训练二 解二元一次方程方法【计算100分】七年级下册数学30天攻克计算重点难点

-计算 100 分·七年级下册- - 3 - 训练二 解二元一次方程方法 （答案 64页） 【知识导航】 解二元一次方程组： （1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的 一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数， 得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出 x（或 y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的 关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的 x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又 不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的 两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④ 将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的 值写在一起，就得到原方程组的解，用 � = � � = �的形式表示． 一．填空题（共 4小题） 1．用加减法解方程组 3� + 4� = 152� − 4� = 10消元方法是：将两个方程 ，消去未知数 ． 2．方程组 � + � = 8 � − � = 2的解是 ． 3．若（x+y﹣5）2+|x﹣3y﹣17|＝0，则 x﹣y＝ ． 4．已知方程组 2� + � = 4 � + 2� = 2，则 x+y的值为 ． 二．选择题（共 5小题） 5．用代入消元法解方程组 � = 2� + 1，① 5� − 2� = 7，② 将①代入②可得（ ） A．5x﹣4x﹣2＝7 B．5x﹣2x﹣1＝7 C．5x﹣4x+1＝7 D．5x﹣4x+2＝7 6．代入法解方程组 � = 3� − 1 � − 2� = 4时，代入正确的是（ ） A．y﹣2y+1＝4 B．3y﹣1﹣2y＝4 C．y﹣2（3y﹣1）＝4 D．2y﹣1﹣3y＝4 7．用加减消元法解方程组 5� − 2� = 3① � + 2� =− 19② ，下列做法正确的是（ ） A．①+② B．①﹣② C．①+②×5 D．①×5﹣② -计算 100 分·七年级下册- - 4 - 8．已知二元一次方程组 2� + 5� = 13① 3� − 7� =− 7② ，用加减消元法解方程组正确的是（ ） A．①×5﹣②×7 B．①×2+②×3 C．①×3﹣②×2 D．①×7﹣②×5 9．用代入法解二元一次方程 2� + � = 5① 3� + 4� = 7② 过程中，下列变形不正确的是（ ） A．由①得� = 5−�2 B．由①得 y＝5﹣2x C．由②得� = 7+4� 3 D．由②得� = 7−3� 4 三．解答题（共 4小题） 10．解二元一次方程组 （1） 3� + � = 8 2� − � = 2 （2） 2� − 3� =− 2 5� + 3� = 37 （3） 3� + 2� = 54� − � = 3 （4） 2� − � = 3 � − 2� =− 3 （5） 2� − 5� =− 3−4� + � =− 3 （6） � − 3� =− 10 � + � = 6 （7） � 2− �−1 3 = 1 4� − � = 8 （8） 2 3 � − 3 4 � = 1 2 4(� − �) − 3(2� + �) = 17 （9） 2� + 3� = 3 3� − 2� = 11 （10） 2(�−�) 3 − �+� 4 =− 1 6(� + �) − 4(2� − �) = 16 -计算 100 分·七年级下册- - 5 - （11） �+� 2 + �−� 3 = 6 4(� + �) − 5(� − �) = 2 （12） 5� + 3� =− 1 3� − � = 5 （13） 3� + 4� = 7 5� − � = 4 （14） �+� 2 − �−� 3 = 6 3(� + �) = 4(� − �) 11．甲、乙、丙在探讨问题“已知 x，y满足 x+2y＝5，且 3� + 7� = 5� − 32� + 3� = 8 求 m的值．”的解题思路时， 甲同学说：“可以先解关于 x，y的方程组 3� + 7� = 5� − 32� + 3� = 8 再求 m的值．“乙、丙同学听了甲同学的 说法后，都认为自己的解题思路比甲同学的简单，乙、丙同学的解题思路如下． 乙同学：先将方程组 3� + 7� = 5� − 3 2� + 3� = 8 中的两个方程相加，再求 m的值； 丙同学：先解方程组 � + 2� = 5 2� + 3� = 8再求 m的值． 你最欣赏乙、丙哪位同学的解题思路？先根据你最欣赏的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路 的理由． 12．题目：已知有理数 a，b满足 a+b＝2，且 3� + 2� = 4� − 42� + 3� =− 2 ，求 k的值． 三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于 a，b的方程组 3� + 2� = 4� − 42� + 3� =− 2 ，再求 k的值； 乙同学：先解方程组 � + � = 2 2� + 3� =− 2，再求 k的值； 丙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求 k的值． （1）关于上述三种不同思路，完成下列任务： -计算 100 分·七年级下册- - 6 - ①正确的打“√”，错误的画“×”． 甲同学的思路 ；乙同学的思路 ；丙同学的思路 ； ②试选择其中一个你认为正确的思路，解答此题； （2）在解关于 x，y的方程组 (� + 1)� − �� = 1 2① (� + 2)� + �� = 8② 时，可以用①×7﹣②×3消去未知数 x，也可以用 ①×2+②×5消去未知数 y，求 m和 n的值． （3）在（2）的条件下，直接写出方程组 (� + 1)� − �� = 1 2 (� + 2)� + �� = 8 的解为 ． 13．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 19� + 18� = 17(1) 17� + 16� = 15(2) 解：由（1）﹣（2）得 2x+2y＝2即 x+y＝1（3） （3）×16得 16x+16y＝16（4） （2）﹣（4）得 x＝﹣1，从而可得 y＝2 ∴方程组的解是 � =− 1 � = 2 ． （1）请你仿上面的解法解方程组 2008� + 2007� = 2006 2006� + 2005� = 2004． （2）猜测关于 x、y的方程组 (� + 2)� + (� + 1)� = � (� + 2)� + (� + 1)� = � (� ≠ �)的解是什么，并利用方程组的解加以验证．） - 64 - 参考答案与试题解析 训练一 二元一次方程（组）定义 一．填空题（共 4小题） 1．【解答】解：由题意得：|k|﹣1＝1且 k+2≠0，解得：k＝2， 故答案为：2． 2．【解答】解：若方程（m+1）x− ��2 =1是关于 x，y的二元一 次方程，则 m2＝1且 m+1≠0，解得 m＝1，故答案为：1． 3．【解答】解：由题意，得 2m+3＝1，5n﹣4＝1，解，得 m＝ ﹣1，n＝1． 4．【解答】解：由题意，得 2m﹣1＝1，2n﹣3＝1，解得 m＝1， n＝2，∴mn＝1． 二．选择题（共 11小题） 5.【解答】解：由题意可得，3x﹣y＝1是二元一次方程，符合题 意，x﹣1＝3是一元一次方程，不符合题意，5 � + 5� = 0不是 整式方程，不符合题意，x+2y+3z＝4是三元一次方程，不符 合题意，故选：A． 6．【解答】解：∵（k﹣1）x|k|﹣5y＝2是关于 x、y的二元一 次方程，∴|k|＝1，k﹣1≠0，解得：k＝﹣1．故选：A． 7．【解答】解：A、 � + � = 5 � = 2 属于二元一次方程组，符合题 意；B、 � + � = 2 � − � = 6不属于二元一次方程组，不符合题意； C、 �� = 4 � = 1 属于二元二次方程组，不符合题意；D、 �2 − 1 = 0 � + � = 5 属于二元二次方程组，不符合题意，故选：A． 8．【解答】解：选项 C中的第二个方程是分式方程，所以它 不是二元一次方程组．故选：C． 9．【解答】解：3x﹣7y＝41，y= 3�−41 7 ．故选：D． 10．【解答】解：3x﹣4y＝12，移项，得 3x＝12+4y，解得 x= 12+4� 3 ．故选：D． 11．【解答】解：A、把 � = 2� =− 1代入 � − 3� = 5 2� + � = 5得， 2 + 3 = 5 2 × 2 − 1 = 3 ≠ 5，故错误；B、把 � = 2 � =− 1代入 � = � − 3 � − 2� = 5 得， 2 − 3 =− 1 −1 − 2 × 2 =− 5 ≠ 5，故错误；C、把 � = 2 � =− 1代入 2� − � = 5 � + � = 1 得， 2 × 2 + 1 = 5 2 − 1 = 1 ，正确；D、把 � = 2 � =− 1代入 � = 2� � = 3� + 1得， 2 ≠ 2 × ( − 1) 2 ≠ 3 × ( − 1) + 1，故错误；故选：C． 12．【解答】解： 3� − � = 4� + 1① �+ � = 2� − 5② ， ①﹣②得 2x﹣2y＝2m+6，∴x﹣y＝m+3，代入 x﹣y＝4，可 得 m+3＝4，解得：m＝1，故选：C． 13．【解答】解：∵方程组 5� + � = 3 �� + 5� = 4和 � − 2� = 5 5� + �� = 1有相 同的解，∴方程组 5� + � = 3 � − 2� = 5的解也它们的解，解得： � = 1 � =− 2， 代入其他两个方程得 � − 10 = 4 5 − 2� = 1，解得： � = 14 � = 2 ，故选：D． 14．【解答】解：把 � = 4� = 3代入方程组 �� + �� = 2 �� + �� = 5，得： 4� + 3� = 2① 3� + 4� = 5② ，①+②，得：7（a+b）＝7，则 a+b＝1．故 选：B． 15.【解答】解：由方程组 � + � = 4� − 5 = �，有 y﹣5＝m∴将上式 代入 x+m＝4，得到 x+（y﹣5）＝4，∴x+y＝9．故选：C． 训练二 解二元一次方程方法 一．填空题（共 4小题） 1．【解答】解：用加减法解方程组 3� + 4� = 15 2� − 4� = 10较简便消元方 法是：将两个方程相加，消去未知数 y．故答案为相加，y． 2．【解答】解：两方程相加得：2x＝10，x＝5．将两方程相减得： 2y＝6，y＝3．故方程组的解为 � = 5� = 3． 3．【解答】解：法 1：∵（x+y﹣5）2+|x﹣3y﹣17|＝0， ∴ � + � = 5 � − 3� = 17，解得： � = 8 � =− 3，则 x﹣y＝8﹣（﹣3）＝8+3 ＝11；法 2：∵（x+y﹣5）2+|x﹣3y﹣17|＝0，∴ � + � = 5 � − 3� = 17， 两方程左右两边相加：2x﹣2y＝22，则 x﹣y＝11．答案：11． 4．【解答】解： 2� + � = 4① �+ 2� = 2② ，①+②得：3x+3y＝6，则 x+y ＝2．故答案为：2． - 65 - 二．选择题（共 5小题） 5．【解答】解：将①代入②得，5x﹣2（2x+1）＝7，整理得 5x ﹣4x﹣2＝7．故选：A． 6．【解答】解： � = 3� − 1① � − 2� = 4② ，将①代入②得：3y﹣1﹣2y＝4．故 选：B． 7．【解答】解：若消去 y，则①+②得：6x＝﹣16；若消去 x， 则①﹣②×5得：﹣12y＝98；故选：A． 8．【解答】解：二元一次方程组 2� + 5� = 13① 3� − 7� =− 7② ，用加减消元 法解方程组①×3﹣②×2或①×7+②×5．故选：C． 9．【解答】解：由①得 y＝5﹣2x或� = 5−�2 ，故 A、B正确，不 符合题意；由②得� = 7−4� 3 或� = 7−3� 4 ，故 C不正确，符合题 意；D正确，不符合题意．故选：C． 三．解答题（共 11小题） 10．解二元一次方程组 （1）【解答】解： 3� + � = 8① 2� − � = 2② ，①+②，得 5x＝10， 解得 x＝2，把 x＝2代入①，得 6+y＝8，解得 y＝2，故原方 程组的解是 � = 2 � = 2． （2）【解答】解： 2� − 3� =− 2 ① 5� + 3� = 37 ② ，①+②，得 7x＝35， 解得：x＝5，把 x＝5代入①，得 10﹣3y＝﹣2，解得：y＝4， 所以方程组的解是 � = 5 � = 4； （3）【解答】 3� + 2� = 5 ① 4� − � = 3 ② ，①+②×2，得 11x＝11，解 得：x＝1，把 x＝1代入②，得 4﹣y＝3，解得：y＝1，方程 组解 � = 1 � = 1． （4）【解答】解 2� − � = 3① �− 2� =− 3② ，由①得：y＝2x﹣3 ③，把 ③代入②，得 x﹣2（2x﹣3）＝﹣3，解得：x＝3，把 x＝3 代入③，得：y＝3，所以方程组的解是： � = 3� = 3； （5）【解答】 2� − 5� =− 3① −4� + � =− 3② ， ②×5得：﹣20x+5y＝﹣15③，①+③得：﹣18x＝﹣18， 解得：x＝1，把 x＝1 代入①，得：2﹣5y＝﹣3，解得：y ＝1，所以方程组的解是： � = 1� = 1． （6）【解答】解：②﹣①得：4y＝16，解得：y＝4，把 y＝4 代入②得：x+4＝6，解得：x＝2，则方程组的解为 � = 2� = 4； （7）【解答】方程组整理得： 3� − 2� = 4① 4� − � = 8② ， ②×2﹣①得：5x＝12，解得：x= 12 5 ，把 x= 12 5 代入②得： 48 5 −y＝8，解得：y= 8 5 ，则方程组的解为 � = 12 5 � = 8 5 ． （8）【解答】解：原方程组可化为 8� − 9� = 6 2� + 7� + 17 = 0， ∴ 8� − 9� − 6 = 0(1) 8� + 28� + 68 = 0(2)，（2）﹣（1），可得 37y+74＝0， ∴y＝﹣2，代入（1）得，8x﹣9×（﹣2）﹣6＝0，解得， x=− 3 2 原方程组的解为 � =− 3 2 � =− 2 ． （9）【解答】解：原方程组可化为 2� + 3� = 3① 3� − 2� = 11② ， ①×2+②×3，得 13x＝42，解得 x＝3，把 x＝3代入①， 得 6+3y＝3，解得 y＝﹣1，故原方程组的解为 � = 3� =− 1； （10）【解答】解：原方程组整理，得 5� − 11� =− 12① −2� + 10� = 16② ， ①×2+②×5，得 28y＝56，解得 y＝2，把 y＝2代入①， 得 x＝2，故原方程组的解为 � = 2� = 2． （11）【解答】解：方程组整理得： 5� + � = 36 ① −� + 9� = 2 ② ， ①×9﹣②得：46x＝322，即 x＝7，x＝7代入②得，y＝1， 则方程组的解为 � = 7 � = 1； （12）【解答】解：方程组整理得： 5� + 3� =− 1① 3� − � = 5② ， ①+②×3得：14x＝14，即 x＝1，把 x＝1代入①得：y＝ ﹣2，则方程组的解为 � = 1� =− 2． （13）【解答】解：（13） 3� + 4� = 7① 5� − � = 4② ， - 66 - ①+②×4得：23x＝23，解得：x＝1，把 x＝1代入②得： y＝1，则方程组的解为 � = 1� = 1； （14）【解答】方程组整理得： � + 5� = 36 7� − � = 0 ，解得： � = 21 � = 3 ， 则方程组的解为 � = 21 � = 3 ． 11．【解答】解：我最欣赏乙同学的解法， 3� + 7� = 5�− 3① 2� + 3� = 8② ，①+②得：5x+10y＝5m+5，整理得： x+2y＝m+1，代入 x+2y＝5得：m+1＝5，解得：m＝4， 12．【解答】解：（1）①甲同学的思路正确（√），乙同学的 思路正确（√），丙同学的思路正确（√）．故答案为：√， √，√； ② 3� + 2� = 4� − 4 ① 2� + 3� =− 2 ② ，①+②，得 5a+5b＝4k﹣6， a+b= 4�−6 5 ，∵a+b＝2，∴4�−6 5 =2，解得：k＝4； （2）∵解关于 x，y的方程组 (� + 1)� − �� = 1 2 ① (� + 2)� + �� = 8② 时，可 以用①×7﹣②×3消去未知数 x，也可以用①×2+②×5 消去未知数 y，∴ 7�+ 7 − 3(� + 2) = 0−2� + 5� = 0 ，解得：m＝2，n ＝5；（3）把 m＝2，n＝5代入方程组 (� + 1)� − �� = 1 2 (� + 2)� + �� = 8 得： 3� − 5� = 1 2 ① 7� + 2� = 8 ② ，①×2+②×5，得 41x＝41，解得：x ＝1，把 x＝1代入②，得 7+2y＝8，解得：y= 1 2 ，所以方程 组 (� + 1)� − �� = 1 2 (� + 2)� + �� = 8 的解是 � = 1 � = 1 2 ．故答案为： � = 1 � = 1 2 ． 13．【解答】解：（1）①﹣②，得 2x+2y＝2，即 x+y＝1③， ③×2005，得 2005x+2005y＝2005④，②﹣④得 x＝﹣1， 从而得 y＝2．∴方程组的解是 � =− 1� = 2 ．（2） � =− 1 � = 2 ．验证 把方程组的解代入原方程组，得 −(� + 2) + 2(� + 1) = � −(� + 2) + 2(� + 1) = �， 即 � = � � = �方程组成立． 训练三 解三元一次方程组 一．填空题（共 4小题） 1．【解答】解：解三元一次方程组的基本思路：通过“代入” 或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一 次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一 次方程．故答案为：消元，二元，二元一次方程组． 2．【解答】解： � + � = 5 ① � + � = 9 ② � + � = 8 ③ ，①+②+③，得 2x+2y+2z＝ 22，∴x+y+z＝11，故答案：11． 3．【解答】解：依题意，设� 3 = � 5 = � 7 =t，则 x＝3t，y＝5t，z＝ 7t，由已知 x﹣y+z＝15，得 3t﹣5t+7t＝15，解得 t＝3，∴x+y ＝8t＝24．故答案为：24． 4．【解答】解：由题意得： � + 2� − 3� = 0① 2� + 3� + 5� = 0② ，①×2﹣② 得 y＝11z，代入①得 x＝﹣19z，原式 = �+�+� �−�+� = −19�+11�+� −19�−11�+� = 7 29 ．故本题答案为： 7 29 ． 二．选择题（共 4小题） 5．【解答】解：由方程组 3� − 4� = 1① 4� + 6� − � = 2② 13� − 5� + 2� = 4③ 可知，第一 个方程只含有 x、y，所以利用第二、第三个方程利用消元法 消去 z，可得关于 x、y的二元一次方程，与第一个方程联立 为二元一次方程组求解即可．所以要使解法较为简便，应先 消去 z．故选：C． 6．【解答】解： � + � − 2� = 4① 2� − � + � = 2② �− � = 0③ ，①+②得：3x﹣z＝6 ④，④﹣③得：2x＝6，解得：x＝3，把 x＝3代入③得： 3﹣z＝0，解得：z＝3，把 x＝3，z＝3代入①得：3+y﹣6＝ 4，解得：y＝7，∴原方程组的解为： � = 3 � = 7 � = 3 ，故选：A． 7．【解答】解：由题意得： � + � = 1 ① �+ � = 5 ② �+ � = 6 ③ ，①+②+③， 得 2x+2y+2z＝12，x+y+z＝6④，④﹣①，得 z＝5，④﹣ ②，得 x＝1，④﹣③，得 y＝0，所以 xyz＝1×0×5＝0， 故选：A．