08 巧选研究对象解决变质量理想气体问题-《中学生数理化》高考理化2025年1月刊

■广西北海市合浦廉州中学 秦付平 气体实验定律和理想气体状态方程作为 热学中的重点和难点,也是高考考查的热点 之一。在考查气体实验定律和理想气体状态 方程的高考试题中,尤其以求变质量理想气 体问题为难点,同学们遇到这类问题往往会 深感困惑,究其原因有研究对象选择错、物理 过程分析错、审题思路错等情况。选择研究 对象是解决问题的首要环节,在分析变质量 理想气体问题时显得更为重要。同学们若能 先巧妙地选择合适的研究对象化变为定,再 利用气体实验定律或理想气体状态方程列式 求解,则事半功倍。下面针对四种常见的变 质量理想气体问题,剖析解题策略,总结解题 方法,供同学们参考。 一、充气问题———选内外全部气体为研 究对象 在充气(打气)的过程中,将充进容器内 的气体和容器内的原有气体组成的整体作为 研究对象,即可实现将变质量问题转化为定 质量问题。 图1 例 1 如图1所示,体积 为V 的汽缸由导热性能良好的 材料制成,面积为S 的活塞(活 塞的厚度可忽略不计)将汽缸 内的空气分成体积相等的上、 下两部分,汽缸上部分通过单 向阀门K(气体只能进汽缸,不 能出汽缸)与一打气筒相连。开始时汽缸内 上部空气的压强为p0,现用打气筒向汽缸内 打气。已知打气筒每次能打入压强为p0、体 积为 V 10 的空气,当打气n 次后,稳定时汽缸 上、下两部分的空气体积之比为9∶1,活塞 的重力G= 1 4p0S 。将空气视为理想气体, 外界温度恒定,不计活塞与汽缸间的摩擦。 求: (1)当打气n次后,稳定时汽缸内下部空 气的压强。 (2)打气筒向汽缸内打气的次数n。 解析:(1)设汽缸内下部空气的初状态压 强为p1,末状态压强为p2,根据玻意耳定律 得p1 V 2=p2 V 10 。在初状态下,活塞受力平 衡,根据平衡条件得 p1S=p0S+G,解得 p2= 25 4p0 。 (2)把汽缸内上部原有空气和打气筒打 气n次打进汽缸的空气组成的整体作为研究 对象,设汽缸内上部空气的末状态压强为p, 根据玻意耳定律得p0 V 2+np0 V 10=p 9V 10 。 在末状态下,活塞受力平衡,根据平衡条件得 p2S=pS+G,解得p=6p0,n=49。 点评:在分析与求解质量变化的气体问 题时,需要先将质量变化问题转化为质量不 变问题,再应用气体实验定律或理想气体状 态方程列式求解。又如,在漏气问题中,不管 是等温漏气、等容漏气,还是等压漏气,都要 将漏掉的气体“收”回来,即可以设想有一个 “无形弹性袋”可以收回漏气,且漏掉的气体 和容器中剩余气体同温、同压,这样就把质量 变化问题转化成了质量不变问题。 二、抽气问题———选包含抽出气体的整 体为研究对象 在抽气的过程中,对每一次抽气而言,气 体质量发生变化,解决这类变质量问题的方 法与充气(打气)问题类似,即把从容器中抽 出的气体和留在容器内的气体组成的整体作 为研究对象,实现将变质量问题转化为定质 量问题。 82 解题篇 创新题追根溯源 高考理化 2025年1月 例 2 为防止文物展出时因氧化而受 损,需抽出存放文物的展柜中的空气,充入惰 性气体,形成低氧环境。如图2所示为用活 塞式抽气筒从存放青铜鼎的展柜内抽出空气 的示意图。已知展柜的容积为V0,开始时展 柜内空气的压强为p0,抽气筒每次抽出空气 的体积为 V0 16 ;抽气一次后,展柜内的压强传感 器显示内部空气压强为 14 15p0 。不考虑抽气引 起的温度变化。求: 图2 (1)青铜鼎材料的总体积。 (2)抽气两次后,展柜内剩余空气与开始 时空气的质量之比。 解析:(1)设青铜鼎材料的总体积为ΔV, 抽气一次的过程中,选展柜内原有空气为研究 对象,假设抽气筒抽出的空气与展柜内剩余空 气经历相同的等温膨胀过程,根据玻意耳定律 得p0(V0-ΔV)= 14 15p0 V0-ΔV+ V0 16 ,解得 ΔV= V0 8 。 (2)设抽气两次后展柜内剩余空气的压 强为p2,选抽气一次后展柜内剩余空气为研 究对象,根据玻意耳定律得14 15p0 (V0-ΔV)= p2 V0-ΔV+ V0 16 。设抽气两次后展柜内剩 余空气 的 压 强 变 为 p0 时 的 体 积 为 V,则 p0V=p2(V0-ΔV)。因此抽气两次后展柜 内剩余空气与开始时空气的质量之比 m1 m2 = V V0-ΔV ,解得m1 m2 = 196 225 。 点评:用抽气筒从容器内抽气的过程中, 对每一次抽气而言,容器内的气体质量发生 变化,但把每次抽出的气体包含在气体变化 的始末状态中时,就变成了质量一定的气体 状态变化过程,可以应用气体实验定律或理 想气体状态方程列式求解。 三、气体分装问题———选大小容器内的 全部气体为研究对象 将一个大容器内的气体分装到多个小容 器中也是变质量问题,分析这类问题时,把留 在大容器内的气体和多个小容器内的气体作 为一个整体进行研究,即可将变质量问题转 化为定质量问题。 例 3 已知某钢瓶的容积为200 L,在 室外环境温度为-23 ℃的状态下测得钢瓶 内氧气的压强为3×105 Pa,室内的温度为 27 ℃(钢瓶的热胀冷缩可以忽略不计)。求: (1)将钢瓶移入室内达热平衡后,钢瓶内 氧气的压强为多少? (2)现在室内将钢瓶内的氧气分装到容 积为5 L内部真空的小钢瓶中,分装后每个 小钢瓶内氧气的压强为2×105 Pa,在分装过 程中大小钢瓶内氧气的温度均保持不变。该 钢瓶内的氧气最多可分装到多少个小钢瓶中 供病人使用? 解析:(1)将钢瓶移入室内达热平衡的过 程中,钢瓶内的氧气发生等容变化,根据查理 定律得 p1 T1 = p2 T2 ,其中p1=3×105 Pa,T1= (273-23)K,T2=(273+27)K,解得p2= 3.6×105 Pa。 (2)将钢瓶内的氧气分装到小钢瓶中,氧 气发生等温变化,根据玻意耳定律得p2V= np3V'+p3V,其 中 V=200 L,p3 =2× 105 Pa,V'=5 L,解得n=32。 例 4 如图3所示,容积为5 L的医用 氧气袋广泛应用于野外急救。若原是真空的 容积为5 L的氧气袋是由医用钢瓶内的氧气 分装而成的,已知医用钢瓶的容积为10 L,贮 有压强为3.6×106 Pa的氧气,充气后的氧气 袋内氧气的压强都是1.2×106 Pa。假设充 气过程不漏气,环境温度不变化。求: (1)一个医用钢瓶最多可分装多少个氧 气袋? (2)病人用后,氧气袋内氧气的压强降至 92 解题篇 创新题追根溯源 高考理化 2025年1月 1.0×106 Pa,则一个氧气袋内用去的氧气质 量与原有氧气总质量之比为多少? (结果可 以用分数表示) 图3 解析:(1)选取一个医用钢瓶内原有氧气 为研究对象,则其初状态体积V1=10 L,初 状态压强p1=3.6×106 Pa,分装n个氧气袋 后,末状态体积V2=V1+nV0,其中V0= 5 L,末状态压强p2=1.2×106 Pa。分装过 程中氧气经历等温变化过程,根据玻意耳定 律得p1V1=p2V2,即p1V1=p2(V1+nV0), 解得n=4。 (2)选取一个氧气袋内压强p2=1.2× 106 Pa的氧气为研究对象,设其压强降至 p3=1.0×106 Pa时的体积为V,用气过程中 氧气经历等温变化过程,根据玻意耳定律得 p2V0=p3V,解得V= 6 5V0 。病人用去氧气 的体积ΔV= 6 5V0-V0= 1 5V0 ,因此用去的 氧气质量与原有氧气总质量之比 Δm m = ΔV V = 1 6 。 点评:对 于 理 想 气 体 在 状 态 发 生 变 化 过程中质 量 发 生 变 化 的 问 题,如 何 选 择 恰 当的研究 对 象,将 变 质 量 问 题 转 化 为 定 质 量问题,是正确解题的关键。另外,对于气 体分装问 题,将 每 次 分 装 过 程 中 分 出 去 的 气体或剩 余 的 气 体 作 为 研 究 对 象,其 质 量 也是不变 的,且 气 体 在 分 装 过 程 中 可 视 为 经历等温膨胀过程。 四、漏气问题———选剩余或漏掉的部分 气体为研究对象 容器漏气过程中,气体的质量不断发生 变化,属于变质量问题,选容器内剩余的气体 或漏掉的气体为研究对象,便可将变质量问 题转化为定质量问题。 例 5 (2023年高考全国甲卷)一高压 舱内气体的压强为1.2个大气压,温度为 17 ℃,密度为1.46 kg/m3。 (1)升高气体温度并释放出舱内部分气 体以保持舱内气体压强不变,求气体温度升 至27 ℃时舱内气体的密度。 (2)保持气体温度为27 ℃不变,再释放 出舱内部分气体使舱内气体压强降至1.0个 大气压,求舱内气体的密度。 解析:(1)选升高气体温度并释放出舱内 部分气体后的剩余气体为研究对象,设高压 舱的容积为V1,放出气体的体积为ΔV1,初 状态温度T1=(273+17)K=290 K,末状态 温度T2=(273+27)K=300 K,根据盖-吕萨 克定律得 V1 T1 - ΔV1 T1 = V1 T2 ,解得ΔV1= 1 30V1 。 根据气体状态变化前后的质量关系得ρ1V1- ρ1ΔV1=ρ2V1,其中ρ1=1.46 kg/m3,解得 ρ2=1.41 kg/m3。 (2)选保持温度为27 ℃不变,再释放出舱 内部分气体后的剩余气体为研究对象,高压舱 的容积不变,设再次放出气体的体积为ΔV2, 根据玻意耳定律得p2V2-p2ΔV2=p3V2,其中 V2=V1,p2=1.2p0,p3=p0,解得 ΔV2= 1 6V1 。根据气体状态变化前后的质量关系得 ρ2V2-ρ2ΔV2=ρ3V2,解得ρ3=1.18 kg/m3。 点评:在解决物理问题的过程中,选择不 同的研究对象将会出现不同的研究方法和解 题策略。上述解题过程以舱内剩余气体为研 究对象,当然也可以像例1点评中说的那样, 选高压舱内原有气体为研究对象。通过对变 换研究对象的思考,同学们可以从多方位理 解问题的本质,这对提高同学们的思维能力 将大有裨益。 总结:求解变质量理想气体问题是热学 中的一个学习难点,气体实验定律和理想气 体状态方程的适用条件是气体的质量保持不 变,因此求解涉及变质量理想气体问题,关键 在于采用合理的方法,将变质量问题转化为 定质量问题。 (责任编辑 张 巧) 03 解题篇 创新题追根溯源 高考理化 2025年1月