预习专题09 平行线的性质（6知识点+10考点+2易错+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（沪教版2024）

专题09 平行线的性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握“两直线平行,同位角相等”这一基本事实,初步会用平行线的性质1进行简单的说理，解决有关问题 2.理解利用平行线的性质1探求平行线的其他性质的思路，初步会用平行线的性质2.3进行说理，理解平行的传递性3.知道平行线间的距离的概念,厘清它与两点间的距离、点到直线的距离之间的关系 4.进一步体会几何说理的过程,了解说理的形式和表达,逐步形成基础性的逻辑思维能力 平行线的性质1 1.文字语言： 两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.简单地说:两直线平行,同位角相等. 2.符号语言 如图所示,因为,所以. 【易混易错提醒】 只有当被截的两条直线平行时才成立，因此一定要注意条件“两直线平行”，否则结论不成立. 平行线的性质2 1.文字语言： 两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.简单地说:两直线平行,内错角相等. 2.符号语言 如图所示,因为,所以. 平行线的性质3 1.文字语言： 两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单地说:两直线平行,同旁内角互补. 2.符号语言 如图所示,因为,所以. （补充）平行的传递性 1.文字语言 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行 2.符号语言 如图所示，因为 ,所以 平行线间的距离 1.定义: 两条平行线中,任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值,这个定值叫做这两条平行线间的距离. 2.符号语言 如图所示，，如果于点，交于点，那么线段的长就叫做平行线与间的距离．同样，线段的长也是平行线与间的距离，且． 提示：提示平面内两条平行线间的距离处处相等，两条相交直线不存在距离 【知识拓展】 (1)一条直线如果垂直于两条平行线中的一条，那么必定垂直于另一条;(2)夹在两条平行线间的平行线段相等;(3)平行线间的距离处处相等 【方法技巧】 度量两条平行线之间距离的方法： (1)在两条平行线中的任意一条上任取一点作另一条直线的垂线段; (2)量出这条垂线段的长度，垂线段的长度就是这两条平行线间的距离. 平行线的性质和判定的区别与联系 平行线的性质和判定中的条件和结论恰好相反在“两条直线被第三条直线所截”的前提下,从同位角相等,内错角相等或同旁内角互补,推出两条直线平行,这是平行线的判定;而从两直线平行推出同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,这是平行线的性质. 两直线平行同位角相等 例1 如图， 已知，，，试求的度数．    【变式1-1】如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是 ． 【变式1-2】如图，直线m、n被直线l所截，已知 那么 【变式1-3】下列说法正确的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．在平面内，过一点作已知直线的平行线有且只有一条 C．在平面内，过一点作已知直线的垂线有且只有一条 D．互补的角是邻补角 两直线平行内错角相等 例2 已知：如图，，和交于点O，E为上一点，F为上一点，且．求证：． 【变式2-1】如图，由可以得到的结论是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】如图， 已知在中， 点D、G分别在边上， 且， 点F在线段的延长线上， 点E在边上， 如果， 说明的理由． 解： 因为 (已知)， 所以 ( )． 所以 ( )． 因为 (已知)， 所以 (等量代换)． 所以( )． 【变式2-3】如图，若，，，那么 ． 两直线平行同旁内角互补 例3 如图，已知，，试说明的理由． 【变式3-1】两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线的位置关系是 ． 【变式3-2】如图，已知，，，，的度数为 ． 【变式3-3】如图，一张长方形，，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，再将折叠成如图所示，若，则 ．    根据平行线的性质探究角的关系 例4 探索题： 问题1：如图1，已知，点P夹在和之间，联结和，形如一个“V”字，那么、和之间有怎样的数量关系？请你说明理由． 问题2：在问题1中，如果在点P的右上方增加一个点Q，形如一个“V”字再加半个“V”，如图2，为了表述方便，我们将开口方向朝下的角的度数用x表示，开口方向朝上的角的度数用y表示，，，，，求的值． 问题3：如果在和之间依次增加点的个数，有n个P点和n个Q点，形如n个“V”再加半个“V”，如图3，那么的值是________． 【变式4-1】如图，如果直线，那么图中标记的、、、中一定相等的角是 ． 【变式4-2】已知：四边形，（如图1），点P在直线上运动，点P和点C，D不重合，点P，A，B不在同一条直线上，若记，，分别为，，．    (1)如图2，当点P在线段上运动时，写出，，之间的关系并说出理由．    (2)如果点P在线段的延长线上运动，探究，，之间的关系，并说明理由． 【变式4-3】如图，已知，，那么等于多少度？为什么？      解：过点E作， 得（____________）， 因为（____________）， （所作）， 所以（____________）． 得____________（____________）． 所以______°（等式性质）． 即______°， 因为（已知）， 所以______°（等式性质）． 【变式4-4】如图，若，用含、、的式子表示x，应为（　　）    A． B． C． D．    根据平行线的性质求角的度数 例5 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是 ．    【变式5-1】问题情境：如图，，，，求度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为 度；（直接写出答案） (2)问题迁移：如图，，点在射线上运动，记，，当点在两点之间运动时，问与之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（）的条件下，如果点在两点外侧运动时（点与点三点不重合），请直接写出与之间的数量关系． 【变式5-2】如图，把一块含有角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上，如果，那么的度数是 ． 【变式5-3】如图，，平分，，则 ． 【变式5-4】自“中欧铁路——上海号”发车以来，中欧班列逐渐开辟了一条以上海为起点，连接欧洲及“一带一路”沿线地区的商贸流通的全新通道．“中欧铁路”为了安全起见需要在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即且． (1)填空： °； (2)如图2，若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动．在转动过程中，灯B射线与交于点．在灯B射线到达之前，设灯A转动t秒． ①当时，则 °， （用含t的式子表示）． ②当灯A转动 秒时，两灯的光束可以互相平行？ (3)如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，过C作交于点D，且，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 平行线的性质在生活中的应用 例6 如图，已知点B在线段CF上，AB∥CD，AD∥BC，DF交AB于点E，联结AF、CE，S△BCE：S△AEF的比值为 ． 【变式6-1】如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，现在要将两侧的管道对接，如果一侧铺设的角度1200，那么另一侧铺设的角度大小应为（       ） A．1200 B．1000 C．800 D．60 【变式6-2】如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为 【变式6-3】一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次转弯的角度可以是（     ） A．先右转，再左转 B．先左转，再右转 C．先左转，再右转 D．先右转，再右转 根据平行线判定与性质求角度 例7 如图，，，，那么的度数是（      ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，，，，那么的度数是 ． 【变式7-2】如图，直线被直线所截，如果，，那么度数为 ． 【变式7-3】如图，直线，将一个含有角的直角三角尺放置在如图所示的位置，如果，那么 ． 【变式7-4】如图，如图，已知，，，求的度数． 根据平行线判定与性质证明 例8 将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的是 （填写序号）． 【变式8-1】如图，已知点D是延长线上一点，， ，与互补吗？请说明理由． 【变式8-2】如图，已知，，，请说明． 解：因为（已知）， 所以__________（内错角相等，两直线平行）， 所以（______________________）． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以__________（______________________）， 所以_____（______________________）， 即． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 即， 所以（______________________）． 【变式8-3】如图，是直线，点B在直线上，且，说明的理由． 【变式8-4】已知，如图，，，求证：． 求平行线间的距离 例9 在同一平面内，已知，若直线、之间的距离为，直线、之间的距离为，则直线、间的距离为（　　） A．或 B． C． D．不确定 【变式9-1】如图，已知，，，图中表示AB与CD之间的距离是线段 的长度． 【变式9-2】如图，，是线段上任意一点，与相交于点，若的面积是5，的面积是1，则的面积是 ．    【变式9-3】将一副三角板拼成如图所示的图形，即，，，，与相交于点．    （1）如果，那么与平行吗？试说明理由； （2）将绕着点逆时针旋转，使得点落在边上，联结并延长交于点，联结，若，，，求的面积． 【变式9-4】如图，，平分，平分，． (1)问：与平行吗？试说明理由． (2)过点作于点，如图若，，，求，所在的直线之间的距离． 利用平行线间距离解决问题 例10 如图，已知，，的面积为6，那么的面积为 ． 【变式10-1】如图，梯形中，，与相交于点O，，如果，那么 ． 【变式10-2】如图，，AC、BD交于点E，的面积等于10，的面积等于6，那么的面积等于 ．    【变式10-3】在梯形中，， 连接、， 已知梯形的面积为16，的面积为12，那么的面积 ． 【变式10-4】如图，已知，，那么与的面积一定相等的三角形是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式10-5】如图，在梯形中，，点分别在边上，如果，，那么 ．    【例1】若与是同旁内角，，则的度数是　　 A． B． C．或 D．不能确定 【例2】阅读下列材料，①——④步中数学依据错误的是　　 如图，直线，，试说明：． 解：因为， 根据“垂直的定义”，① 所以． 因为， 根据“同位角相等，两直线平行”，② 所以， 根据“等量代换”，③ 所以， 根据“垂直的定义”，④ 所以． A．① B．② C．③ D．④ 一．选择题（共5小题） 1．（2024春•嘉定区期末）下列说法中，正确的是　　 A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．联结直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线最短 C．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．在平面内经过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只可以作一条 2．（2024春•浦东新区期中）如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，其中一个角的大小为，那么另一个角的大小为　　 A． B． C．或 D．无法确定 3．（2024春•虹口区期中）如图，已知，，垂足为点，那么、、之间的数量关系是　　 A． B． C． D． 4．（2024春•闵行区期中）下列说法中，正确的是　　 A．如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补 B．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度 C．如果两条直线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行 D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 5．（2024春•闵行区期末）将一副直角三角板作如图所示摆放，，，，则下列结论不正确的是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共3小题） 6．（2024春•嘉定区期末）已知：如图，，三角尺的直角顶点在直线上，，的度数为 　　． 7．（2024春•浦东新区期中）如图，，将一副直角三角板如下摆放，图中点、、在同一直线上，则的度数为 　75　． 8．（2024春•虹口区期中）如图，已知，点、分别是直线、上的点，点、在、之间，且位于的两侧，、分别平分与，点在内部，且．如果，那么的度数为 　　．（用含的代数式表示） 三．解答题（共4小题） 9．（2024春•虹口区校级月考）如图，已知，，那么吗？为什么？ 10．（2024春•奉贤区期中）已知：如图，，，，那么与相等吗？为什么？ 11．（2024春•闵行区期末）如图，已知在中，点、分别在边、上，且，点在线段的延长线上，点在边上，如果，说明的理由． 解：因为（已知）， 所以　　 　　． 所以　　 　　． 因为（已知）， 所以　　（等量代换）． 所以 　　． 12．（2024春•松江区期中）如图所示，已知，，那么等于多少度？为什么？ 请将说理过程补充完整； 解：过点作， 得 　两直线平行，同旁内角互补　． 因为（已知），（已作）， 所以 　　． 得 　　（两直线平行，同旁内角互补）， 所以　　 　　． 即． 因为（已知）， 所以　　（等式性质）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 平行线的性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握“两直线平行,同位角相等”这一基本事实,初步会用平行线的性质1进行简单的说理，解决有关问题 2.理解利用平行线的性质1探求平行线的其他性质的思路，初步会用平行线的性质2.3进行说理，理解平行的传递性3.知道平行线间的距离的概念,厘清它与两点间的距离、点到直线的距离之间的关系 4.进一步体会几何说理的过程,了解说理的形式和表达,逐步形成基础性的逻辑思维能力 平行线的性质1 1.文字语言： 两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.简单地说:两直线平行,同位角相等. 2.符号语言 如图所示,因为,所以. 【易混易错提醒】 只有当被截的两条直线平行时才成立，因此一定要注意条件“两直线平行”，否则结论不成立. 平行线的性质2 1.文字语言： 两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.简单地说:两直线平行,内错角相等. 2.符号语言 如图所示,因为,所以. 平行线的性质3 1.文字语言： 两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单地说:两直线平行,同旁内角互补. 2.符号语言 如图所示,因为,所以. （补充）平行的传递性 1.文字语言 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行 2.符号语言 如图所示，因为 ,所以 平行线间的距离 1.定义: 两条平行线中,任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值,这个定值叫做这两条平行线间的距离. 2.符号语言 如图所示，，如果于点，交于点，那么线段的长就叫做平行线与间的距离．同样，线段的长也是平行线与间的距离，且． 提示：提示平面内两条平行线间的距离处处相等，两条相交直线不存在距离 【知识拓展】 (1)一条直线如果垂直于两条平行线中的一条，那么必定垂直于另一条;(2)夹在两条平行线间的平行线段相等;(3)平行线间的距离处处相等 【方法技巧】 度量两条平行线之间距离的方法： (1)在两条平行线中的任意一条上任取一点作另一条直线的垂线段; (2)量出这条垂线段的长度，垂线段的长度就是这两条平行线间的距离. 平行线的性质和判定的区别与联系 平行线的性质和判定中的条件和结论恰好相反在“两条直线被第三条直线所截”的前提下,从同位角相等,内错角相等或同旁内角互补,推出两条直线平行,这是平行线的判定;而从两直线平行推出同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,这是平行线的性质. 两直线平行同位角相等 例1 如图， 已知，，，试求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等． 根据得出，再根据，即可得出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1-1】如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是 ． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查平行线的性质和平角的定义．先用180°减去的度数，再减去三角板中60°的锐角，求出的度数，然后根据两直线平行，同位角相等得到等于． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵直尺两边互相平行， ∴． 故答案为：． 【变式1-2】如图，直线m、n被直线l所截，已知 那么 【答案】/105度 【分析】本题考查了平行线的性质，由得到，由，得到，即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】下列说法正确的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．在平面内，过一点作已知直线的平行线有且只有一条 C．在平面内，过一点作已知直线的垂线有且只有一条 D．互补的角是邻补角 【答案】C 【分析】本题考查了邻补角的定义、平行线的性质、垂线的性质，根据邻补角的定义、平行线的性质、垂线的性质，逐项判断即可，熟练掌握邻补角的定义、平行线的性质、垂线的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原说法错误，不符合题意； B、过直线外一点作已知直线的平行线有且只有一条，故原说法错误，不符合题意； C、在平面内，过一点作已知直线的垂线有且只有一条，故原说法正确，符合题意； D、邻补角互补，但互补的角不一定是邻补角，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 两直线平行内错角相等 例2 已知：如图，，和交于点O，E为上一点，F为上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，由可得到与的关系，再由可得到，根据平行线的判定定理可得，可得与的关系，等量代换可得结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， ∵， ∴． 【变式2-1】如图，由可以得到的结论是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，正确理解“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．根据“两直线平行，内错角相等”，即可判断答案． 【详解】， ， 根据“两直线平行，内错角相等”，A、B、C三个选项均错误，只有D选项正确． 故选D． 【变式2-2】如图， 已知在中， 点D、G分别在边上， 且， 点F在线段的延长线上， 点E在边上， 如果， 说明的理由． 解： 因为 (已知)， 所以 ( )． 所以 ( )． 因为 (已知)， 所以 (等量代换)． 所以( )． 【答案】，同位角相等，两直线平行，，两直线平行，内错角相等，，内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．根据平行线的判定与性质解答即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵ (已知)， ∴(等量代换)， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：，同位角相等，两直线平行，，两直线平行，内错角相等，，内错角相等，两直线平行． 【变式2-3】如图，若，，，那么 ． 【答案】/25度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟记两条直线平行，内错角相等是解决问题的关键．过点作，根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ． 故答案为：． 两直线平行同旁内角互补 例3 如图，已知，，试说明的理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据两直线平行同旁内角互补可得，进而可得，则问题得解． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3-1】两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线的位置关系是 ． 【答案】互相垂直 【分析】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义，此题比较简单，注意两直线平行，同旁内角互补定理的应用，注意数形结合思想的应用． 首先根据题意画出图形，由，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得，又由与分别是与的角平分线，即可求得，则可得两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直． 【详解】 解：由题意可画图形如图， ， ， 与分别是与的角平分线， ，， ， ， ， 故答案为：互相垂直． 【变式3-2】如图，已知，，，，的度数为 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查的是平行线的性质，先根据平行线的性质得出的度数，再根据可知， 把，代入求出的值， 进而可得出结论，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵ ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】如图，一张长方形，，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，再将折叠成如图所示，若，则 ．    【答案】/70度 【分析】本题考查平行线的性质、折叠的性质，根据折叠的性质求出，，，根据邻补角定义求出，再根据“两直线平行，同旁内角互补”求解即可．熟记平行线的性质、折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置， ∴，， ∵由翻折而成，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 根据平行线的性质探究角的关系 例4 探索题： 问题1：如图1，已知，点P夹在和之间，联结和，形如一个“V”字，那么、和之间有怎样的数量关系？请你说明理由． 问题2：在问题1中，如果在点P的右上方增加一个点Q，形如一个“V”字再加半个“V”，如图2，为了表述方便，我们将开口方向朝下的角的度数用x表示，开口方向朝上的角的度数用y表示，，，，，求的值． 问题3：如果在和之间依次增加点的个数，有n个P点和n个Q点，形如n个“V”再加半个“V”，如图3，那么的值是________． 【答案】问题1：，理由见解析；问题2：；问题3： 【分析】本题考查了平行线的性质，平行线的公理，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和公理 根据平行线的性质和公理即可解答 【详解】解：问题1： ，理由如下： 过点P作，如图所示： ， ， 又， ， ， ； 问题2：过点Q作如图所示： ，， ， 由问题1结论可知：， ， ， ， ； 问题3： 过点作如图所示： , 同理可得：， 故答案为： 【变式4-1】如图，如果直线，那么图中标记的、、、中一定相等的角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），先根据对顶角相等可得，再根据平行线的性质可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，由对顶角相等得：，，， ∵， ，， ，， 故答案为：． 【变式4-2】已知：四边形，（如图1），点P在直线上运动，点P和点C，D不重合，点P，A，B不在同一条直线上，若记，，分别为，，．    (1)如图2，当点P在线段上运动时，写出，，之间的关系并说出理由．    (2)如果点P在线段的延长线上运动，探究，，之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，如图1，由得，由得，则，所以； （2）如图2，根据平行线的性质由得，根据三角形外角性质得，所以，即． 【详解】（1）．理由如下： 过点作，如图1， ， ， ， ， ， ； （2）如图2，， ， 而， ， 即．    【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 【变式4-3】如图，已知，，那么等于多少度？为什么？      解：过点E作， 得（____________）， 因为（____________）， （所作）， 所以（____________）． 得____________（____________）． 所以______°（等式性质）． 即______°， 因为（已知）， 所以______°（等式性质）． 【答案】两直线平行，同旁内角互补；已知；平行于同一直线的两直线互相平行；；两直线平行，同旁内角互补；；； 【分析】过点E作，根据平行公理推出，进而得出，则，即可求解． 【详解】解：过点E作， 得（两直线平行，同旁内角互补）， 因为（已知）， （所作）， 所以（平行于同一直线的两直线互相平行）． 得（两直线平行，同旁内角互补）． 所以（等式性质）． 即， 因为（已知）， 所以（等式性质）． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；已知；平行于同一直线的两直线互相平行；；两直线平行，同旁内角互补；；；． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线公理以及两直线平行，同旁内角互补． 【变式4-4】如图，若，用含、、的式子表示x，应为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过C作，过M作，推出，根据平行线的性质得出，，，求出，，即可得出答案． 【详解】解：过C作，过M作，    ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力．明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 根据平行线的性质求角的度数 例5 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是 ．    【答案】/15度 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，熟知平行线的性质与常规三角板套装中三角板的特点是解答此题的关键．过点E作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，求出，最后根据平行线的性质求出结果即可． 【详解】解：如图所示，过点E作，    ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式5-1】问题情境：如图，，，，求度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为 度；（直接写出答案） (2)问题迁移：如图，，点在射线上运动，记，，当点在两点之间运动时，问与之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（）的条件下，如果点在两点外侧运动时（点与点三点不重合），请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)当在延长线上时，；当在延长线上时，． 【分析】（）过点作，由平行线性质求即可； （）过点作，交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （）分两种情况：在延长线上和在延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质解答即可求解； 本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：， 理由如下： 如图，过点作，交于， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：当在延长线上时，如图所示， 由（）可知，，， ∴； 当在延长线上时，如图所示， 由（）可知，，， ∴． 【变式5-2】如图，把一块含有角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上，如果，那么的度数是 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质即可求解，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】如图，由题意得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-3】如图，，平分，，则 ． 【答案】108 【分析】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平分，，即可得出，，求出，即可求解． 【详解】解：∵ 平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：108． 【变式5-4】自“中欧铁路——上海号”发车以来，中欧班列逐渐开辟了一条以上海为起点，连接欧洲及“一带一路”沿线地区的商贸流通的全新通道．“中欧铁路”为了安全起见需要在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即且． (1)填空： °； (2)如图2，若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动．在转动过程中，灯B射线与交于点．在灯B射线到达之前，设灯A转动t秒． ①当时，则 °， （用含t的式子表示）． ②当灯A转动 秒时，两灯的光束可以互相平行？ (3)如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，过C作交于点D，且，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1)60 (2)①；；②30 (3)不发生变化， 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据，，即可得到的度数； （2）①根据路程速度时间即可求出； ②若，则，又，所以，所以，进而求解； （3）设灯射线转动时间为秒，根据，，即可得出，据此可得和关系不会变化． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：60． （2）解：①设灯转动秒， 则，， 故答案为：；． ②若，则， 又， ， ， ， ， ， 故答案为：30． （3）解：不发生变化，，理由如下： 设灯射线转动时间为秒， ， ， 又， ， 而， ， ， 即． 平行线的性质在生活中的应用 例6 如图，已知点B在线段CF上，AB∥CD，AD∥BC，DF交AB于点E，联结AF、CE，S△BCE：S△AEF的比值为 ． 【答案】1 【分析】联结BD，利用平行线间距离相等得到同底等高的三角形面积相等即可解答． 【详解】解：联结BD，如下图所示： ∵BC∥AD， ∴S△AFD= S△ABD， ∴S△AFD- S△AED= S△ABD- S△AED， 即S△AEF= S△BED， ∵AB∥CD， ∴S△BED=S△BEC， ∴S△AEF=S△BEC， ∴S△BCE：S△AEF=1． 故答案为：1． 【点睛】本题以平行为背景考查了同底等高的三角形面积相等，找到要求的三角形有关的同(等)底或同(等)高是解题的关键． 【变式6-1】如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，现在要将两侧的管道对接，如果一侧铺设的角度1200，那么另一侧铺设的角度大小应为（       ） A．1200 B．1000 C．800 D．60 【答案】D 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，可求出角度大小. 【详解】两侧铺设的角属于同旁内角，根据根据两直线平行，同旁内角互补，可得另一侧的角度为 180°–120°=60°，故选D. 【点睛】两直线平行，同旁内角互补，内错角相等，同位角相等. 【变式6-2】如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为 【答案】/50度 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，由反射定律得到，因此． 【详解】解：∵入射光线是平行光线， ∴， 由反射定律得：， ∴． 故答案为：． 【变式6-3】一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次转弯的角度可以是（     ） A．先右转，再左转 B．先左转，再右转 C．先左转，再右转 D．先右转，再右转 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，根据题意画出图形是解答此题的关键． 根据题意画出图形，根据平行线的性质判定即可． 【详解】解：如图所示： A、 故本选项错误； B、 故本选项正确； C、 故本选项错误； D、 故本选项错误． 故选B． 根据平行线判定与性质求角度 例7 如图，，，，那么的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线的定义、平行线的判定与性质，由垂线的定义得出，再由平行线的判定与性质得出，即可得出答案． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式7-1】如图，，，，那么的度数是 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．过作，求出，根据平行线的性质得出，，代入求出即可． 【详解】解：过作， ， ， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 【变式7-2】如图，直线被直线所截，如果，，那么度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，邻补角的性质，利用邻补角的性质求出，根据平行线的判定得出，再根据平行线的性质得出即可，掌握平行线的判定和性质是题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-3】如图，直线，将一个含有角的直角三角尺放置在如图所示的位置，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点A作，则，根据平行线的性质得到，则． 【详解】解：如图所示，过点A作，则， ∴， 由题意得，， ∴， 故答案为：． 【变式7-4】如图，如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质， 先利用同旁内角互补证明，再根据内错角相等证明，再根据平行线的性质即可求解 【详解】解：， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 根据平行线判定与性质证明 例8 将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可． 【详解】解：①， ， ，故①正确; ②， ，故②正确； ③， ， ，故③正确； ④， ， ，故④正确； 综上所述，①②③④均正确； 故答案为：①②③④ 【变式8-1】如图，已知点D是延长线上一点，， ，与互补吗？请说明理由． 【答案】互补；理由见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解题关键，先证，得出，进而证明，从而证出结论． 【详解】解：与互补，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式8-2】如图，已知，，，请说明． 解：因为（已知）， 所以__________（内错角相等，两直线平行）， 所以（______________________）． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以__________（______________________）， 所以_____（______________________）， 即． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 即， 所以（______________________）． 【答案】；；两直线平行，内错角相等；；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 按照所给证明思路，利用平行线的性质与判定即可求解． 【详解】解：因为（已知）， 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，同旁内角互补）， 即． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 即， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：，；两直线平行，内错角相等；，；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行． 【变式8-3】如图，是直线，点B在直线上，且，说明的理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质以及对顶角相等等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 先证明，得，再证明，则，得，然后由对顶角相等即可得出结论． 【详解】证明：如图，设与交于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式8-4】已知，如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 由知，结合得，利用平行线的判定即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 求平行线间的距离 例9 在同一平面内，已知，若直线、之间的距离为，直线、之间的距离为，则直线、间的距离为（　　） A．或 B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】分两种情况，当直线在直线、之间时，当直线在直线、外部时，即可解决问题． 【详解】解：当直线在直线、之间时，如图（1）， 直线、间的距离为； 当直线在直线、外部时，如图（2）， 直线、间的距离为， 直线、间的距离是或． 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的距离，关键是要分两种情况讨论． 【变式9-1】如图，已知，，，图中表示AB与CD之间的距离是线段 的长度． 【答案】BC或AD 【分析】由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 又∵，， ∴， ∴， ∴表示AB与CD之间的距离是线段BC或AD的长度． 故答案为BC或AD 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 【变式9-2】如图，，是线段上任意一点，与相交于点，若的面积是5，的面积是1，则的面积是 ．    【答案】4 【分析】由AD∥BC，S△CBE与S△ABC均以BC为底，且高相等，则得到S△CBE=S△ABC=5，再利用S△BOC = S△CBE - S△EOC得到结论． 【详解】解：∵AD∥BC， ∴S△CBE与S△ABC均以BC为底，且高相等. ∴S△CBE=S△ABC=5， ∵S△EOC=1， ∴S△BOC = S△CBE - S△EOC =5-1=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键． 【变式9-3】将一副三角板拼成如图所示的图形，即，，，，与相交于点．    （1）如果，那么与平行吗？试说明理由； （2）将绕着点逆时针旋转，使得点落在边上，联结并延长交于点，联结，若，，，求的面积． 【答案】（1），理由见解析；（2）的面积为． 【分析】（1）先根据角的和差求出，再根据角的和差求出，然后根据平行线的判定即可得证； （2）如图（见解析），过点M作于点N，先根据平行线的判定得出，从而可得，再根据的面积等于的面积减去的面积即可． 【详解】（1），理由如下： ∵，（已知） ∴（等式性质） ∵（已知） ∴（等式性质） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） （2）如图，过点M作于点N （已知） （对顶角相等） （已知） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） （已知） （平行线之间的距离定义） 则 即的面积为．    【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、对顶角相等、角的和差等知识点，较难的是题（2），利用到平行线的性质是解题关键． 【变式9-4】如图，，平分，平分，． (1)问：与平行吗？试说明理由． (2)过点作于点，如图若，，，求，所在的直线之间的距离． 【答案】(1)平行，见解析 (2)8 【分析】本题考查平行线的判定和性质，等积法求平行线间的距离： （1），得到，角平分线推出，进而得到，即可得证； （2）先证明四边形是平行四边形，设，所在的直线之间的距离为，等积法求出的值即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 设，所在的直线之间的距离为， ， 即， ， 即，所在的直线之间的距离为． 利用平行线间距离解决问题 例10 如图，已知，，的面积为6，那么的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平行线的距离．解题的关键在于明确平行线间垂线段处处相等． 由平行线间垂线段处处相等可得，进而可得的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：2 【变式10-1】如图，梯形中，，与相交于点O，，如果，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线间的距离，根据平行线间距离处处相等得到，则，得到，由即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式10-2】如图，，AC、BD交于点E，的面积等于10，的面积等于6，那么的面积等于 ．    【答案】4 【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线之间的距离处处相等，可得，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：4． 【变式10-3】在梯形中，， 连接、， 已知梯形的面积为16，的面积为12，那么的面积 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平行线间的距离处处相等，先根据题意得出的面积，即可求解． 【详解】解：∵梯形的面积为16，的面积为12， ∴的面积， ∵， ∴点B到的距离等于点C到的距离， ∴的面积的面积， 故答案为：4． 【变式10-4】如图，已知，，那么与的面积一定相等的三角形是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】该题主要考查了两平行线间距离处处相等，以及三角形的面积，解题的关键是掌握两平行线间距离处处相等． 【详解】解：如图，作中上的高，中上的高， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式10-5】如图，在梯形中，，点分别在边上，如果，，那么 ．    【答案】1.8 【分析】连接，由平行线的性质可知，点，，到的距离相等，可得，，进而可求得答案． 【详解】解：连接，    ∵， ∴点，，到的距离相等， ∴，， ∴， 故答案为：1.8． 【点睛】本题考查平行线的之间的距离，掌握平行线之间的距离相等是解决问题的关键． 【例1】若与是同旁内角，，则的度数是　　 A． B． C．或 D．不能确定 【分析】根据同旁内角的意义得出答案． 【解答】解：当两直线平行时，同旁内角互补， 题中没有提到平行， 无法判断， 故选：． 【点评】本题考查两条直线平行，同旁内角互补的性质，如果两条直线不平行，同旁内角就不互补． 【例2】阅读下列材料，①——④步中数学依据错误的是　　 如图，直线，，试说明：． 解：因为， 根据“垂直的定义”，① 所以． 因为， 根据“同位角相等，两直线平行”，② 所以， 根据“等量代换”，③ 所以， 根据“垂直的定义”，④ 所以． A．① B．② C．③ D．④ 【分析】根据平行线的性质求解即可． 【解答】解：因为， 根据“垂直的定义”， 所以， 因为， 根据“两直线平行，同位角相等”， 所以， 根据“等量代换”， 所以， 根据“垂直的定义”， 所以． 所以①——④步中数学依据错误的是②， 故选：． 【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 一．选择题（共5小题） 1．（2024春•嘉定区期末）下列说法中，正确的是　　 A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．联结直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线最短 C．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．在平面内经过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只可以作一条 【分析】根据平行线的性质、平行公理及推论、垂线的性质判断即可． 【解答】解：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等， 故错误，不符合题意； 联结直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短， 故错误，不符合题意； 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， 故错误，不符合题意； 在平面内经过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只可以作一条， 故正确，符合题意； 故选：． 【点评】此题考查了平行线的性质、平行公理及推论，熟记平行线的性质、平行公理及推论是解题的关键． 2．（2024春•浦东新区期中）如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，其中一个角的大小为，那么另一个角的大小为　　 A． B． C．或 D．无法确定 【分析】分两种情况画出图形，然后利用平行线的性质可得如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补，从而进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 如图： ， ， ， ， ； 如图： ， ， ， ， ； 综上所述：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补， 如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，其中一个角的大小为，那么另一个角的大小为或， 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，分两种情况讨论是解题的关键． 3．（2024春•虹口区期中）如图，已知，，垂足为点，那么、、之间的数量关系是　　 A． B． C． D． 【分析】过点作，利用平行线的性质可得，再根据垂直定义可得，然后利用平行线的性质可得：，从而可得，最后利用等量代换进行计算，即可解答． 【解答】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，垂线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 4．（2024春•闵行区期中）下列说法中，正确的是　　 A．如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补 B．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度 C．如果两条直线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行 D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】根据平行线的判定与性质，点到直线的距离，同位角，内错角，同旁内角，平行公理及推论，逐一判断即可解答． 【解答】解：、如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补，故不符合题意； 、点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度，故符合题意； 、如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行，故不符合题意； 、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，点到直线的距离，同位角，内错角，同旁内角，平行公理及推论，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 5．（2024春•闵行区期末）将一副直角三角板作如图所示摆放，，，，则下列结论不正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】、由题意得，利用内错角相等，两直线平行即可判定； 、由题意得，利用邻补角即可求出的度数； 、过点作，可得，从而得到，可求得，再利用平行线的性质即可求出； 、利用角的计算可求出，从而可判断． 【解答】解：、， ， 故不符合题意； 、， ， 故不符合题意； 、过点作，如图， ， ， ， ， ， ； 故符合题意； 、，， ， ， 故不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查平行线的性质与判定，解答关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用． 二．填空题（共3小题） 6．（2024春•嘉定区期末）已知：如图，，三角尺的直角顶点在直线上，，的度数为 　　． 【分析】由，得到，由平角定义得到． 【解答】解：， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到． 7．（2024春•浦东新区期中）如图，，将一副直角三角板如下摆放，图中点、、在同一直线上，则的度数为 　75　． 【分析】如图，过点作，由平行线的性质得，然后利用平行线的性质求解即可． 【解答】解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：75． 【点评】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 8．（2024春•虹口区期中）如图，已知，点、分别是直线、上的点，点、在、之间，且位于的两侧，、分别平分与，点在内部，且．如果，那么的度数为 　　．（用含的代数式表示） 【分析】过点作，证，则，，由此得，根据，，设，，，，设，，则，，再根据角平分线定义得，，则①，然后由三角形内角和定理得：，，即②，③，将②③代入①即可得出的度数． 【解答】解：过点作，如图所示： ， ， ，， ， 即， ，， 设，，，， 设，， 则，， 、分别平分与， ，， ①， 由三角形内角和定理得： ，， 即，， ②，③， 将②③代入①得：， 整理得：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角的计算，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理，角的计算是解决问题的关键． 三．解答题（共4小题） 9．（2024春•虹口区校级月考）如图，已知，，那么吗？为什么？ 【分析】根据平角定义可得，从而利用同角的补角相等可得，然后利用等式的性质可得，从而可得，再利用平行线的性质可得，即可解答． 【解答】解：， 理由：，， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 10．（2024春•奉贤区期中）已知：如图，，，，那么与相等吗？为什么？ 【分析】先根据垂直于同一条直线的两条直线平行可得，从而可得，然后利用等量代换可得，从而可得，最后利用平行线的性质可得，即可解答． 【解答】解：， 理由：，， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 11．（2024春•闵行区期末）如图，已知在中，点、分别在边、上，且，点在线段的延长线上，点在边上，如果，说明的理由． 解：因为（已知）， 所以　　 　　． 所以　　 　　． 因为（已知）， 所以　　（等量代换）． 所以 　　． 【分析】先根据同位角相等，两直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，再根据内错角相等，两直线平行可得，即可解答． 【解答】解：因为（已知）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以 两直线平行，内错角相等）． 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；内错角相等，两直线平行． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 12．（2024春•松江区期中）如图所示，已知，，那么等于多少度？为什么？ 请将说理过程补充完整； 解：过点作， 得 　两直线平行，同旁内角互补　． 因为（已知），（已作）， 所以 　　． 得 　　（两直线平行，同旁内角互补）， 所以　　 　　． 即． 因为（已知）， 所以　　（等式性质）． 【分析】过点作，从而利用平行线的性质可得，再根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用等式的性质可得，最后进行计算即可解答． 【解答】解：过点作， 得（两直线平行，同旁内角互补）， 因为（已知），（已作）， 所以（平行于同一条直线的两条直线平行）． 得（两直线平行，同旁内角互补）， 所以（等式的性质）． 即， 因为（已知）， 所以（等式性质）， 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；平行于同一条直线的两条直线平行；；360；等式的性质；270． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$