训练十三 平方差公式【计算100分】七年级下册数学30天攻克计算重点难点

- 77 - （2）�2�−� = �2� ÷�� = (��)2 ÷�� = 9 ÷ 5 = 9 5 ． 2．【解答】解：（1）2x+y＝2x•2y＝3×5＝15；【解答】（2）23x ＝（2x）3＝33＝27；【解答】（3）22x+y﹣1＝（2x）2•2y÷2＝32 ×5÷2= 452． 3．【解答】解“（1）∵5m＝2，5n＝4，5k＝800，∴53�+2�−� = 53� ⋅ 52� ÷ 5� = (5�)3 ⋅ (5�)2 ÷ 5� = 23 × 42 ÷ 800 = 4 25 ．【解答】 （2）∵5m＝2，5n＝4，5k＝800，∴5k﹣3m﹣n＝5k÷53m÷5n＝5k ÷（5m）3÷5n＝800÷23÷4＝25＝52，∴k﹣3m﹣n＝2． 4．【解答】解：∵x3m＝2，y2m＝3，∴（x2m）3+（ym）6﹣（x2y） 3m•ym＝（x3m）2+（y2m）3﹣（x6my3m×ym）＝（x3m）2+（y2m） 3﹣（x3my2m）2＝22+33﹣（2×3）2＝﹣5． 5．【解答】解：（1）8�� ⋅ 1 4 � =2x2y；故答案为：2x2y． 【解答】（2）6b2•4ab＝24ab3；故答案为：24ab3． 【解答】（3）2m3n•（﹣mn2）＝﹣2m4n3；故答案为：﹣2m4n3． 【解答】（4）﹣4a3b2c•3ab3＝﹣12a4b5c．故答案为：﹣12a4b5c． 6.计算．（1）【解答】解：（a+b）2•（a+b）3．＝（a+b）2+3 ＝（a+b）5； （2）【解答】3a4•a6﹣2a10＝3a10﹣2a10＝a10． （3）【解答】解：原式＝7a•a2b2•（﹣a2b）＝﹣7a5b3． （4）【解答】解：−2�2�� ⋅ ( − 1 6 ��2�) ⋅ (9���2) = 2 × 1 6 × 9�2+1+1�1+2+1�1+1+2 ＝3x4y4z4． （5）【解答】解：＝4x2y4（1 4 y2− 1 2 x2− 3 2 xy）＝x2y6﹣2x4y4﹣6x3y5． （6）【解答】解：（15x3y+10x2y﹣5xy2）÷5xy＝3x2+2x﹣y； （7）【解答】解：（3x+y）（x+2y）﹣3x（x+2y）＝3x2+6xy+xy+2y2 ﹣3x2﹣6xy＝xy+2y2； （8）【解答】（﹣a2b）3+a4b·（﹣2ab）2＝﹣a6b3+a4b×4a2b2 ＝﹣a6b3+4a6b3＝3a6b3； （9）【解答】＝[2x3y﹣2x2y2+x2y2﹣x3y]÷x2y＝（x3y﹣x2y2）÷ x2y＝x﹣y （10）【解答】＝[2a﹣（b﹣3）][2a+（b﹣3）]＝4a2﹣（b﹣3） 2 ＝4a2﹣b2+6b﹣9 7. 先化简，后求值：（1）【解答】解：原式＝x2﹣4xy+4y2+x2 ﹣4y2﹣x2+4xy＝x2，将 x＝1代入原式，原式＝12＝1． （2）【解答】解：原式＝a6+4a6﹣a6＝4a6，当 a＝﹣1时，原 式＝4； （3）【解答】原式＝4x2﹣4x﹣4x2+1＝﹣4x+1，当 x＝﹣5时， 原式＝20+1＝21． （4）【解答】解：原式＝x2+2xy﹣x2﹣2x﹣1+2x＝2xy﹣1， 当 x= 1 25 ，y＝25时，原式＝2× 1 25 ×25﹣1＝2﹣1＝1． （5）【解答】解：原式＝（x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2﹣4x2+2xy）÷ 2x＝（﹣2x2﹣2xy）÷2x＝﹣x﹣y，当 x＝5，y＝﹣6时，原 式＝﹣5﹣（﹣6）＝﹣5+6＝1． （6）【解答】解：原式＝4x2﹣4x+1﹣2（x2﹣1）﹣x2+2x ＝4x2﹣4x+1﹣2x2+2﹣x2+2x＝x2﹣2x+3∵其中 x2﹣2x﹣3＝0， ∴x2﹣2x＝3．所以原式＝3+3＝6． 8．【解答】解：（1）（x3+mx+n）（x2﹣3x+4），＝x5﹣3x4+4x3+mx3 ﹣3mx2+4mx+nx2﹣3nx+4n，＝x5﹣3x4+（4+m）x3+（n﹣3m） x2+（4m﹣3n）x+4n，由题意得：4 + � = 0� − 3� = 0，解得： � =− 4 � =− 12， 【解答】（2）（m+n）（m2﹣mn+n2），＝m3+n3，当 m＝﹣4，n ＝﹣12时，原式＝（﹣4）3+（﹣12）3＝﹣64﹣1728＝﹣1792． 9．【解答】解：（1）∵a2m﹣n＝2，∴a2m﹣n＝2，a2m÷an＝2， （am）2÷an＝2，42÷an＝2．∴an＝8；（2）①anbn＝（ab）n， 故答案为：anbn＝（ab）n；②52024 × ( − 0.2)2023 = 5 × 52023 × ( − 1 5 )2023 = 5 × [5 × ( − 1 5 )]2023 ＝5×（﹣1）2023＝﹣5． 训练十三 平方差公式 一．解答题（共 12小题） 1．【解答】解：（1）（a+6）•（a﹣6）＝a2﹣62＝a2﹣36； 【解答】（2）（1+x）•（1﹣x）＝12﹣x2＝1﹣x2；【解答】（3）（x ﹣20y）•（x+20y）＝x2﹣（20y）2＝x2﹣400y2；【解答】（4） （a﹣3）•（a+3）•（a2+9）＝（a2﹣9）（a2+9）＝a4﹣81． 2．【解答】解：（1）（2a+5b）（2a﹣5b）＝（2a）2﹣（5b）2 - 78 - ＝4a2﹣25b2；【解答】（2）（1 2 x﹣3）（1 2 x+3）= ( 1 2 �)2 −32= 1 4 x2 ﹣9；【解答】（3）（y﹣2x）（﹣2x﹣y）＝（﹣2x）2﹣y2＝4x2 ﹣y2；【解答】（4）（xy+1）（xy﹣1）＝（xy）2﹣12＝x2y2﹣1． 3．【解答】（1）（2x+8）•（2x﹣8）＝（2x）2﹣82＝4x2﹣64； 【解答】（2）（2+5a）•（5a﹣2）＝（5a）2﹣22＝25a2﹣4； 【解答】（3）（1.2m﹣n）•（1.2m+n）＝（1.2m）2﹣n2＝1.44m2 ﹣ n2；【解答】（ 4）（ 3a2+ 1 4 b）（ 3a2− 1 4 b）＝（ 3a2） 2−( 1 4 �)2 =9a4− 1 16 b2． 4．【解答】解：（1）（3a﹣4b）2﹣（3a+4b）2＝9a2﹣24ab+16b2 ﹣9a2﹣24ab﹣16b2＝﹣48ab（2）（2x﹣3y）2﹣（4y﹣3x）（4y+3x） ＝4x2﹣12xy+9y2﹣16y2+9x2＝13x2﹣12xy﹣7y2． 5．【解答】解：（1）（3a+4b）（3a﹣4b），＝（3a）2﹣（4b）2， ＝9a2﹣16b2；（2）（a+b﹣c）（a+b+c），＝[（a+b）﹣c][（a+b） +c]，＝（a+b）2﹣c2；（3）( − 1 3 � + � + 2�)( − 1 3 � − � + 2�)， ＝[（− 1 3 +2b）+c][（− 1 3 +2b）﹣c]，= ( − 1 3 � + 2�)2 − �2． 6．【解答】解：原式＝（200﹣0.5）×（200+0.5）＝40000﹣0.25 ＝39999.75． 7．【解答】解：（1）27×33＝（30﹣3）（30+3）＝900﹣9＝891． 【解答】（2）5.9×6.1＝（6﹣0.1）（6+0.1）＝36﹣0.01＝35.99． 8．【解答】解：（1）a4﹣（a﹣b）•（a+b）•（a2+b2）； ＝a4﹣（a2﹣b2）•（a2+b2）＝a4﹣（a4﹣b4）＝a4﹣a4+b4＝b4； （2） 2015 20152−2016×2014 = 2015 20152−(2015+1)(2015−1) = 2015 20152−20152+1 ＝2015． 9．【解答】解：原式＝（y2− 9 4 x2）（﹣y2− 9 4 x2）＝﹣（y2− 9 4 x2）（y2+ 9 4 x2） ＝﹣y4+ 81 16 x4． 10．【解答】解：∵（2a+2b﹣1）（2a+2b+1）＝63，∴[（2a+2b） ﹣1）][（2a+2b）+1]＝63，∴（2a+2b）2﹣1＝63，∴（2a+2b） 2＝64，∴2a+2b＝±8，∴a+b＝4或﹣4． 11．【解答】解：（1）（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1， （a﹣1）（a2+a+1）＝a3+a2+a﹣a2﹣a﹣1＝a3﹣1， （a﹣1）（a3+a2+a+1）＝a4+a3+a2+a﹣a3﹣a2﹣a﹣1＝a4﹣1， （a﹣1）（a99+a98+…+a+1）＝a100﹣1，故答案为：a2﹣1，a3﹣1， a4﹣1，a100﹣1； 【解答】（2）2199+2198+2197+…+22+2+1＝（2﹣1）× （2199+2198+2197+…+22+2+1）＝2200﹣1． 12．【解答】解：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1） = 1 4 （5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1） = 1 4 （52﹣1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1） ＝… = 1 4 （516﹣1）（516+1） = 1 4 （532﹣1）． 训练十四 完全平方公式 一．填空题（共 10小题） 1．【解答】解：平方差公式用字母表示为（a+b）（a﹣b）＝ a2﹣b2，完全平方差公式用字母表示为（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， 故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2． 2．【解答】解：＝a2﹣2×3a+32＝a2﹣6a+9．答案：a2﹣6a+9． 3．【解答】解：（﹣x﹣1）2＝（x+1）2＝x2+2x+1．故答案为： x2+2x+1． 4．【解答】解：∵a+b＝7，ab＝11，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ＝49﹣22＝27．故答案为：27． 5．【解答】解：∵a2+b2＝5，ab＝2，∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 ＝5﹣2×2＝5﹣4＝1．故答案为：1． 6．【解答】解：（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2＝8①，（m+n）2＝ m2+2mn+n2＝2②，①+②得，2（m2+n2）＝10，解得 m2+n2 ＝5．故答案为：5． 7．【解答】解：∵（x﹣3）2＝x2﹣6x+9＝x2+2mx+9，∴2m ＝﹣6，∴m＝﹣3．故答案为：﹣3． 8．【解答】解：∵（x+2）2＝x2+4x+4，∴“□”中的数为 4． 故答案为：4． 9．【解答】解：设 t＝x﹣2026∵（x﹣2025）2+（x﹣2027）2 ＝34，∴（t+1）2+（t﹣1）2＝34，即 2t2+2＝34，解得 t2 -计算 100 分·七年级下册- - 36 - 训练十三 平方差公式 （答案 77页） 【知识导航】 平方差公式： （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的 a和 b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 一．解答题（共 12小题） 1．利用平方差公式计算： （1）（a+6）•（a﹣6） （2）（1+x）•（1﹣x） （3）（x﹣20y）•（x+20y） （4）（a﹣3）•（a+3）•（a2+9）． 2．利用乘法公式计算： （1）（2a+5b）（2a﹣5b） （2）（ 1 2 x﹣3）（ 1 2 x+3） （3）（y﹣2x）（﹣2x﹣y） （4）（xy+1）（xy﹣1） 3．计算： （1）（2x+8）•（2x﹣8） （2）（2+5a）•（5a﹣2） -计算 100 分·七年级下册- - 37 - （3）（1.2m﹣n）•（1.2m+n） （4）（3a2+ 14b）（3a 2− 14b） 4．运用完全平方公式计算 （1）（3a﹣4b）2﹣（3a+4b）2 （2）（2x﹣3y）2﹣（4y﹣3x）（4y+3x）． 5．计算： （1）（3a+4b）（3a﹣4b） （2）（a+b﹣c）（a+b+c）； （3）( − 13 � + � + 2�)( − 1 3 � − � + 2�)． 6．199.5×200.5（运用公式简便运算） 7．利用平方差公式计算： （1）27×33 （2）5.9×6.1． 8．计算： （1）a4﹣（a﹣b）•（a+b）•（a2+b2）； （2） 2015 20152−2016×2014 9．计算：（ 3 2 x+y）•（y− 32x）•（﹣y 2− 94x 2）． -计算 100 分·七年级下册- - 38 - 10．若（2a+2b﹣1）（2a+2b+1）＝63，求 a+b的值． 11．（1）你能求出（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先从简单的情况 入手，分别计算下列各式的值． （a﹣1）（a+1）＝ ； （a﹣1）（a2+a+1）＝ ； （a﹣1）（a3+a2+a+1）＝ ；… 由此我们可以得到：（a﹣1）（a99+a98+…+a+1）＝ ． （2）利用（1）的结论，完成下面的计算： 2199+2198+2197+…+22+2+1． 12．我们在计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）时，发现直接运算很麻烦，如果在算式前乘以（2 ﹣1）即 1，原算式的值不变，而且还使整个算式能用乘法公式计算．即：原式＝（22﹣1）（22+1）（24+1） （28+1）（216+1）＝232﹣1．你能用上述方法迅速地算出（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）的值吗？ 请试着计算．