第二章相交线与平行线 2024—2025学年北师大版数学七年级下册

3　平行线的性质 第1课时　平行线的性质 第二章　相交线与平行线 知识点　平行线的性质 基础过关全练 1.(情境题·现实生活)(2024广东深圳罗湖模拟)如图,为了加固 房屋,要在屋架上加一根横梁DE,使DE∥BC.若∠ABC=30°, 则∠ADE应为(　    ) A.30°　　　     B.60°　　　     C.120°　　　    D.150° A 解析　因为DE∥BC,所以∠ADE=∠ABC=30°.故选A. 2.(2024四川内江中考)如图,AB∥CD,直线EF分别交AB、CD 于点E、F,若∠EFD=64°,则∠BEF的大小是 (　    ) A.136°　　　    B.64°　　　     C.116°　　　    D.128° C 解析　因为AB∥CD,所以∠BEF+∠EFD=180°. 因为∠EFD=64°,所以∠BEF=116°.故选C. 3.(2024山东济南天桥期中)如图,AB∥CD,若∠1=40°,则∠2=  (　    ) A.100°　　　    B.120°　　　    C.140°　　　    D.150° C 解析　因为AB∥CD,所以∠AED=∠1=40°. 所以∠2=180°-∠AED=180°-40°=140°.故选C. 4.(2023黑龙江齐齐哈尔中考)如图,直线l1∥l2,分别与直线l交 于点A,B,把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放,若 ∠1=45°,则∠2的度数是 (　    ) A.135°　　　    B.105°　　　    C.95°　　　    D.75° B 解析　如图,因为l1∥l2,所以∠3=∠1=45°. 又因为∠4=30°, 所以∠2=180°-∠3-∠4=180°-45°-30°=105°, 故选B.   5.[教材变式]如图,快艇从P处向正北航行到A处时,向左转50° 航行到B处,再向右转80°继续航行,此时的航行方向为 (        ) A.北偏东30°　　　    B.北偏东80° C.北偏西30°　　　    D.北偏西50° A 解析　如图,   因为AP∥BC, 所以∠2=∠1=50°. 所以∠3=∠4-∠2=80°-50°=30°, 所以此时的航行方向为北偏东30°.故选A. 6.(2023山东烟台中考)一杆古秤在称物时的状态如图所示, 已知∠1=102°,则∠2的度数为　　　　　    . 78° 解析　如图,由题意得AB∥CD, 所以∠2=∠BCD. 因为∠BCD=180°-∠1=180°-102°=78°, 所以∠2=78°.   7.(新独家原创)如图,AB,CD是两条平行的公路,现在AB上的 点E处修建一条与AB垂直的道路EF,交CD于F,若EF的长度 为2千米,点D在点F的北偏东30°方向,则点E到CD的距离是 　　　　　    千米,点E相对于点F的方向是　　　　　    .        北偏西60° 2 解析　由题意知AB∥CD,EF⊥AB, 所以∠EFD=∠AEF=90°. 所以点E到CD的距离是EF的长度,即2千米, 点E相对于点F的方向是北偏西90°-30°=60°. 8.(2023湖南永州中考)如图,AB∥CD,BC∥ED,∠B=80°,则∠ D=　　　　　    度. 100 解析　因为AB∥CD,∠B=80°,所以∠BCD=∠B=80°. 因为BC∥ED,所以∠D+∠BCD=180°.所以∠D=100°. 9.如图,∠A=100°,∠B=130°,AC∥MD,BF∥ME,求∠DME的 度数. 解析　因为AC∥MD,∠A=100°, 所以∠AMD=180°-∠A=80°. 因为BF∥ME,∠B=130°, 所以∠BME=180°-∠B=50°, 所以∠DME=180°-∠AMD-∠BME=180°-80°-50°=50°. 10.(情境题·现实生活)(2024山东济南章丘期中,3,★★☆)健 康骑行越来越受到大家的喜欢,自行车的示意图如图,其中 AB∥CD,AE∥BD.若∠CDB=70°,∠ACD=80°,则∠EAC的度 数为(　    ) A.60°　　　    B.40°　　　     C.30°　　　    D.50° C 能力提升全练 解析　因为AB∥CD, 所以∠CDB+∠ABD=180°,∠ACD+∠BAC=180°. 因为∠CDB=70°,∠ACD=80°, 所以∠ABD=110°,∠BAC=100°. 因为AE∥BD,所以∠BAE+∠ABD=180°. 所以∠BAE=70°. 所以∠CAE=∠BAC-∠BAE=30°.故选C. 11.(新考向·动手操作题)(2024河南焦作温县期中,13,★★☆) 如图,将一张长方形纸片折叠,已知∠1=100°,则∠2=　　     °.  50 解析　如图,延长DC到E. 因为AB∥CD,所以∠ACE=∠1=100°. 由折叠的性质得∠2=∠3,所以∠2= ×100°=50°.   12.(2024山东济南章丘期中,23,★★☆) (1)如图1,已知AB∥CD,∠ABC=45°,可得∠BCD=　　　    度. (2)如图2,在(1)的条件下,如果CM平分∠BCD,求∠ECM的度数. (3)如图3,在(1)(2)的条件下,如果CN⊥CM,则∠BCN=　　     度. (4)尝试解决下面问题:如图4,AB∥CD,∠BCM=20°,CN是∠ BCE的平分线,CN⊥CM,求∠B的度数. 解析    (1)45. (2)因为AB∥CD,∠ABC=45°,所以∠BCD=∠ABC=45°. 因为CM平分∠BCD,所以∠DCM= ∠BCD=22.5°. 因为∠ECM+∠DCM=180°, 所以∠ECM=157.5°. (3)67.5. (4)因为CN⊥CM,所以∠BCN+∠BCM=90°. 因为∠BCM=20°,所以∠BCN=70°. 因为CN是∠BCE的平分线, 所以∠BCE=2∠BCN=2×70°=140°. 因为AB∥CD,所以∠B+∠BCE=180°. 所以∠B=180°-∠BCE=180°-140°=40°. 13.(推理能力)(2023山西阳泉期末)综合与探究. 问题情境: 如图1,已知AB∥CD,∠ABC=60°,∠BAD=120°,点E,F在直线 AB上,且∠ACD=∠ACF,CE平分∠BCF. (1)求∠ACE的度数. 实践探究: (2)若左右平行移动AD,那么∠BAC与∠BFC之间的数量关系 素养探究全练 是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变,请求出∠BAC与 ∠BFC之间的数量关系. (3)如图2,若向左平行移动AD,当∠BEC=∠CAD时,求出∠ CAD的度数.        解析    (1)因为AB∥CD,所以∠B+∠BCD=180°. 因为∠ABC=60°,所以∠BCD=120°. 因为CE平分∠BCF,所以∠FCE= ∠FCB. 因为∠ACD=∠ACF, 所以∠ACE=∠ACF+∠FCE= ∠DCF+ ∠BCF= ∠BCD=60°. (2)不变,∠BFC=2∠BAC.理由如下: 因为AB∥CD,所以∠ACD=∠BAC,∠BFC=∠DCF. 因为∠ACD=∠ACF,所以∠BFC=2∠ACD=2∠BAC. (3)因为AB∥CD,∠ABC=60°,∠BAD=120°, 所以AD∥BC,∠D=60°,∠BCD=120°, 因为∠BEC=∠CAD,所以∠DCA=∠BCE. 因为∠ACD=∠ACF,∠FCE=∠BCE, 所以∠DCA=∠ACF=∠FCE=∠BCE, 因为∠BCD=120°, 所以∠DCA= ∠BCD=30°, 所以∠CAD=180°-∠D-∠DCA=90°. 3　平行线的性质 第2课时　平行线判定与性质的综合应用 第二章　相交线与平行线 知识点　平行线判定与性质的综合应用 基础过关全练 1.如图所示,若∠1=70°,∠2=110°,∠3=70°,则有 (　    ) A.a∥b　　　    B.c∥d C.a⊥d　　　    D.b⊥c A 解析　如图,因为∠4=∠1=70°,∠2=110°,所以∠4+∠2=180°. 所以a∥b.故选A.   2.如图,在△ABC中,D,E,F分别在AB,BC,AC上,且EF∥AB,要 使DF∥BC,则可添加下列条件中的 (　    ) A.∠1=∠2　　　     B.∠1=∠DFE C.∠1=∠AFD　　　   D.∠2=∠AFD B 解析　添加B项条件,理由: 因为EF∥AB,所以∠1=∠2. 因为∠1=∠DFE,所以∠2=∠DFE. 所以DF∥BC.故选B. 3.如图,已知∠1=∠2,∠B=35°,则∠3=　　　　　    °.        35 解析　因为∠1=∠2, 所以AB∥CE. 所以∠3=∠B=35°. 4.已知:如图,AB∥CD,∠A=∠D,试说明AC∥DE成立的理由. 下面是彬彬同学进行的推理,请你将彬彬同学的推理过程补 充完整. 解:因为AB∥CD(已知), 所以∠A=　　　　　    (两直线平行, 内错角相等), 又因为∠A=∠　　　　　    , 所以∠　　　　　    =∠　　　　　    (等量代换), 所以AC∥DE(　 　　　　    ). ∠ACD D ACD ACD 内错角相等,两直线平行 5.(2024山东菏泽郓城期中)已知:如图,∠BAC+∠GCA=180°, ∠1=∠2,试说明:∠E=∠F.   解析　因为∠BAC+∠GCA=180°, 所以AB∥DG. 所以∠BAC=∠DCA. 因为∠1=∠2, 所以∠BAC-∠1=∠DCA-∠2,即∠EAC=∠FCA. 所以AE∥CF. 所以∠E=∠F. 6.[教材变式](2024广东清远英德期中改编) (1)尺规作图:如图,以点B为顶点,射线BA为一边,在∠ABC外 作一个∠ABP,使它等于∠ABC. (2)在(1)的基础上,过射线BA上的点D作DE∥BC与BP交于点 E,若∠PED=80°,则∠BDE=　　　　　    .   解析    (1)如图所示. (2)如图,因为DE∥BC,所以∠PED=∠PBC=80°. 所以∠ABC=∠ABP= ×80°=40°. 所以∠BDE=∠DBC=40°.故答案为40°. 7.如图,已知AC∥ED,EB平分∠AED,∠1=∠2. 试判断AE与 BD的位置关系,并说明理由.   解析    AE∥BD. 理由:因为AC∥ED,所以∠1=∠4. 因为∠1=∠2,所以∠2=∠4. 因为EB平分∠AED,所以∠3=∠4. 所以∠2=∠3.所以AE∥BD. 方法总结　由平行线的性质求角的度数或说明角之间的关 系,要注意有关的角是平行线被哪条直线截得的,以及平行线 都被哪几条直线所截,从而正确应用平行线的性质解决问题. 8.(2023山西吕梁交城期中,15,★★☆)如图,已知∠E=∠A+∠ C,若∠1=82°,则∠2的度数为　　　　　    .  98° 能力提升全练 解析　如图,过点E作EF∥AB, 所以∠A=∠AEF.因为∠AEC=∠A+∠C,所以∠AEF+∠CEF =∠A+∠C.所以∠CEF=∠C.所以EF∥CD. 又因为EF∥AB,所以AB∥CD. 所以∠1+∠2=180°.因为∠1=82°,所以∠2=98°. 方法归纳　过拐点添加辅助线,构造两直线被第三条直线所 截的基本图形,便可以利用平行线的性质解决问题. 9.(2022湖北宜昌中考,14,★★☆)如图,C岛在A岛的北偏东50 °方向,C岛在B岛的北偏西35°方向,则∠ACB的大小是　　     . 85° 解析　因为C岛在A岛的北偏东50°方向, 所以∠DAC=50°, 因为C岛在B岛的北偏西35°方向, 所以∠CBE=35°, 过点C作CF∥DA,如图所示, 所以DA∥CF∥EB, 所以∠FCA=∠DAC=50°,∠FCB=∠CBE=35°, 所以∠ACB=∠FCA+∠FCB=85°, 故答案为85°. 10.(2024山东济南天桥期中,22,★★☆)如图,AD∥BC,∠1=∠ C,∠B=60°,DE平分∠ADC交BC于点E,试说明AB∥DE. 请补全解答过程,并在括号内填写相应的理论依据. 解:因为AD∥BC(已知),所以∠1=∠　　　　    = 60°(　    　 　　  ).  B 两直线平行,同位角相等 因为∠1=∠C(已知),所以∠C=∠B=60°(等量代换).因为AD ∥BC(已知), 所以∠C+∠　　    =180°(　 　　　 　    ). 所以∠　        =180°-∠C=180°-60°=120°(等式的性质). 因为DE平分∠ADC(已知),所以∠ADE= ∠ADC= ×120°= 60°(　 　　　　    ). 所以∠1=∠ADE(等量代换). 所以AB∥DE(　　　　 　    ). ADC 两直线平行,同旁内角互补 ADC 角平分线的定义 内错角相等,两直线平行 11.(2022山东枣庄台儿庄期中,23,★★★)如图,已知点E、F 在直线AB上,点G在线段CD上,ED与FG交于点H,∠C=∠E- FG,∠CED=∠GHD. (1)试说明:CE∥GF. (2)试判断∠AED与∠D之间的数量关系,并说明理由. (3)若∠EHF=100°,∠D=30°,求∠AEM的度数. 解析    (1)因为∠CED=∠GHD,所以CE∥GF. (2)∠AED+∠D=180°.理由如下: 因为CE∥GF,所以∠C=∠FGD, 因为∠C=∠EFG,所以∠FGD=∠EFG, 所以AB∥CD,所以∠AED+∠D=180°. (3)因为∠DHG=∠EHF=100°,∠D=30°, 所以∠FGD=180°-100°-30°=50°, 因为CE∥GF,所以∠C=∠FGD=50°, 因为AB∥CD,所以∠AEC=∠C=50°, 所以∠AEM=180°-50°=130°. 12.(推理能力)(2024湖北恩施州模拟)如图1,AB∥CD,E为AB 与CD之间的一点,连接BE,过点E作EF⊥BE,与CD相交于 点F. (1)试说明:∠1+∠2=90°. (2)如图2,E为AB上方的一点,其他条件不变,(1)中的结论是否 仍然成立?如果成立,请说明理由;如果不成立,请写出正确结 论并说明理由. 素养探究全练 (3)如图3,E为CD下方的一点,其他条件不变,(1)中的结论是否 仍然成立?如果成立,请说明理由;如果不成立,请直接写出正 确结论. 解析    (1)如图,过点E作EM∥AB,则∠BEM=∠1.   因为AB∥CD,所以EM∥CD.所以∠MEF=∠2. 所以∠1+∠2=∠BEM+∠MEF=∠BEF. 因为EF⊥BE,所以∠BEF=90°.所以∠1+∠2=90°. (2)结论不成立,∠2-∠1=90°. 理由:如图,过点E作EN∥AB,则∠BEN=∠1. 因为AB∥CD,所以EN∥CD,所以∠NEF=∠2. 所以∠2-∠1=∠NEF-∠BEN=∠BEF. 因为EF⊥BE,所以∠BEF=90°.所以∠2-∠1=90°. (3)结论不成立,∠1-∠2=90°. 详解:如图,过点E作EG∥CD,则∠GEF=∠2.   因为AB∥CD,所以EG∥AB,所以∠BEG=∠1. 所以∠1-∠2=∠BEG-∠GEF=∠BEF. 因为EF⊥BE,所以∠BEF=90°.所以∠1-∠2=90°. $$2　探索直线平行的条件 第1课时　利用同位角判定两直线平行及平行公理 第二章　相交线与平行线 知识点1　同位角 基础过关全练 1.(2024山东菏泽郓城期中)下列各选项中,∠1与∠2是同位 角的是 (　    )                  B 解析    B选项中的∠1与∠2符合同位角的定义,故选B. 2.如图,直线DC和AC被AD所截,构成的同位角是 (　    ) A.∠EDC和∠EAB　　　    B.∠DCA和∠DAC C.∠EDC和∠EAC　　　    D.∠DCA和∠CAB C 解析　直线DC和AC被AD所截,构成的同位角是∠EDC和∠ EAC,故选C. 3.如图所示,∠1与∠2是　　　　　    角,它是由直线 　　    　   和　　　　    被直线　　　    所截而成的. 同位 AB BC CE 知识点2　利用同位角判定两直线平行 4.如图,将木条a,b与c钉在一起,且木条a与木条c交于点O,∠1 =70°,∠2=40°,要使木条a与b平行,木条a绕点O顺时针旋转的 度数至少是 (　    )   A.10°　　　    B.20°　　　    C.30°　　　    D.50° C 解析　当∠1=∠2时,a与b平行,所以要使木条a与b平行,木条 a绕点O顺时针旋转的度数至少是70°-40°=30°. 5.如图,射线CA与直线BE交于点O,已知∠C=65°,当∠AOE= 　　　　　    度时,BE∥CD.  65 6.(新独家原创)如图,a,b,c,d,e均是直线,∠1和∠2是直线　     和　　　　　    被直线　　　　　    所截得的一 对　　　　　    角,如果∠1=∠2,则　　　　 ∥　　      . c d e 同位 c d 7.(2024河南郑州新郑期中)如图,∠B=50°,CG平分∠DCF,∠ DCG=65°,试说明:AB∥EF.   解析　因为CG平分∠DCF,∠DCG=65°, 所以∠DCF=2∠DCG=130°. 所以∠DCE=180°-∠DCF=50°. 所以∠B=∠DCE. 所以AB∥EF. 知识点3　平行公理及其推论和平行线的画法 8.如图,同一平面内经过直线l外一点O的四条直线中,与直线l 相交的直线至少有 (　    )   A.1条　　　    B.2条　　　    C.3条　　　    D.4条 C 解析　因为过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平 行, 所以过直线l外一点O的四条直线中,最多只有一条直线与l平 行, 所以与直线l相交的直线至少有3条,故选C. 9.[教材变式]如图,AD∥BC,E为AB上一点,过E点作EF∥AD 交DC于F,判断EF与BC的位置关系,并说明理由.   解析    EF∥BC.理由如下:因为AD∥BC,EF∥AD, 所以EF∥BC. 10.[教材变式]画图题: (1)在如图所示的方格纸中,经过线段AB外一点C,不用量角器 与三角尺,仅用直尺,画线段AB的垂线GH和平行线EF. (2)判断EF,GH的位置关系是　　　　　    . (3)你从本题中可以得到什么结论? 解析    (1)如图.   (2)垂直. (3)若一条直线和两条平行线中的一条直线垂直,那么这条直 线也和另一条直线垂直. 11.(2024山东济南章丘期中,21,★★☆)如图,∠ABC=∠ACB, BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∠DBF=∠F.试说明:EC∥DF.   能力提升全练 解析　因为BD平分∠ABC,所以∠DBF= ∠ABC. 因为CE平分∠ACB,所以∠ECB= ∠ACB. 因为∠ABC=∠ACB,所以∠DBF=∠ECB. 因为∠DBF=∠F,所以∠ECB=∠F.所以EC∥DF. 12.(2024河南焦作温县期中,18,★★☆)如图,已知AF平分∠ BAC,DE平分∠BDF,且∠BDE=∠CAF. (1)DF与AC平行吗?为什么? (2)请判断DE与AF的位置关系,并说明理由.   解析    (1)DF∥AC.理由如下: 因为AF平分∠BAC,DE平分∠BDF, 所以∠BAC=2∠CAF,∠BDF=2∠BDE. 又因为∠BDE=∠CAF,所以∠BDF=∠BAC.所以DF∥AC. (2)DE∥AF.理由如下: 因为AF平分∠BAC,所以∠BAF=∠CAF. 又因为∠BDE=∠CAF,所以∠BDE=∠BAF. 所以DE∥AF. 13.(推理能力)如图,直线AB,CD被直线EF所截,∠1=∠2,∠ CNF+∠BMN=180°.试说明AB∥CD,MP∥NQ.   素养探究全练 解析　因为∠CNF+∠BMN=180°,∠CNF+∠DNF=180°, 所以∠BMN=∠DNF.所以AB∥CD. 因为∠BMN=∠DNF,∠1=∠2,所以∠BMN-∠1=∠DNF-∠2, 即∠PMN=∠QNF.所以MP∥NQ. 2　探索直线平行的条件 第2课时　利用内错角、同旁内角判定两直线平行 第二章　相交线与平行线 知识点1　内错角、同旁内角 基础过关全练 1.(2024陕西西安长安期中)如图,∠1与∠2是 (　    ) A.对顶角　　　    B.同位角 C.内错角　　　    D.同旁内角 C 解析　∠1与∠2是直线b,c被直线a所截得到的内错角,故选C. 2.(易错题)(2024河南郑州新郑期中)如图,下列说法不正确的 是 (　    ) A.∠1与∠4是同位角 B.∠3与∠5是同旁内角 C.∠3与∠4是内错角 D.∠3与∠6是同位角 D 解析　∠3与∠6不是同位角.故选D. 归纳总结　判断同位角、内错角、同旁内角的关键是找到 构成每对角的“三线”,有时需要将有关的部分“抽出”或 把无关的线略去不看,有时又需要把图形补全.注意若两个角 由四条线构成,则它们不是这三类角. 3.(易错题)如图所示,与∠A是同旁内角的角共有　　　　  个. 4 解析　与∠A是同旁内角的角有∠ABC,∠ADC,∠ADE,∠ AED,共4个.故答案为4. 知识点2　利用内错角、同旁内角判定两直线平行 4.(2023湖南长沙期末)如图,下列推理不正确的是 (　    ) A.因为∠1=∠2,所以AB∥CD B.因为∠1=∠2,所以AD∥BC C.因为∠3=∠4,所以AD∥BC D.因为∠4=∠5,所以AB∥CD B 解析　因为∠1=∠2,所以AB∥CD,故A正确,B不正确. 因为∠3=∠4,所以AD∥BC,故C正确. 因为∠4=∠5,所以AB∥CD,故D正确.故选B. 5.如图,两块三角尺形状、大小完全相同,边AB∥CD的依据 是　 　　　　    . 内错角相等,两直线平行 6.(新考向·开放性试题)如图,点E是AD延长线上一点,∠B=30 °,∠C=120°.如果添加一个条件,使BC∥AD,则可添加的条件 为　　　　 　    .(只填一个即可) ∠1=30°(答案不唯一) 解析　答案不唯一.因为∠B=30°,∠1=30°, 所以∠B=∠1,所以BC∥AD. 7.(2024山东菏泽郓城期中)如图所示,已知∠1=∠2,AC平分 ∠DAB,试说明DC∥AB. 解析　因为AC平分∠DAB,所以∠1=∠CAB. 因为∠1=∠2,所以∠2=∠CAB.所以CD∥AB. 8.如图所示,已知∠D=∠A,∠B=∠FCB,ED与CF平行吗?试说 明理由.   解析    ED∥CF. 理由:因为∠D=∠A,所以AB∥DE(内错角相等,两直线平行). 因为∠B=∠FCB,所以AB∥CF(内错角相等,两直线平行).所 以ED∥CF. 9.如图,已知AC、BC分别平分∠QAB、∠ABN,∠1+∠2=90°. 判断PQ和MN的位置关系,并说明理由.   解析    PQ∥MN. 理由:因为AC、BC分别平分∠QAB、∠ABN, 所以∠QAB=2∠1,∠ABN=2∠2(角平分线的定义). 所以∠QAB+∠ABN=2(∠1+∠2)=180°. 所以PQ∥MN(同旁内角互补,两直线平行). 10.(2024山东菏泽郓城期中,5,★☆☆)如图,在下列条件中,不 能判定AB∥DF的是(　    )   A.∠A+∠AFD=180°　　　    B.∠A=∠CFD C.∠BED=∠EDF　　　     D.∠A=∠BED 能力提升全练 D 解析    A项,因为∠A+∠AFD=180°,所以AB∥DF(同旁内角 互补,两直线平行),故能判定AB∥DF. B项,因为∠A=∠CFD,所以AB∥DF(同位角相等,两直线平 行),故能判定AB∥DF. C项,因为∠BED=∠EDF,所以AB∥DF(内错角相等,两直线 平行),故能判定AB∥DF. D项,因为∠A=∠BED,所以AC∥DE(同位角相等,两直线平 行),故不能判定AB∥DF. 故选D. 归纳总结　由两角相等或互补的条件判断两直线平行,关键 是明确这两角是哪两条直线被哪条直线所截得到的,其中被 截的两直线便是平行线. 11.(2024河南焦作温县期中,20,★★☆)如图,已知直线AB及 直线外一点P. (1)请你用一个圆规和一把没有刻度的直尺,过点P作直线 CD,使得CD∥AB(保留作图痕迹,不写作法). (2)在(1)中,CD∥AB的依据是　　　　　    .   解析　答案不唯一. (1)如图,直线CD即为所求.   (2)内错角相等,两直线平行. 12.(2023山东淄博张店期末,23,★★★)将一副三角尺的两个 直角顶点C叠放在一起(如图),其中∠A=30°,∠B=60°,∠D=∠ E=45°. (1)猜想∠BCD与∠ACE的数量关系,并说明理由. (2)若∠BCD=4∠ACE,求∠BCD的度数.   (3)若按住三角尺ABC不动,绕顶点C转动三角尺DCE,试探究 ∠BCD等于多少度时CE∥AB,并简要说明理由.        解析    (1)∠BCD+∠ACE=180°,理由如下: 因为∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD, 所以∠BCD+∠ACE=90°+∠ACD+∠ACE=90°+90°=180°. (2)设∠ACE=α,则∠BCD=4α, 由(1)可得∠BCD+∠ACE=180°, 所以4α+α=180°, 所以α=36°, 所以∠BCD=4α=144°. (3)分两种情况: ①如图所示,当∠BCD=150°时,AB∥CE.   因为∠BCD=150°,∠ACB=∠ECD=90°,所以∠ACE=30°, 所以∠A=∠ACE=30°,所以AB∥CE. ②如图所示,当∠BCD=30°时,AB∥CE.   因为∠BCD=30°,∠DCE=90°, 所以∠BCE=∠B=60°, 所以AB∥CE. 综上所述,∠BCD等于150°或30°时,CE∥AB. 13.(推理能力)如图所示,已知∠B=25°,∠BCD=45°,∠CDE=3 0°,∠E=10°.试说明AB∥EF.   素养探究全练 解析　如图,在∠BCD的内部作∠BCM=25°,在∠CDE的内部 作∠EDN=10°. 因为∠B=25°,∠E=10°, 所以∠B=∠BCM=25°,∠E=∠EDN=10°. 所以AB∥CM,EF∥DN. 因为∠BCD=45°,所以∠MCD=∠BCD-∠BCM=45°-25°=20°. 同理∠CDN=20°, 所以∠DCM=∠CDN. 所以CM∥DN. 因为AB∥CM,EF∥DN, 所以AB∥EF. 14.(应用意识)如图,直线EF上有两点A、C,分别从这两点引 两条射线AB、CD.已知∠BAF=110°,CD与AB在直线EF异侧. 若∠DCF=60°,射线AB、CD分别绕A点、C点以1度/秒和6度 /秒的速度同时顺时针转动,设转动时间为t秒,在射线CD转动 一周的过程中,当t的值为多少时,CD与AB平行? 解析　由题意可知,0≤t≤60, 所以AB一直在直线EF的右侧转动,若满足CD∥AB,则可分2 种情况: (1)如图①,当CD在直线EF的左侧时, ∠ACD=180°-60°-(6t)°=120°-(6t)°,∠BAC=110°-t°, 要使AB∥CD,则∠ACD=∠BAF, 即120°-(6t)°=110°-t°, 解得t=2; (2)如图②,当CD在直线EF的右侧时,∠DCF=360°-(6t)°-60°= 300°-(6t)°,∠BAC=110°-t°, 要使AB∥CD,则∠DCF=∠BAC, 即300°-(6t)°=110°-t°,解得t=38. 综上所述,当t的值为2或38时,CD与AB平行. $$1　两条直线的位置关系 第1课时　对顶角、补角和余角 第二章　相交线与平行线 知识点1　两条直线的位置关系 基础过关全练 1.在同一平面内,不重合的两条直线的位置关系有(　    ) A.平行和相交 B.平行和垂直 C.平行、垂直和相交 D.垂直和相交 A 解析　在同一平面内,不重合的两条直线的位置关系有平行 和相交两种,故选A. 2.下列说法正确的是 (　    ) A.如果同一平面内的两条线段不相交,那么这两条线段所在 的直线互相平行 B.不相交的两条直线一定互相平行 C.同一平面内的两条射线不相交,则这两条射线互相平行 D.同一平面内有两条直线不相交,这两条直线一定互相平行 D 解析　根据在同一平面内,不相交的两条直线互相平行,可知 A,B,C错误,D正确, 故选D. 关键点拨　对于平行线的定义要把握两个要点:①在同一平 面内,若不在同一平面内,则两条直线可能既不相交,也不平 行;②不相交. 知识点2　对顶角及其性质 3.下列各图中,∠1与∠2是对顶角的是 (　    )  　　　     　　　     　　　       C 解析　根据对顶角的定义,可知选项C符合题意.故选C. 4.下列语句中,是对顶角的是 (　    ) A.有公共顶点并且相等的角 B.两条直线相交,有公共顶点的角 C.顶点相对的角 D.两条直线相交,有公共顶点没有公共边的两个角 D 解析　只有D选项符合对顶角的定义,故选D. 5.[教材变式]如图所示的是一把剪刀,若∠AOB+∠COD=80°, 则∠AOC=　　　　　    度. 140 解析　因为∠AOB+∠COD=80°,∠AOB=∠COD,所以∠ AOB=∠COD=40°. 因为∠AOC+∠COD=180°,所以∠AOC=180°-40°=140°. 故答案为140. 知识点3　余角、补角及其性质 6.(2023河南郑州五十二中月考)如图,直线AB、CD相交于点 O,∠AOE=90°,则图中∠1与∠2的关系是 (　    )   A.对顶角　　　     B.一对相等的角 C.互余的两个角　　 　    D.互补的两个角 C 解析　因为∠AOE=90°, 所以∠1+∠2=90°. 所以∠1与∠2互余.故选C. 7.(2023山东泰安泰山期中)下列说法中,正确的是 (　    ) A.一个角的补角一定大于这个角 B.任何一个角都有补角 C.若∠1+∠2+∠3=90°,则∠1,∠2,∠3互余 D.一个角如果有余角,则这个角的补角与它的余角的差为90° D 解析    A.90°角的补角等于这个角,故该选项错误; B.0°角没有补角,故该选项错误; C.由于∠1,∠2,∠3是3个角,故不能说∠1,∠2,∠3互余,故该 选项错误; D.一个角如果有余角,则这个角的补角与它的余角的差为90 °,故该选项正确. 故选D. 8.(数学文化)(2023浙江台州阶段练习)泰勒斯被誉为古希腊 及西方第一个自然科学家和哲学家,“两条直线相交,对顶角 相等”就是泰勒斯首次发现并论证的.论证“对顶角相等” 使用的依据是　    (　    ) A.同角的余角相等　　　    B.同角的补角相等 C.等角的余角相等　　　    D.等角的补角相等 B 解析　如图,因为∠1+∠2=180°,∠3+∠2=180°, 所以∠1=∠3(同角的补角相等). 故选B.   9.(2024山东济南天桥期中)一个角是38°,则这个角的余角的 度数是　　　　　    .  52° 解析　因为互余的两角的和为90°,一个角是38°, 所以这个角的余角的度数是90°-38°=52°. 10.(新独家原创)如图,∠EAB=∠FCD,试判断∠BAC和∠ DCA的数量关系,并说明理由.   解析　∠BAC=∠DCA.理由:因为∠EAB+∠BAC=180°,∠ FCD+∠DCA=180°,∠EAB=∠FCD, 所以∠BAC=∠DCA(等角的补角相等). 11.(易错题)如图,直线CD与直线EF 相交于点O,OB,OA为射 线,∠BOE=∠AOD=90°.∠EOD>∠EOC. (1)找出图中相等的锐角,并说明它们相等的理由. (2)试找出∠DOF的补角.   解析    (1)∠EOC=∠DOF,理由是同角的补角相等. ∠BOD=∠FOA,理由是同角的余角相等. (2)∠DOF的补角有∠DOE,∠FOC,∠AOB. 易错警示　互余、互补都是指两个角之间的数量关系,与位 置关系无关. 12.(一题多解)(2024陕西咸阳礼泉期中,6,★☆☆)已知∠α与 ∠β互补,∠α与∠γ互余,若∠γ=30°,则∠β的度数为 (　    ) A.30°　　　    B.60°　　　    C.120°　　　    D.150° 能力提升全练 C 解析　解法一:直接求解. 因为∠α与∠β互补,所以∠α+∠β=180°. 因为∠α与∠γ互余,所以∠α+∠γ=90°. 因为∠γ=30°,所以∠α=60°. 所以∠β=180°-60°=120°. 解法二:利用同一个角的余角与补角的关系求解. 因为∠α与∠β互补,所以∠α+∠β=180°. 因为∠α与∠γ互余,所以∠α+∠γ=90°. 所以∠β=∠γ+90°=30°+90°=120°.故选C. 归纳总结　一个角的补角比这个角的余角大90°. 13.(2024河北廊坊期末,22,★★☆)如图,直线AB,CD相交于点 O,已知∠BOC=75°,OM将∠AOD分成两个角,且∠AOM∶∠ MOD=2∶3. (1)求∠AOM的度数. (2)若ON平分∠BOM,那么OB平分∠CON吗?若平分,请说明 理由.   解析    (1)因为∠BOC=75°,所以∠AOD=∠BOC=75°. 因为∠AOM∶∠MOD=2∶3,所以∠AOM= ∠AOD=30°. (2)OB平分∠CON,理由如下: 由(1)知∠AOM=30°, 所以∠BOM=180°-∠AOM=180°-30°=150°. 因为ON平分∠BOM,所以∠BON= ∠BOM=75°. 因为∠BOC=75°,所以∠BOC=∠BON. 所以OB平分∠CON. 14.(2024陕西咸阳礼泉期中,20,★★☆)如图,OC与AB相交于 点O,OD平分∠AOC,∠AOD和∠DOE互余,且∠AOD= ∠ AOE,求∠BOC的度数.   解析　因为∠AOD和∠DOE互余, 所以∠AOE=∠AOD+∠DOE=90°. 因为∠AOD= ∠AOE,所以∠AOD=30°. 因为OD平分∠AOC, 所以∠AOC=2∠AOD=60°. 所以∠BOC=180°-∠AOC=180°-60°=120°. 15.(2024陕西西安新城期中,22,★★☆)如图,∠AOC与∠BOC互为补角,∠BOC与∠BOD互为余角,且∠BOC=4∠BOD. (1)求∠BOC的度数. (2)若OE平分∠AOC,求∠BOE的度数.   解析    (1)因为∠BOC与∠BOD互为余角, 所以∠BOC+∠BOD=90°. 因为∠BOC=4∠BOD, 所以∠BOC= ×90°=72°. (2)因为∠AOC与∠BOC互为补角, 所以∠AOC+∠BOC=180°. 所以∠AOC=180°-∠BOC=180°-72°=108°. 因为OE平分∠AOC, 所以∠COE= ∠AOC= ×108°=54°. 所以∠BOE=∠COE+∠BOC=54°+72°=126°. 16.(抽象能力) (1)平面内有3条直线相交于一点,则共有多少对对顶角?4条 直线呢?10条直线呢?n条直线呢? (2)若(1)中的直线不一定交于一点,(1)中的结论仍然成立吗? 素养探究全练 解析    (1)3条直线相交于一点,共有6对对顶角;4条直线相交 于一点,共有4×3=12对对顶角;10条直线相交于一点,共有10× 9=90对对顶角;n条直线相交于一点,共有n(n-1)对对顶角. (2)若(1)中的直线不一定交于一点,(1)中的结论仍然成立. 规律总结　每两条直线相交,有2对对顶角,n条直线相交,有n (n-1)对对顶角.与交点个数无关. 微专题　列方程解决余角、补角的计算问题 方法指引　有关余角、补角的计算问题,通常解决的方法是 利用余角、补角的定义及题中存在的等量关系列方程求解. 1.(2024山东济南章丘期中)一个角比它的补角的 少40°,这 个角等于 　　　    °. 15 解析　设这个角为x°,则它的补角为(180-x)°, 由题意,得x= (180-x)-40, 解得x=15. 故答案为15. 2.(2024广东茂名电白期中)一个角的余角比它的补角的 还 少42°,则这个角的度数为　　　　　    . 36° 解析　设这个角的度数为x°, 依题意,得90°-x°= (180°-x°)-42°, 解得x=36.故答案为36°. 3.如果一个角的补角和这个角的余角的2倍互为补角,求这个 角的余角和补角的度数. 解析　设这个角的度数为x,那么它的余角的度数为90°-x,补 角的度数为180°-x. 依题意,得(180°-x)+2(90°-x)=180°. 解得x=60°. 90°-x=30°,180°-x=120°. 答:这个角的余角和补角的度数分别为30°,120°. 1　两条直线的位置关系 第2课时　垂直 第二章　相交线与平行线 知识点1　垂直 基础过关全练 1.(一题多解)(2022河南中考)如图,直线AB,CD相交于点O,EO ⊥CD,垂足为O.若∠1=54°,则∠2的度数为 (　    ) A.26°　　　    B.36°　　　    C.44°　　　    D.54° B 解析　解法一(平角定义法): 因为EO⊥CD,所以∠COE=90°, 因为∠1+∠COE+∠2=180°, 所以∠2=180°-90°-54°=36°. 解法二(对顶角法): 因为EO⊥CD,所以∠DOE=90°, 因为∠1=54°,所以∠BOD=∠DOE-∠1=36°, 所以∠2=∠BOD=36°, 故选B. 2.(2024安徽合肥蜀山期末)如图,直线AB、CD相交于点O,∠ AOC=25°,EO⊥CD,垂足为O,OF平分∠BOE,则∠DOF= 　    　　　    °. 57.5 解析　因为∠AOC=25°,所以∠BOD=∠AOC=25°. 因为EO⊥CD,所以∠EOC=90°. 所以∠BOE=180°-∠EOC-∠AOC=180°-90°-25°=65°. 因为OF平分∠BOE,所以∠BOF= ∠BOE= ×65°=32.5°. 所以∠DOF=∠BOD+∠BOF=25°+32.5°=57.5°. 3.(一题多解)如图,已知直线AB和CD相交于O点,OE⊥AB 于O,OF⊥CD于O,且∠BOF=25°.求∠AOC与∠EOD的度数.   解析　解法一(利用互余):因为OF⊥CD,所以∠DOF=90°,又 因为∠BOF=25°,所以∠BOD =∠DOF+∠BOF=90°+25°= 115°,所以∠AOC=∠BOD=115°. 因为OE⊥AB,所以∠BOE=90°, 因为∠BOF=25°,所以∠EOF=∠BOE-∠BOF=65°, 所以∠EOD=∠DOF-∠EOF =90°-65°=25°. 解法二(利用余角的性质):因为OF⊥CD,所以∠COF=90°,又 因为∠BOF=25°,所以∠BOC =90°-25°=65°,所以∠AOC= 180°-∠BOC=115°. 因为OE⊥AB,OF⊥CD,所以∠BOE=∠BOF+∠EOF=90°,∠ DOF=∠EOD+∠EOF=90°,所以∠EOD=∠BOF=25°. 4.(2023江西抚州阶段练习)如图,直线AB,CD相交于点O,OM ⊥AB. (1)图中∠1的余角有　　　　　    ,补角有　　　　　    . (2)若∠1=∠2,判断ON与CD的位置关系,并说明理由.   解析    (1)因为OM⊥AB, 所以∠1+∠AOC=90°,即∠1与∠AOC互余, 因为∠BOM=90°, 所以∠1+∠BOD=180°-∠BOM=90°,即∠1与∠BOD互余, 因为直线AB,CD相交于点O, 所以∠1+∠DOM=180°,即∠1与∠DOM互补, 故答案为∠AOC和∠BOD;∠DOM. (2)ON⊥CD,理由如下: 因为∠1+∠AOC=90°,∠1=∠2, 所以∠2+∠AOC=90°,即∠CON=90°, 所以ON⊥CD. 知识点2　垂线的性质 5.(情境题·现实生活)(2024山东济南天桥期中)如图,从人行横 道线上的点P处过马路,沿PB行走距离最短,其依据的原理是 (　    ) A.垂线段最短 B.两点之间线段最短 C.两点确定一条直线 D.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 A 解析　因为PB⊥AD,垂足为点B,所以沿PB行走距离最短,依 据的原理是垂线段最短.故选A. 6.(2023山西吕梁交口期末)如图所示的是七年级某班一名学 生在测量跳远成绩的示意图,直线l是起跳线,则需要测量的 线段是 (　    ) A.AB　　　    B.CD　　　     C.AC　　　    D.BC B 解析　根据垂线段最短可得,需要测量的线段为CD,故选B. 7.(情境题·现实生活)(2023山西晋中寿阳期中)如图,河道l的 同侧有M、N两地,现要铺设一条引水管道,从P地把河水引向 M、N两地.下列四种方案中,最节省材料的是 (　    )    　　　       D 解析　根据垂线段最短,以及两点之间,线段最短,可得最节 省材料的是D项,故选D. 8.(2023河北邯郸期中)如果AB⊥l,垂足为B.自AB上任一点向l 作垂线,那么所画垂线均与AB重合,这是因为在同一平面内, 　　　　 　    . 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 9.[教材变式](新独家原创)如图,在正方形网格中,过点C画出 AB的垂线.   解析　如图所示,直线CD即为所求.   知识点3　点到直线的距离 10.(2024河北保定竞秀期中)如图,点P在直线l外,点A、B在直 线l上,若PA=4,PB=7,则点P到直线l的距离可能是 (　    ) A.3　　　    B.4　　　    C.5　　　    D.7 A 解析　点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长度,由 题意知,点P到直线l的距离小于4,故选A. 11.(2024陕西西安新城期中)如图,∠BDC=90°,点A在线段DC 上,点B到直线AC的距离是 (　    ) A.线段DA的长　　　    B.线段BA的长 C.线段DC的长　　　    D.线段BD的长 D 解析　因为∠BDC=90°,所以BD⊥AD. 所以点B到直线AC的距离是线段BD的长.故选D. 12.(2023内蒙古呼和浩特期末,4,★★☆)如图,三条直线AB, CD,EF相交于点O,且CD⊥EF,∠AOE=70°,若OG平分∠BOF, 则∠DOG的度数为 (　    )   A.50°　　　    B.55°　　　    C.60°　　　    D.65° 能力提升全练 B 解析　因为三条直线AB,CD,EF相交于点O,∠AOE=70°,所以 ∠BOF=∠AOE=70°. 因为CD⊥EF,所以∠DOF=90°. 因为OG平分∠BOF,所以∠GOF= ∠BOF=35°. 所以∠DOG=∠DOF-∠GOF=90°-35°=55°,故选B. 13.(等面积法)(2023福建三明列东中学期中,12,★★★)如图, △ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10,P为直线AB上一动 点,连接PC,则线段PC的最小值是　　　　　    . 解析　因为垂线段最短, 所以当CP⊥AB时,PC的值最小, 因为∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10, 所以PC的最小值= = = , 故答案为 . 14.(易错题)(2024河南焦作温县期中,22,★★☆)根据要求画 图,并回答问题: 如图,已知直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD于点O. (1)过点O画直线MN,使得MN⊥AB. (2)点F为直线MN上任意一点(不与点O重合),已知∠BOD=46 °,求∠EOF的度数. 解析    (1)如图,直线MN即为所求.   (2)当点F在AB上方时, 因为OE⊥OD,MN⊥AB, 所以∠EOD=∠MOB=90°. 所以∠EOF=∠BOD=46°. 当点F在AB下方时,∠EOF=180°-∠EOM=180°-46°=134°. 综上所述,∠EOF为46°或134°. 易错警示　注意点F为直线MN上任意一点(不与点O重合), 点F的位置不确定,因此需分类讨论. 15.(推理能力)(2023广西崇左宁明期末)如图,直线AB,CD相 交于点O,OE平分∠AOC,OF平分∠BOC,OG⊥AB. (1)请判断OE与OF的位置关系,并说明理由. (2)若∠BOF-∠COG=22°,求∠BOD的度数.   素养探究全练 解析    (1)OE⊥OF.理由如下: 因为OE平分∠AOC, 所以∠EOC= ∠AOC, 因为OF平分∠BOC, 所以∠COF= ∠BOC, 因为∠AOC+∠BOC=180°, 所以∠EOF=∠EOC+∠COF= (∠AOC+∠BOC) =90°. 所以OE⊥OF. (2)因为OF平分∠BOC, 所以∠COF=∠BOF. 因为∠BOF-∠COG=22°, 所以∠COF-∠COG=22°,即∠GOF=22°. 因为OG⊥AB,所以∠AOG=90°. 因为∠EOF=90°, 所以∠AOE=∠GOF=22°. 所以∠BOD=∠AOC=44°. $$