10 巧用平移圆和膨胀圆求解亮斑问题-《中学生数理化》高考理化2025年1月刊

巧用平移圆和膨胀圆求解亮斑问题 ■广东省惠州市光正实验学校高中部 陈 宏(正高级教师) 在介质中存在一个点光源,在介质表面 就会形成一个亮斑,这是考查光的全反射现 象的典型问题。在近几年的各地各类考试卷 中出现了在介质中存在线状光源、三角形光 源或圆形光源,要求讨论在介质表面形成亮 斑的问题。这类问题的难度较大,同学们普 遍感觉求解困难。下面将结合实例阐述应用 平移圆和膨胀圆巧妙求解亮斑问题的具体方 法,供大家参考。 一、线状光源形成的亮斑问题的求解方法 图1 例 1 琉璃灯表演中会用一 个如图1所示的长方体玻璃柱,其 底面是边长为a 的正方形,高为 2a。在玻璃柱正中央竖直固定一 长度为a的线状光源,它可以向四 周发出红光。已知玻璃柱材料对 红光的折射率为 2,忽略线状光源的粗细,则 玻璃柱一个侧面的发光面积为( )。 A.1+ π 4 a2 B.1+5π8 a2 C.1+ 3π 4 a2 D.2a2 解析:第一步,求出线状光源上一个点光 源在一个侧面上形成的亮斑的半径。 选玻璃柱的一个侧面进行分析,根据发 生全反射的临界角C 与介质折射率n的关系 得sin C= 1 n ,其中n= 2,则C=45°,因此线 状光源上一个点光源S 在每个侧面上形成亮 斑的半径R= a 2 ·tan C= a 2 。 第二步,求出线状光源上所有点光源在 一个侧面上形成的亮斑的集合。 图2 将点光源S 在一个侧面上形成 亮斑的圆心沿着线状光源移动,可得 一个侧面上发光面的形状如图2所 示,其中两个半圆的半径 R= a 2 ,中 间正方形的边长为a,故玻璃柱一个侧面的 发光面积为 1+ π 4 a2。 答案:A 评析:在玻璃柱正中央竖直固定一线状 光源,根据对称性可知,四个侧面上发光面的 形状完全一样。若想求上、下底面上形成亮 斑的大小,则应用“膨胀圆”即可。 二、三角形光源形成的亮斑问题的求解 方法 例 2 (2023年高考浙江6月卷)在水 池底部水平放置三条细灯带构成的等腰直角 三角形发光体,直角边的长度为0.9 m,水的 折射率n= 4 3 ,细灯带到水面的距离h= 7 10 m,则有光射出的水面形状(用阴影表示) 应为图3中的( )。 图3 解析:第一步,求出细灯带上一个点光源 在其正上方水面上形成的亮斑的半径。 细灯带上的一个点光源S 发出的光在水 面恰 好 不 发 生 全 反 射 的 临 界 角 为 C,则 sin C= 1 n= 3 4 ,即tan C= 3 7 ,因此细灯带上 的一个点光源S 在水面上形成的亮斑的半径 r=h·tan C=0.3 m。 第二步,求出细灯带上所有点光源在水 面上形成的亮斑的集合。 图4 将点光源S 在水面上 形成亮斑的圆心沿三角形 发光体平移,这个亮斑所能 到达的区域就是有光射出 的水面形状,如图4所示。 设等腰直角三角形的 43 解题篇 创新题追根溯源 高考理化 2025年1月 内接圆半径为r',因为r'= L 2+ 2 <r,所以 有光射出的水面形状中间无空缺。 答案:C 评析:本题注重对考生理解能力和空间 想象能力的考查。若仅将本题中直角边的长 度改为1.8 m,则正确答案就是D。 三、圆形光源形成的亮斑问题的求解方法 例 3 某主题公园的湖里安装了一批 半径为R 的圆形线状彩灯,如图5甲所示。 将该彩灯水平放置到湖水下方,彩灯圆面与 湖面平行。当彩灯发出红光时,可在湖面上观 察到如图5乙所示的红色亮环,亮环与中间暗 圆的面积之比为3∶1,已知湖水对红光的折射 率为 4 3 ,则下列说法中正确的是( )。 图5 A.该彩灯到湖面的垂直距离为 7 9R B.当彩灯变换发光颜色时,中间暗圆的 面积将保持不变 C.若将彩灯上移,则亮环与中间暗圆的 面积之比增大 D.将彩灯再向湖底下移 7 6R ,会使中间 暗圆消失 解析:第一步,求出圆环上一个点光源在 其正上方湖面上形成的亮斑的半径。 设彩灯到湖面的垂直距离为h,彩灯发 出的红光在湖面恰好不发生全反射的临界角 为C,则sin C= 1 n= 3 4 ,即tan C= 3 7 ,因此 彩灯上的一个点光源S 发出的红光在湖面上 形成的亮斑的半径r=h·tan C= 3 7 h。 第二步,求出彩灯上所有点光源在湖面 上形成的亮斑的集合。 将点光源S 在湖面上形成亮斑的圆心沿 图6 圆环移动一周,这个亮斑 所经过的区域就是在湖面 上观察到的红色亮环,如 图6所示。 因为亮环与中间暗圆 的面积之比为3∶1,所以 2r=R-r,即r= R 3 ,解得 h= 7 9R ,选项 A正确。当彩灯变换发光颜 色时,折射率会发生变化,亮斑的半径r也会 随之发生变化,因此中间暗圆的面积会发生 变化,选项B错误。若将彩灯上移,则h 减 小,亮斑的半径r减小,亮环与中间暗圆的面 积之比减小,选项C错误。将彩灯再向湖底 下移 7 6R ,亮斑的半径r= 5 6R ,中间暗圆的 半径为 R 6 ,选项D错误。 答案:A 评析:本题要求根据亮斑的形状来判断 光源的深度,当光源深度不变时,用“平移圆” 进行分析与求解十分简捷;当光源深度发生 变化时,先用“膨胀圆”分析点光源形成亮斑 的大小,再用“平移圆”求解即可。 总结:求解亮斑问题时,需要先求出光源 上的一个点光源形成亮斑的半径,再通过平 移圆或膨胀圆求并集或交集求出所有点光源 形成亮斑的集合。 如图7甲所示,在水池中水平放置由一 条细灯带围成的直径d1=0.6 m的圆环发光 体,水的折射率n= 4 3 ,细灯带到水面的距离 h 可以调节,紧贴水面的上方水平放置一光 传感器。调节h=h1 时,传感器检测到有光 强的区域恰好为一个完整的圆形。调节h= h2= 7 4 m时,传感器上光强随x 轴位置的 变化如图7乙所示,其中光强最强的区域对 应传感器部分为直径为d2 的圆形区域,检测 到有光强的区域为直径为d3 的圆形区域。 下列说法中正确的是( )。 53 解题篇 创新题追根溯源 高考理化 2025年1月 图7 􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍 A.h1= 7 5 m B.d2=0.9 m C.d3=1.5 m D.h越小,d3 越大 参考答案:B (责任编辑 张 巧) 63 演练篇 核心考点AB卷 高考理化 2025年1月