北京市朝阳区北京中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

2024—2025学年度第一学期12月质量调研试题 高三数学 2024.12.24. 一､选择题，共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，点对应的复数为，则实数（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知锐角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，是的中点.若，则（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线上一动点，则到点和点的距离之和的最小值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 6 7. 在中，“”是“为钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设圆的半径为3，其一条弦为圆上任意一点，则的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 9. 已知函数，且是的极小值点，则可以是（ ） A. B. C. D. 10. 设集合，，，中至少有两个元素，且满足： ①对于任意，若，都有 ②对于任意，若，则； 下列命题正确的是（ ） A. 若S有4个元素，则有7个元素 B. 若S有4个元素，则有6个元素 C. 若S有3个元素，则有5个元素 D. 若S有3个元素，则有4个元素 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知双曲线的焦点为，实轴长为2，则双曲线的离心率为__________，渐近线方程为__________. 12. 已知为等差数列，为其前项和.若，，则__________. 13. 若直线与交于两点，写出满足“”的的一个值_______ 14. 已知空间四点中任意两点间的距离都等于，则点到平面的距离为_______． 15. 已知无穷数列满足：对任意，有，且.给出下列四个结论： ①存在无穷多个，使得； ②存在，对任意，有； ③对任意，有； ④对任意，存在互不相同的，使得 其中所有正确结论的序号是__________. 三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，已知， （1）求； （2）的周长为9，再从以下条件中选择一个，使三角形存在且唯一确定，并求的面积． ①；②；③． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 某城市一条地铁新线开通了试运营，此次开通了、、、、、共6座车站．在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐该地铁新线的200名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）： 下车站 上车站 合计 5 6 4 2 7 24 12 20 13 7 8 60 5 7 3 8 1 24 13 9 9 1 6 38 4 10 16 2 3 35 2 5 5 4 3 19 合计 36 36 56 26 21 25 200 （1）在试运营期间，从在站上车的乘客中任选1人，估计该乘客在站下车的概率； （2）以频率估计概率，在试运营期间，从在站上车的所有乘客和在站上车的所有乘客中各随机选取1人，设其中在站下车的人数为，求随机变量的分布列以及数学期望； （3）为了研究各站客流量的相关情况，用示所有在站上下车的乘客的上、下车情况，“”表示上车，”表示下车．相应地，用，分别表示在站，站上、下车情况，直接写出方差，，大小关系． 18. 如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，为的中点，，四边形为矩形. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 19. 已知椭圆的短轴长为，右焦点为，直线：与轴交于点，且．过点的直线与椭圆交于两点． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）过点且平行于轴的直线交椭圆于另一点，求面积的最大值． 20. 已知函数，曲线在点处的切线方程记为．定义函数． （1）当时求的解析式； （2）当时，判断函数的单调性并说明理由； （3）若满足当时，总有成立，则称实数为函数的一个“点”，求函数的所有点． 21. 已知有穷数列，从数列中选取第项，第项，，第项，顺次排列构成数列，其中，则称新数列为的长度为的子列.规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列，若数列的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列为完全数列.设数列满足. （1）判断下面数列的两个子列是否为完全数列，并说明由； 数列①：；数列②：. （2）数列的子列长度为，且为完全数列，证明：的最大值为6； （3）数列的子列长度，且为完全数列，求的最大值. 2024—2025学年度第一学期12月质量调研试题 高三数学 2024.12.24. 一､选择题，共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】A 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 【11题答案】 【答案】 ①. ②. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】（答案不唯一） 【14题答案】 【答案】## 【15题答案】 【答案】①③④ 三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【16题答案】 【答案】（1） （2） 选择条件①：不符合题意； 选择条件②：的面积为； 选择条件③：的面积为. 【17题答案】 【答案】（1） （2）分布列： 0 1 2 期望为 （3） 【18题答案】 【答案】（1）设线段交于点，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点. 在中，分别为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） 【19题答案】 【答案】（1）， （2） 【20题答案】 【答案】（1）； （2）递减区间为，递增区间为； （3）. 【21题答案】 【答案】（1） 数列①不是完全数列，数列②是完全数列，理由如下： 数列①：因为，所以数列①不是完全数列； 数列②：因为， ， 即每一子列的所有项的和都不相同，所以数列②是完全数列. （2） 假设存在完全数列，其长度为，则， 则长度为的数列的每一子列的所有项的和有个， 设其所有项的和的最小值为，最大值为， 则， 可得， 整理得， 当时，； 当时，； 当时，； 当，则，， 所以； 综上所述：当时，不存在，使得成立. 所以假设不成立，则，且，符合题意， 所以m的最大值为6. （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $