05 例析求解简谐波问题的两种方法-《中学生数理化》高考理化2025年1月刊

■河南省光山县第二高级中学 陈金山 胡劲松 介质的质点做简谐运动,形成简谐波。 简谐波是高中阶段重点研究的波,为了直观 形象地描述质点的振动情况和波的传播情 况,通常采用振动方程y=Asin 2πt T +φ0 或 y-t图像描述某一质点在任意时刻的位移,采 用y-x 图像描述某一时刻各质点的具体位 置。因此,遇到简谐波问题时,既可以结合质 点的振动方程利用质点振动法求解,也可以 结合波的图像利用波形平移法求解。 一、质点振动法介绍 简谐波的传播特征是前面的质点依次带 动后面的质点以各不相同的平衡位置做简谐 运动,后面的质点比相邻的前一质点的振动 总落后一定的相位。因此,根据相位关系可 以列出表达沿波传播方向上各质点振动情况 的方程。利用质点的振动方程可以方便地研 究各质点的振动情况。 质点振动是简谐波传播的实质,采用质点 振动法求解简谐波问题的一般步骤:(1)选定 某一质点为研究对象,确认该质点在两个不同 时刻的位置;(2)根据波的传播方向,确定在这 两个时刻之间的时间内,质点的振动情况,判 断该时间间隔与周期的关系式Δt= C BT+nT n=0,1,2,…; C B 是真分数,如1 4 、1 2 、3 4 、… 中 的 C B 和n;(3)结合周期的限定条件,求出简 谐波的周期;(4)利用质点的振动方程或简谐 运动规律求出圆频率、波速等物理量。 二、波形平移法介绍 简谐波在传播过程中,传播的振动形式 具有周期性,使得波的图像沿波的传播方向 逐渐平移,利用这一特点可以采用波形平移 法研究各质点的振动情况。 波形平移是简谐波传播的现象,采用波 形平移法求解简谐波问题的一般步骤:(1)明 确先后两时刻对应的波的图像及波的传播方 向;(2)将较早时刻波的图像沿波的传播方向 平移,使其与较晚时刻波的图像重合,找出对 应的至少位移,并转化为C Bλ C B 是真分数,如 1 4 、1 2 、3 4 、… 的形式;(3)考虑振动形式的周 期性,平移Δx= C Bλ+nλ (n=0,1,2,…)对应 时间间隔 Δt= C BT+nT (n=0,1,2,…); (4)结合周期的限定条件,求出简谐波的周 期;(5)利用简谐运动规律求出波长、波速等 物理量。 三、两种方法的具体应用 图1 例 1 一列向右传 播的横波在t=0时刻的 波形 如 图 1所 示,已 知 A、B 两质点间的距离为 8 m,B、C 两质点平衡位 置间的距离为3 m,t= 1 s时刻质点C 恰好通过平衡位置,则该波 的波速可能为( )。 A.9 m/s B.10 m/s C.11 m/s D.12 m/s 解析:根据t=0时刻的波形图可知,A、 B 两质点间的距离等于波长,即λ=8 m。 方法一:质点振动法。 设 质 点 C 的 振 动 方 程 为 yC = Asin2πTt+φ0 ,因为B、C 两质点平衡位置 间的距离为3 m,所以 3 8×2π= 3π 4 ,又因为 t=0时刻质点C 的振动方向向上,所以yC= Asin2πTt+ 3π 4 ,将t=1 s时刻质点C 恰好 通过平衡位置代入质点C 的振动方程,解得 T1= 8 8n+1 s(n=0,1,2,…)或T2= 8 8n+5 s (n=0,1,2,…),根据波长、周期与波速的关 12 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2025年1月 系得v= λ T ,解得v1=(8n+1)m/s(n=0,1, 2,…)或v2=(8n+5)m/s(n=0,1,2,…)。 因此,只有当v1=9 m/s(n=1)时满足题意。 方法二:波形平移法。 “t=1 s时刻质点C 恰好通过平衡位置” 可以理解为质点C 左边平衡位置的振动形式 经过t=1 s传到质点C 所在位置,即将t=0 时刻的波形沿波的传播方向平移一段距离,使 得质点C左边平衡位置移动至质点C 的平衡 位置。根据简谐波传播的周期性得 Δx1= (8n+1)m(n=0,1,2,…)或Δx2=(8n+5)m (n=0,1,2,…),根据位移、时间与波速的关 系得v= x t ,解得v1=(8n+1)m/s(n=0,1, 2,…)或v2=(8n+5)m/s(n=0,1,2,…)。 因此,只有当v1=9 m/s(n=1)时满足题意。 答案:A 点评:本题给出了t=0时刻的波形图和 质点A、B、C 三者平衡位置之间的关系,既 可以采用质点振动法求解,也可以采用波形 平移法求解。 例 2 一列简谐横波在t=0.6 s时刻 的波形如图2甲所示。该时刻P、Q 两质点 的位移均为-1 cm,平衡位置为15 m处的质 点A 的振动图像如图2乙所示。求: 图2 (1)该波的波速。 (2)从t=0.6 s时刻开始,质点P、Q 第 一次回到平衡位置的时间间隔Δt。 (3)质点P、Q 的振动方程。 解析:(1)根据t=0.6 s时刻的波形图和 质点A 的振动图像可知,波长λ=20 m,周期 T=1.2 s。根据波长、周期与波速的关系得 v= λ T ,解得v= 50 3 m/s。根据“上下坡”法可 知,波的传播方向沿x 轴负方向。 (2)因为t=0.6 s时刻质点P、Q 的纵坐 标为-1 m,即 -12 =sin 30°,所以质点P、 Q 的平衡位置间的距离Δx= 180°-2×30° 360° λ = 20 3 m,质点Q 的振动形式传到质点P 所在 位置需要的时间Δt= Δx v =0.4 s。 (3)根据质点 A 的振动图像可知,质点 A 的振动方程为yA=2sin 5π 3t cm。因为t= 0.6 s时刻质点P、Q 的纵坐标为-1 m,即 -1 2 =sin 30°,所以质点A 的振动形式传到质 点P 所在位置需要的时间tAP= 180°-30° 360° T= 5 12T ,质点P 所在位置的振动方程可以由质点 A 的 振 动 方 程 向 左 平 移 得 到,即 yP = 2sin5π3t+ 5 12×2π cm=2sin5π3t+5π6 cm, 同 理,质 点 Q 的 振 动 方 程 为 yQ = 2sin5π3t+ π 6 cm。 点评:本题给出了t=0.6 s时刻的波形 图和质点A 的振动图像,综合应用质点振动 法和波形平移法,方便快捷。 一列沿x 轴方向传播的简谐横波某时刻 图3 的波形如图3所示, 该时刻 P、Q 两质点 的位移均为5 cm,且 P、Q 两质点的平衡位 置相 距4 m,此 后 质 点P 回到平衡位置所 用的最短时间为0.1 s,质点Q 回到平衡位置 所用的最短时间为0.5 s。求: (1)质点P 的振动周期。 (2)该简谐波的波长。 (3)该简谐波的传播速度。 参考答案:(1)T=1.2 s;(2)λ=12 m; (3)v=10 m/s,方向沿x 轴正方向。 (责任编辑 张 巧) 22 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2025年1月