06 图像法分析波的干涉中的“相长与相消”-《中学生数理化》高考理化2025年1月刊

图像法分析波的干涉中的“相长与相消” ■北京师范大学贵阳附属中学 陈卫国(正高级教师) 图像法是解决物理问题的一种重要方 法。频率相同、相位差恒定、振动方向相同的 两列波发生干涉现象,形成稳定的干涉图样。 以干涉图样为背景的“相长与相消”问题,若 采用常规方法进行处理,则抽象难以理解,而 在深入理解其本质的基础上采用图像法进行 分析,则会呈现出直观且简捷的优点。 一、物理原型 频率相同、相位差恒定、振动方向相同的 两列波叠加时,某些区域的振动总是加强,某 些区域的振动总是减弱,即发生干涉,形成稳 定的干涉图样。在由点波源发出的两列波发 生干涉,形成的干涉图样中,相应振动加强点 连线或振动减弱点连线的数学形式为双曲 线,且条纹间隔并不相等,如图1所示。 图1 二、探寻规律 1.物理理解。 如图1所示,用两组同心圆表示从波源 S1 和S2 发出的两列波的波面,实线圆表示 波峰,虚线圆表示波谷。相邻实线圆与虚线 圆间的距离等于半个波长 λ 2 ,相邻实线圆与 实线圆或虚线圆与虚线圆间的距离等于一个 波长λ。 如果在某一时刻,水面上的某一点(如图 1中的a点)是两列波的波峰与波峰相遇,那 么经过半个周期,一定是波谷与波谷相遇。 当波峰与波峰相遇时,质点向上的位移最大, 位移大小等于两列波的振幅之和A1+A2;当 波谷与波谷相遇时,质点向下的位移最大,位 移大小等于两列波的振幅之和A1+A2。因 此,在这一点,两列波引起的振动总是加强, 质点振动最剧烈。 如果在某一时刻,水面上的某一点(如图 1中的b点)是两列波的波峰与波谷相遇,那 么经过半个周期,就变成了波谷与波峰相遇。 在这一点,两列波引起的振动总是相互削弱, 振幅等于两列波的振幅之差|A1-A2|。如 果这两列波的振幅相同,那么质点的合振幅 就等于零,即水面保持平静。 因此,在图1中,实线圆与实线圆的交点 或虚线圆与虚线圆的交点是振动加强区域, 实线圆与虚线圆的交点是振动减弱区域。 2.数学描述。 (1)双曲线特点。 双曲线的定义:平面内与两个定点F1、 F2 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 等 于 常 数(小 于 |F1F2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线。 描述 双 曲 线 的 符 号 语 言:||MF1|- |MF2||=2a,0<2a<|F1F2|。 描述双曲线的数学方程:焦点在x 轴上 的双曲线的标准方程为 x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0, b>0),焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),焦 距为2c,且c2=a2+b2,如图2所示。 图2 图3 注意:双曲线方程中a 与b 的大小关系 是不确定的,但必有c>a>0,c>b>0。 (2)波的干涉图样。 如图3所示,S1、S2 是两个相干波源,某 质点P 的振动是加强还是减弱,取决于质点 P 到两波源的距离之差Δr。 32 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2025年1月 当S1、S2 两波源的振动步调一致时,若 Δr=|r1-r2|=2k· λ 2 (k=0,1,2,…),则质 点P 的振动加强;若Δr=|r1-r2|=(2k+ 1)· λ 2 (k=0,1,2,…),则质点P 的振动减弱。 当S1、S2 两波源的振动步调相反时,若 Δr=|r1-r2|=(2k)· λ 2 (k=0,1,2,…),则 质点P 的振动加强;若Δr=|r1-r2|=(2k+ 1)· λ 2 (k=0,1,2,…),则质点P 的振动减弱。 三、学以致用 例 1 如图4所示,在平静水面上构建 一平面直角坐标系 Oxy,在x1=-5 m 和 图4 x2=5 m 处有两个完全 相同的波源S1、S2,两波 源在水面上产生的水波 的波长均为λ=3 m,振 幅均为 A=3 cm。一段 时间后,在水面上形成了 稳定的干涉图样,试分析在双曲线x 2 9- y2 16= 1上的质点是振动加强点还是振动减弱点。 解析:假设符合要求的相干波源激发的简 谐波干涉图样满足双曲线方程 x2 9- y2 16=1 ,双 曲线上的点P(x0,y0)为振动加强点,根据双 曲线的特点得a=3 m, (x0+5 m)2+y20- (x0-5 m)2+y20=2a,又有6 m=2k· λ 2 (k=2),因此假设成立,即双曲线 x2 9- y2 16=1 上的质点是振动加强点。 图5 例 2 如图5所示, 直径为2.5 m 的圆上有 两个做简谐运动的波源 S1、S2,两波源的振动情 况完全相同,在介质中产 生的简谐波的波长均为 1 m,线段S1S2 和AB 是 圆的两个互相垂直的直径,除两波源外,试分 析圆上振动减弱点和振动加强点的个数。 解析:(1)两相干波源激发的简谐波叠加 振动加强时,满足Δr=|r1-r2|=2k· λ 2 (k= 0,1,2,…)。令k=0,则Δr=0,得r1=r2= 1.25 m,即S1、S2 两波源连线的中垂线上的点 振动加强;令k=1,则Δr=|r1-r2|=1 m,且 r1+r2=2.5 m,得r1=1.75 m,r2=0.75 m 或r1=0.75 m,r2=1.75 m;令k=2,则Δr= |r1-r2|=2 m,且r1+r2=2.5 m,得r1= 2.25 m,r2=0.25 m 或r1=0.25 m,r2= 2.25 m。因此r1=0.25 m、0.75 m、1.25 m、 1.75 m、2.25 m对应双曲线是振动加强点。 上述双曲线与圆有10个交点,故圆上有10 个振动加强点,如图6所示。 图6 图7 (2)两相干波源激发的简谐波叠加振动 减弱时,满足Δr=|r1-r2|=(2k+1)· λ 2 (k=0,1,2,…)。令k=0,则Δr=|r1-r2|= 0.5 m,且r1+r2=2.5 m,得r1=1.5 m, r2=1 m或r1=1 m,r2=1.5 m;令k=1,则 Δr=|r1-r2|=1.5 m,且r1+r2=2.5 m, 得r1=2 m,r2=0.5 m或r1=0.5 m,r2= 2 m;令k=2,则Δr=|r1-r2|=2.5 m,且 r1+r2=2.5 m,得r1=2.5 m,r2=0或r1= 0,r2=2.5 m(不符合题目要求)。因此r1= 0.5 m、1 m、1.5 m、2 m对应双曲线是振动 减弱点。上述双曲线与圆有8个交点,故圆 上有8个振动减弱点,如图7所示。 四、拓展延伸———形异实同的光的双缝 干涉 如图8所示,与双缝之间的距离d 相比, 狭缝很窄,宽度可以忽略,狭缝S1、S2 连线的 中垂线与屏的交点为P0,双缝到屏的距离为 l。屏上一点P1 到P0 点的距离为x,两缝到 P1 点的距离分别为r1、r2。在线段P1S2 上作 42 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2025年1月 图8 􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘 点 M,使 得 线 段 P1M 的 长 度 等 于r1,则 dS2M=r2 -r1。因 为 d≪l,所 以 可 以 认 为 ΔS1S2M 是 直 角 三 角 形。根据几何关系得 r2-r1=dsin θ,又有 x=ltan θ≈lsin θ。当 两列波的路程差为波 长的整数倍,即 Δr=2k· λ 2=kλ (k=0,1, 2,…)时出现亮条纹,相邻两条亮(暗)条纹的 中心间距Δx=xk+1-xk=λ· l d 。 总结:对于多数同学而言,高中物理难学 的原因之一在于无法建构准确的物理图景,遑 论建模。因此,要想学好高中物理,就需要在 准确理解概念、规律的基础上,学会建构准确 的物理图景,利用物理模型遵循的规律分析与 解决具体问题。图像能够直观地描述物理过 程与物理量之间的关系,形象地揭示物理规 律,是数与形、动与静、抽象与形象、数学与物 理相结合的产物,具有直观、形象、简明、实用 的特点,是处理物理问题的重要手段。自然界 表象纷繁复杂,但背后的规律简洁明了,这也 正是科学的迷人之处! 比如,在分析波的干涉 图样的过程中,根据简谐运动对应振动加强点 连线或振动减弱点连线为双曲线,利用双曲线 的数学特点及对称性,几乎可以准确判断质点 振动的所有情况,继而可以研究简谐运动的相 位、初相、瞬时位置等细节问题。 (责任编辑 张 巧) 52 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2025年1月