训练十四 完全平方公式【计算100分】七年级下册数学30天攻克计算重点难点

- 78 - ＝4a2﹣25b2；【解答】（2）（1 2 x﹣3）（1 2 x+3）= ( 1 2 �)2 −32= 1 4 x2 ﹣9；【解答】（3）（y﹣2x）（﹣2x﹣y）＝（﹣2x）2﹣y2＝4x2 ﹣y2；【解答】（4）（xy+1）（xy﹣1）＝（xy）2﹣12＝x2y2﹣1． 3．【解答】（1）（2x+8）•（2x﹣8）＝（2x）2﹣82＝4x2﹣64； 【解答】（2）（2+5a）•（5a﹣2）＝（5a）2﹣22＝25a2﹣4； 【解答】（3）（1.2m﹣n）•（1.2m+n）＝（1.2m）2﹣n2＝1.44m2 ﹣ n2；【解答】（ 4）（ 3a2+ 1 4 b）（ 3a2− 1 4 b）＝（ 3a2） 2−( 1 4 �)2 =9a4− 1 16 b2． 4．【解答】解：（1）（3a﹣4b）2﹣（3a+4b）2＝9a2﹣24ab+16b2 ﹣9a2﹣24ab﹣16b2＝﹣48ab（2）（2x﹣3y）2﹣（4y﹣3x）（4y+3x） ＝4x2﹣12xy+9y2﹣16y2+9x2＝13x2﹣12xy﹣7y2． 5．【解答】解：（1）（3a+4b）（3a﹣4b），＝（3a）2﹣（4b）2， ＝9a2﹣16b2；（2）（a+b﹣c）（a+b+c），＝[（a+b）﹣c][（a+b） +c]，＝（a+b）2﹣c2；（3）( − 1 3 � + � + 2�)( − 1 3 � − � + 2�)， ＝[（− 1 3 +2b）+c][（− 1 3 +2b）﹣c]，= ( − 1 3 � + 2�)2 − �2． 6．【解答】解：原式＝（200﹣0.5）×（200+0.5）＝40000﹣0.25 ＝39999.75． 7．【解答】解：（1）27×33＝（30﹣3）（30+3）＝900﹣9＝891． 【解答】（2）5.9×6.1＝（6﹣0.1）（6+0.1）＝36﹣0.01＝35.99． 8．【解答】解：（1）a4﹣（a﹣b）•（a+b）•（a2+b2）； ＝a4﹣（a2﹣b2）•（a2+b2）＝a4﹣（a4﹣b4）＝a4﹣a4+b4＝b4； （2） 2015 20152−2016×2014 = 2015 20152−(2015+1)(2015−1) = 2015 20152−20152+1 ＝2015． 9．【解答】解：原式＝（y2− 9 4 x2）（﹣y2− 9 4 x2）＝﹣（y2− 9 4 x2）（y2+ 9 4 x2） ＝﹣y4+ 81 16 x4． 10．【解答】解：∵（2a+2b﹣1）（2a+2b+1）＝63，∴[（2a+2b） ﹣1）][（2a+2b）+1]＝63，∴（2a+2b）2﹣1＝63，∴（2a+2b） 2＝64，∴2a+2b＝±8，∴a+b＝4或﹣4． 11．【解答】解：（1）（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1， （a﹣1）（a2+a+1）＝a3+a2+a﹣a2﹣a﹣1＝a3﹣1， （a﹣1）（a3+a2+a+1）＝a4+a3+a2+a﹣a3﹣a2﹣a﹣1＝a4﹣1， （a﹣1）（a99+a98+…+a+1）＝a100﹣1，故答案为：a2﹣1，a3﹣1， a4﹣1，a100﹣1； 【解答】（2）2199+2198+2197+…+22+2+1＝（2﹣1）× （2199+2198+2197+…+22+2+1）＝2200﹣1． 12．【解答】解：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1） = 1 4 （5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1） = 1 4 （52﹣1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1） ＝… = 1 4 （516﹣1）（516+1） = 1 4 （532﹣1）． 训练十四 完全平方公式 一．填空题（共 10小题） 1．【解答】解：平方差公式用字母表示为（a+b）（a﹣b）＝ a2﹣b2，完全平方差公式用字母表示为（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， 故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2． 2．【解答】解：＝a2﹣2×3a+32＝a2﹣6a+9．答案：a2﹣6a+9． 3．【解答】解：（﹣x﹣1）2＝（x+1）2＝x2+2x+1．故答案为： x2+2x+1． 4．【解答】解：∵a+b＝7，ab＝11，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ＝49﹣22＝27．故答案为：27． 5．【解答】解：∵a2+b2＝5，ab＝2，∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 ＝5﹣2×2＝5﹣4＝1．故答案为：1． 6．【解答】解：（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2＝8①，（m+n）2＝ m2+2mn+n2＝2②，①+②得，2（m2+n2）＝10，解得 m2+n2 ＝5．故答案为：5． 7．【解答】解：∵（x﹣3）2＝x2﹣6x+9＝x2+2mx+9，∴2m ＝﹣6，∴m＝﹣3．故答案为：﹣3． 8．【解答】解：∵（x+2）2＝x2+4x+4，∴“□”中的数为 4． 故答案为：4． 9．【解答】解：设 t＝x﹣2026∵（x﹣2025）2+（x﹣2027）2 ＝34，∴（t+1）2+（t﹣1）2＝34，即 2t2+2＝34，解得 t2 - 79 - ＝16，即（x﹣2026）2的值为 16．故答案为：16． 10．【解答】解：第 1个算式中，第三项的系数为 1； 第 2个算式中，第三项的系数为 1+2＝3； 第 3个算式中，第三项的系数为 1+2+3＝6； 第 4个算式中，第三项的系数为 1+2+3+4＝10； … 第 9个算式中，第三项的系数为 1+2+3+4+…+9＝45． 故答案为：45． 二．选择题（共 10小题） 11．【解答】解：（3x﹣1）2＝9x2﹣6x+1，故选：B． 12．【解答】解：由题意知，原式＝1﹣m+ 1 4 m2，故选：B． 13．【解答】解：（﹣s2+t）2＝s4﹣2s2t+t2．故选：C． 14．【解答】解：∵（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+4×2a×3b＝ （2a﹣3b）2+24ab，（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+A，∴A＝24ab． 故选：D． 15．【解答】解：A．（a+b）2＝a2+2ab+b2≠a2+b2，故选项 A 运算不正确；B．（2a+b）2＝4a2+4ab+b2≠2a2+2ab+b2，故选 项 B运算不正确；C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2≠a2+2ab﹣b2， 故选项 C运算不正确；D．（a− 1 2 ）2＝a2﹣a+ 1 4 ，故选项 D 运算正确．故选：D． 16．【解答】解：由 a+b＝2得：a＝2﹣b，则 a2﹣b2+4b＝（2 ﹣b）2﹣b2+4b＝4﹣4b+b2﹣b2+4b＝4．故选：B． 17．【解答】解：2112﹣422×111+1112＝k+992﹣1， 2112﹣2×211×111+1112＝k+992﹣1，（211﹣111）2＝k+992 ﹣1，1002＝k+992﹣1，k＝1002﹣992+1，k＝（100+99）×（100 ﹣99）+1＝199+1＝200，故选：C． 18．【解答】解：∵a+b＝﹣1，ab＝﹣5，∴a2+b2＝（a+b）2 ﹣2ab＝（﹣1）2﹣2×（﹣5）＝1+10＝11，故选：B． 19．【解答】解：把 a+b＝6两边平方得：（a+b）2＝36， 整理得：a2+b2+2ab＝36，将 ab＝3代入得：a2+b2＝30， 则原式＝15﹣3＝12，故选：D． 20．【解答】解：9.52＝（10﹣0.5）2＝102﹣2×10×0.5+0.52． 故选：C． 三．解答题（共 24小题） 21．运用乘法公式计算 （1）【解答】解：原式＝x2﹣4xy+4y2． （2）【解答】解：（x+2y﹣1）2＝[（x+2y）﹣1]2 ＝（x+2y）2﹣2（x+2y）+1＝x2+4xy+4y2﹣2x﹣4y+1； （3）【解答】（a+b）（a﹣b）+（3a+b）2 ＝a2﹣b2+9a2+6ab+b2 ＝10a2+6ab． （4）【解答】解：2（a+3）2﹣（﹣a+4）（﹣a﹣4） ＝2（a2+6a+9）﹣（a2﹣16） ＝2a2+12a+18﹣a2+16 ＝a2+12a+34． （5）【解答】＝[x+y+z+（x+y﹣z）][x+y+z﹣（x+y﹣z）] ＝（2x+2y）•2z＝4xz+4yz； （6）【解答】＝[a+2b﹣（a﹣2b）]2 ＝（4b）2＝16b2． 22．【解答】解：（1）2、2．（2）23．（3）∵a＝0时方程不 成立，∴a≠0，∵a2﹣3a+1＝0两边同除 a得：a﹣3+ 1 � =0， 移项得：a+ 1 � =3，∴a2+ 1 �2 =（a+ 1 � ）2﹣2＝7． 23．【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac， 故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； 【解答】（2）（a﹣b﹣c）2 ＝a2﹣[2c（a﹣b﹣c）+2b（a﹣b﹣c）+2cb+c2+b2] ＝a2+b2+c2+2bc﹣2ab﹣2ac， 故答案为：（a﹣b﹣c）2＝a2+b2+c2+2bc﹣2ab﹣2ac； 【解答】（3）由（1）可得，（a+b+c）2 ＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）， 当 a+b+c＝2，a2+b2+c2＝1 时，22＝1+2（ab+bc+ac）， 即 2（ab+bc+ac）＝3，∴ab+bc+ac= 3 2 ． -计算 100 分·七年级下册- - 39 - 训练十四 完全平方公式 （答案 78页） 【知识导航】 1. 完全平方公式： （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是 两项的平方，都为正，中间一项是两项积的 2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的 a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差） 的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 2．完全平方公式的几何背景： （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几 何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边 长为 a和边长为 b的两个正方形与两个长宽分别是 a，b的长方形的面积和作为相等关系） 一．填空题（共 10小题） 1．平方差公式用字母表示为 ．完全平方差公式用字母表示为 ． 2．计算：（a﹣3）2＝ ． 3．计算（﹣x﹣1）2＝ ． 4．已知 a+b＝7，ab＝11，则 a2+b2＝ ． 5．如果 a2+b2＝5，ab＝2，那么（a﹣b）2＝ ． 6．已知（m﹣n）2＝8，（m+n）2＝2，则 m2+n2＝ ． 7．已知（x﹣3）2＝x2+2mx+9，则 m的值是 ． 8．计算（x+2）2的结果为 x2+□x+4，则“□”中的数为 ． 9．已知（x﹣2025）2+（x﹣2027）2＝34，则（x﹣2026）2的值是 ． 10．观察下列各式及其展开式： （a+b）2＝a2+2ab+b2； （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3； -计算 100 分·七年级下册- - 40 - （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4； （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5； … 请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是 ． 二．选择题（共 10小题） 11．计算（3x﹣1）2的结果是（ ） A．6x2﹣6x+1 B．9x2﹣6x+1 C．9x2﹣6x﹣1 D．9x2+6x﹣1 12．（− 12m+1） 2的计算结果为（ ） A．1− 14m 2 B．1﹣m+ 14m 2 C． 1 4 m2+1 D．1+m+ 14m 2 13．利用完全平方公式计算（﹣s2+t）2应等于（ ） A．﹣s2﹣2st+t2 B．﹣s4﹣2s2t+t2 C．s4﹣2s2t+t2 D．s4﹣2st﹣t2 14．设（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+A，则 A＝（ ） A．6ab B．12ab C．0 D．24ab 15．下列运算，正确的是（ ） A．（a+b）2＝a2+b2 B．（2a+b）2＝2a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2+2ab﹣b2 D．(� − 12 ) 2 = �2 − � + 14 16．已知 a+b＝2，求代数式 a2﹣b2+4b的值为（ ） A．0 B．4 C．5 D．﹣7 17．若 2112﹣422×111+1112＝k+992﹣1，则 k的值是（ ） A．100 B．198 C．200 D．205 18．若 a+b＝﹣1，ab＝﹣5，则 a2+b2的值为（ ） A．﹣9 B．11 C．23 D．27 19．已知 a+b＝6，ab＝3，则 �2+�2 2 −ab＝（ ） A．9 B．18 C．15 D．12 20．将 9.52变形正确的是（ ） A．9.52＝92+0.52 B．9.52＝（10+0.5）（10﹣0.5） C．9.52＝102﹣2×10×0.5+0.52 D．9.52＝92+9×0.5+0.52 -计算 100 分·七年级下册- - 41 - 三．解答题（共 3小题） 21．运用公式计算： （1）（x﹣2y）2 （2）（x+2y﹣1）2 （3）（a+b）（a﹣b）+（3a+b）2 （4）2（a+3）2﹣（﹣a+4）（﹣a﹣4） （5）（x+y+z）2﹣（x+y﹣z）2 （6）（a+2b）2﹣2（a+2b）（a﹣2b）+（a﹣2b）2 22．回答下列问题 （1）填空：x2+ 1�2 =（x+ 1 �） 2﹣ ＝（x− 1�） 2+ （2）若 a+ 1� =5，则 a 2+ 1�2 = ； （3）若 a2﹣3a+1＝0，求 a2+ 1�2的值． 23．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如：由图 1可得到（a+b）2＝a2+b2+2ab． （1）写出由图 2所表示的数学等式： ； （2）写出由图 3所表示的数学等式（利用阴影部分）： ； （3）已知实数 a，b，c满足 a+b+c＝2，a2+b2+c2＝1，求 ab+bc+ac的值．