3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 【答案】(1)； (2)能， (3)的最大值为800，此时 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用： （1）根据可求出与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式； （2）令，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可 ； （3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可． 【详解】（1）解：∵篱笆长， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵墙长42m， ∴， 解得，， ∴； 又矩形面积 ； （2）解：令，则， 整理得：， 此时，， 所以，一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴围成的矩形花圃面积能为； ∴ ∴ ∵， ∴； （3）解： ∵ ∴有最大值， 又， ∴当时，取得最大值，此时， 即当时，的最大值为800 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$