精品解析：内蒙古科尔沁右翼前旗第二中学2024-2025学年高三上学期期末测试数学试题

2024-2025学年度第一学期期末测试（数学）试卷 本试卷满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号等信息填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合A，再根据集合的并集运算求解. 【详解】由，解得， ，又，所以． 故选：D. 2. 已知复数为虚数单位的共轭复数为，则“为纯虚数”的充分必要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算化简复数，再由共轭复数和纯虚数的定义即可求解. 【详解】因为， 由为纯虚数，即且， 即且. 故选：D. 3. 已知向量，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知利用平方运算可求得，代入投影向量公式即可求得结果. 【详解】，， ，， 又∵， ， ∴， 解得：， 则向量在上的投影向量为为. 故选：D. 4. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值求得正确答案. 【详解】的定义域为， 是奇函数，图象关于原点对称，排除CD选项. ，排除A选项，所以B选项正确. 故选：B 5. 蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为，底面半径为是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以为球心，半径为的球相切，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合圆柱、圆锥以及球的结构特征解得圆锥母线长，进而可求圆锥的侧面积. 【详解】设为圆锥高，为圆锥母线长 以为球心，半径为4的球与圆锥侧面相切，则， 在中，，可得， 且，则，解得， 所以圆锥的侧面积为. 故选：C. 6. 已知为双曲线的左焦点，，为双曲线右支上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为（ ） A. 28 B. 36 C. 44 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】如图所示： ∵双曲线的左焦点为， ∴点是双曲线的右焦点，又，∴虚轴长为2b＝8，∴． ∵①，②， ∴①+②得， ∴的周长． 故选：C 7. 在中，角的对边分别为，若，则（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理结合整体代入思想求解即可. 【详解】因为，所以，而， 在中，，所以，故， 由余弦定理得，代入得， ，故， 故，故B正确. 故选：B 8. 设都是不为1的正数，函数的图象关于对称则的零点个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 由函数的图象关于对称，得到为偶函数，求得，又根据，得到函数有且只有一个零点，从而得到函数只有一个零点． 【详解】依题意，函数的图象关于对称， 可得为偶函数，所以，即， 所以，所以，即， 因对任意恒成立，所以，所以，可得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以有且只有一个零点， 又因为函数的零点个数等价于函数的零点个数， 所以函数有且只有一个零点． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了函数的对对称性的应用，以及函数的零点的个数的判定，其中解答中熟练应用函数的对称性，以及函数的基本性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的的部分分，有选错的的0分. 9. 已知圆，直线，下列结论正确的是（ ） A. 直线l恒过点 B. 若直线l平分圆C，则 C. 圆心C到直线l的距离的取值范围为 D. 若直线l与圆C交于点A，B，则面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线过定点、直线和圆的位置关系、圆的几何性质等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，令，得，即直线l恒过点，A正确． 圆C化为标准方程得，所以圆心． 因为直线l平分圆C，所以直线l过圆C的圆心， 所以，解得，B错误． 圆心C到直线l的距离的最大值为，最小值为0． 故圆心C到直线l的距离的取值范围为，C正确． 设圆心C到直线l的距离为d，的面积为， 当时，面积的最大值为，D正确． 故选：ACD 10. 设函数，则（ ） A. 在上有且仅有1个零点 B. 的最小正周期为 C. 在上单调递减 D. 在上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦二倍角公式可得，令，可知或，，由此即可判断A是否正确；根据正弦函数和正切函数的最小正周期即可判断B是否正确；对函数求导，可得，易知，由此即可判断C、D是否正确. 【详解】由正弦二倍角公式可得，， ∵， ∴或， ∴或，， ∵，∴当且仅当时，即时，满足， ∴在上有且只有一个零点，满足题意，则A正确； 由于，且的最小正周期为，的最小正周期为， ∴的最小正周期为，故B错误， ，则， ∵，∴，∴在每个连续区间上都单调递减，则C、D正确， 故选：ACD. 11. 已知直线分别与函数和的图象交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数与的图象关于对称、在上，可判断A；利用基本不等式和选项A可判断B；设，利用函数的单调性可得，，由可判断C；记，利用零点存在性定理可得，由构造函数，利用导数可得在上单调递增，可得答案. 【详解】对于A，因为函数与互为反函数，它们的图象关于对称， 因为与互相垂直，所以关于对称， 所以，又在上， 所以，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 将与联立可得，即， 设，则函数为单调递增函数， 因为，， 故函数的零点在上，即，由得， ，，故C错误； 记，则时为单调递减函数， ，， 则，，所以， 函数，，当时，， 所以在上单调递增，又， 故. 故选项D错误． 故选：AB． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数，利用单调性得到，，考查了学生的思维能力、数学运算能力. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程. 【详解】因为，所以， 令，得，解得，所以切线斜率为2， 因为，令，得， 解得，所以切点坐标为. 所以在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 13. 已知点在抛物线：上，则点到抛物线的准线的距离是______. 【答案】 【解析】 【分析】借助点坐标可得，即可得准线方程，即可得解. 【详解】由题意可得，即，故：， 则抛物线的准线方程为， 故点到抛物线的准线的距离为. 故答案为：. 14. 有一个4行4列的表格，在每一个格中分别填入数字0或1，使得4行中所填数字之和恰好是各一个，4列中所填数字之和恰好也是1，2，3，4各一个（如图为其中一种填法），则符合要求的不同填法共有__________种. 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 【答案】576 【解析】 【分析】需要填入6个数字0和10个数字1，按顺序先填6个数字0，先找到一行并填入3个数字0，再选出一列需填入3个数字0把0填入，再填入最后一个数字0，最后填入所有的1，结合分步计数原理和组合数公式求解. 【详解】显然在符合要求的填法中，应该填入6个数字0和10个数字1， 按照下面的顺序填入这6个数字0. ①先找到一行并填入3个数字0，选出这样1行共有4种选法， 而从该行的4格中选出3个填入数字0，也有种填法. 因此这一步共有种不同的填法. ②选出一列填入3个数字0，以图为例，可知这一列必为已填入了一个数字0的列， 否则就没有一列的数字之和为4，从而选出这一列共有3种选法. 而该列中已经填入了一个数字0，所以填入另外两个数字0有种填法. 这一步共有种不同的填法. ③当完成前面两步后，最后一个数字0所在行与列都有两个0，只有4个位置可以选择. 最后剩下所有的格都填1，有1种填法. 因此，符合要求的不同填法共有种. 故答案为：576. 【点睛】思路点睛：解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项为，且满足. （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和为； （3）求数列的前项和. 【答案】（1）证明：因为，， 若，则，与矛盾， 所以，所以， 所以，因为，所以， 所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将递推数列变形，结合等差数列的定义，即可证明； （2）由（1）的结果根据等差数列的前项和公式可求. （3）分别讨论为奇、偶的两种情况的前项和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 数列的前项和为. 【小问3详解】 因为， 设数列的前n项和为， 当n为偶数时，， 因为， 所以， 当为奇数时，为偶数. ， 所以. 16. 随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，AI的赋能潜力巨大.为了解教师对AI大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用A、B、C、D四种AI大模型的情况统计如下： 使用AI大模型的种数 性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种AI大模型的40人中，统计使用A、B、C、D的AI大模型人次如下： AI大模型种类 A B C D 人次 32 30 30 28 用频率估计概率. （1）从该地区教师中随机选取一人，估计至少使用两种AI大模型（A、B、C、D中）的概率； （2）从该地区使用3种AI大模型（A、B、C、D中）的教师中，随机选出3人，记使用B的有人，求的分布列及其数学期望； （3）从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用AI大模型（A、B、C、D中）的种数分别为，比较的数学期望的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 数学期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）用样本频率估计总体概率即可求解； （2）用样本频率估计概率，求出“从该地区使用3种AI大模型的40名教师中随机选1人，该人使用模型B”的概率为，则被抽取的人数，由二项分布概率公式即可求解； （3）求出随机变量对应的概率，利用期望公式分别求出的数学期望，再比较大小即可. 【小问1详解】 记事件M为“从该地区教师中随机选取一人，至少使用两种AI大模型”， 则估计. 【小问2详解】 记事件为“从该地区使用3种AI大模型的40名教师中随机选1人，该人使用模型B”， 根据题中数据，. 的可能取值为， ， ， ． . 的分布列为 0 1 2 3 . 【小问3详解】 由题意可得该地区男，女教师人数分别为：80和120， 则易求， ，故. 17. 已知函数在处的切线方程为. （1）求实数的值； （2）求的单调区间和极值. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）由导数的意义令，列方程组求解即可； （2）由导数分析单调性和极值即可； 【小问1详解】 ，切点坐标为， ，即，解得， . 【小问2详解】 ，定义域为， 得或， 得或得； 的单调递增区间为，单调递减区间为； 的极大值为的极小值为. 18. 如图，在正三棱柱中，为棱的中点，. （1）证明：平面； （2）若直线到平面的距离等于，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 连接交于点，则为的中点，连接 ∵为棱的中点 ∴ 又平面，平面， 所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，借助三角形中位线性质，利用线面平行的判定推理即得. （2）方法一:设，利用等体积计算求得,过点作，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，结合向量夹角公式计算可得的余弦值. 方法二:过点作，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设， 求得平面的法向量为，利用点到平面的距离，计算求得,求平面与平面的法向量，结合向量夹角公式计算可得的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （方法一）∵为棱的中点， ∴直线到平面的距离即为点到平面的距离， ∴点到平面的距离等于 ∴ 设，则，，， ∴， ∴ ∴ 过点作，则平面， 如图所示，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，， 所以，，， 设平面的法向量为 则，即 令，则，， 所以平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则，即 令，则，， 所以平面的一个法向量， 所以 所以平面与平面夹角的余弦值为 （2）（方法二）过点作，则平面，如图所示， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 所以，，，， 所以，，，，， 设平面的法向量为， 则，即 令，则，， 所以平面的一个法向量， 所以点到平面的距离， ∴ ∴平面的一个法向量 设平面的法向量为， 则，即 令，则，， 所以平面的一个法向量， 所以， 所以，平面与平面夹角的余弦值为 19. 已知椭圆的一个顶点为(0，2)，离心率为 分别为椭圆的上、下顶点，动直线 交椭圆 于 两点(异于椭圆顶点)，满足 ，过点 作 ，垂足为 . （1）求椭圆的标准方程; （2）证明直线 过定点，并求出此定点的坐标; （3）写出 面积的最大值. 【答案】（1） （2） 证明：依题意可知直线不过点， 若直线的斜率不存在，则为锐角，不满足MA⊥MB， 所以直线的斜率存在，设直线的方程为， 由消去并化简得， ，整理得. 设，则， ， 由于，所以， 即， ， ， ， ， 即， 整理得， 由于，故解得，所以直线的方程为， 所以直线过定点，此时在椭圆内，满足直线与椭圆有个公共点. （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程. （2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，根据MA⊥MB列方程，化简后确定直线所过定点坐标. （3）先求得点的轨迹，然后求得面积的最大值. 【小问1详解】 依题意，解得， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，由于， 所以点的轨迹是以为直径的圆（点除外）， 所以到，也即到的距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 【点睛】 关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法，再将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，再代入，化简得到值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末测试（数学）试卷 本试卷满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号等信息填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数为虚数单位的共轭复数为，则“为纯虚数”的充分必要条件为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 5. 蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为，底面半径为是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以为球心，半径为的球相切，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为双曲线的左焦点，，为双曲线右支上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为（ ） A. 28 B. 36 C. 44 D. 48 7. 在中，角的对边分别为，若，则（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 8. 设都是不为1的正数，函数的图象关于对称则的零点个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的的部分分，有选错的的0分. 9. 已知圆，直线，下列结论正确的是（ ） A. 直线l恒过点 B. 若直线l平分圆C，则 C. 圆心C到直线l的距离的取值范围为 D. 若直线l与圆C交于点A，B，则面积的最大值为 10. 设函数，则（ ） A. 在上有且仅有1个零点 B. 的最小正周期为 C. 在上单调递减 D. 在上单调递减 11. 已知直线分别与函数和的图象交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为_____________. 13. 已知点在抛物线：上，则点到抛物线的准线的距离是______. 14. 有一个4行4列的表格，在每一个格中分别填入数字0或1，使得4行中所填数字之和恰好是各一个，4列中所填数字之和恰好也是1，2，3，4各一个（如图为其中一种填法），则符合要求的不同填法共有__________种. 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项为，且满足. （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和为； （3）求数列的前项和. 16. 随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，AI的赋能潜力巨大.为了解教师对AI大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用A、B、C、D四种AI大模型的情况统计如下： 使用AI大模型的种数 性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种AI大模型的40人中，统计使用A、B、C、D的AI大模型人次如下： AI大模型种类 A B C D 人次 32 30 30 28 用频率估计概率. （1）从该地区教师中随机选取一人，估计至少使用两种AI大模型（A、B、C、D中）的概率； （2）从该地区使用3种AI大模型（A、B、C、D中）的教师中，随机选出3人，记使用B的有人，求的分布列及其数学期望； （3）从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用AI大模型（A、B、C、D中）的种数分别为，比较的数学期望的大小．（结论不要求证明） 17. 已知函数在处的切线方程为. （1）求实数的值； （2）求的单调区间和极值. 18. 如图，在正三棱柱中，为棱的中点，. （1）证明：平面； （2）若直线到平面的距离等于，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知椭圆的一个顶点为(0，2)，离心率为 分别为椭圆的上、下顶点，动直线 交椭圆 于 两点(异于椭圆顶点)，满足 ，过点 作 ，垂足为 . （1）求椭圆的标准方程; （2）证明直线 过定点，并求出此定点的坐标; （3）写出 面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $