04 聚焦用单摆测量重力加速度”实验-《中学生数理化》高考理化2025年1月刊

■山东省滨州市阳信县第二高级中学 田长杰 将一可视为质点的重物用轻绳悬挂起 来,使重物在竖直平面内以小于5°的摆角做 简谐运动,这样的装置叫单摆。利用单摆测 量当地的重力加速度是力学中的一个重要实 验,也是高考的常考实验之一。同学们在复 习备考时需要从理解实验原理、掌握实验方 法、熟悉实验操作、注意实验细节等方面着 手,全面准确地把握以这个实验为背景问题 的求解方法与技巧。 一、实验原理解读 当单摆的摆角较小(小于5°)时,单摆做 简谐运动的周期 T=2π l g ,变形得g= 4π2l T2 ,因此,只要通过实验测出摆长l和周期 T,就可以求出当地重力加速度g 的值。求 解考查用单摆测量重力加速度的实验原理的 问题时,只要牢记单摆做简谐运动的周期公 式,就能够以不变应万变。 例 1 在“用单摆测量重力加速度”的 实验中: 图1 (1)利用如图1所示的方 法测量摆长,若测出单摆的周 期T、摆线长l、摆球直径d, 则当地的重力加速度g= (用测出的物理量表示)。 (2)某同学用一个吊坠代 替小球做实验。只改变摆线的 长度,测量出当摆线长度分别 为l1 和l2 时单摆的周期为T1 和 T2,则当地的重力加速度 g= (用测出的物理量表示)。 解析:(1)根据题图可知,摆球的大小不 可忽略,即摆长等于摆线长与摆球半径之和。 根据单摆的周期公式 T=2π l+ d 2 g ,解得 g= 2π2(2l+d) T2 。 (2)用吊坠代替小球做实验时,设摆线下 端到吊坠重心的距离为x,根据单摆的周期 公式得T1=2π l1+x g ,T2=2π l2+x g ,解 得g= 4π2(l2-l1) T22-T21 。 答案:(1) 2π2(2l+d) T2 (2) 4π2(l2-l1) T22-T21 二、实验细节把控 做用单摆测量重力加速度的实验时,必 须注意以下四个细节:选取长度较大(比小球 的直径大得多)、质量很小(比小球的质量小 得多)的细线;选取密度较大、质量较大(相对 于细线而言)的金属小球;让小球在同一竖直 平面内做摆角小于5°的振动;当小球经过最 低点时开始计时。 例 2 如图2所示,将细绳的一端固 定在铁架台上,另外一端系一个小球,做成一 个单摆。利用该实验装置可以测量当地的重 力加速度。 图2 (1)下列关于用该实验装置测量当地重 力加速度的做法中正确的有 。 A.所用细绳应选择尽量细些、伸缩性小 些的 B.所用小球应选择质量尽量大些、体积 尽量小些的 C.为了方便测量,应在拉开小球时,使得 细绳偏离平衡位置足够大的角度,使得测出 81 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2025年1月 的单摆周期尽量大一些 D.拉开小球,使得细绳偏离平衡位置不 大于5°,在释放小球的同时开始计时,在小球 回到释放位置时停止计时,记下的时间间隔 Δt即为单摆的周期T E.拉开小球,使得细绳偏离平衡位置不 大于5°,释放小球,待小球的摆动稳定后,从小 球经过平衡位置开始计时,记下小球做50次 全振动所用的时间Δt,则单摆的周期T= Δt 50 (2)若测得的重力加速度g 值偏小,则 可能的原因是 。 A.把从悬点到小球下端的长度记为摆长 B.把细绳的长度记为摆长 C.细绳与铁架台的拴接不够牢固,使得 悬点在振动过程中松动 D.实验中误将小球做49次全振动记成 了50次 (3)某同学选用质量分布不均匀的铅坠 制作单摆测量当地的重力加速度,已知铅坠 的重心不在其几何中心,但在其几何中心与 悬点的连线上。该同学仍将从悬点到其几何 中心的距离视为摆长l,通过改变摆长,测出 6组摆长l和对应的周期T 的数据,适当处 图3 理实验数据后,作出的T2- l图像如图3所示,并在 T2-l图像上选取相距较远 的A(l1,T21)、B(l2,T22)两 点,计算出当地的重力加 速度g= 。 解析:(1)选项C中摆 角太大,选项D中计时起点不对。 (2)把从悬点到小球下端的长度记为摆 长,则l偏大,根据g= 4π2l T2 可知,测得的g 值偏大,因此选项A不符合题意。把细绳的 长度记为摆长,则l偏小,根据g= 4π2l T2 可知, 测得的g 值偏小,因此选项B符合题意。细 绳与铁架台的拴接不够牢固,使得悬点在振 动过程中松动,将导致实际摆长变大,计算所 用摆长偏小,根据g= 4π2l T2 可知,测得的g 值 偏小,因此选项C符合题意。实验中误将小 球做49次全振动记成了50次,则T 偏小,根 据g= 4π2l T2 可知,测得的g 值偏大,因此选项 D不符合题意。 (3)观察T2-l图像可知,铅坠的重心在 其几何中心以上x 处,则T=2π l-x g ,即 T2= 4π2l g - 4π2x g ,结合T2-l图像得k= 4π2 g = T22-T21 l2-l1 ,解得g= 4π2(l2-l1) T22-T21 。 答案:(1)ABE (2)BC (3) 4π2(l2-l1) T22-T21 三、实验装置创新 一般情况下,选用一个密度大、体积小的 金属小球,一根不可伸长、约1 m的细绳,让 细绳穿过金属小球的小孔做成单摆。然而, 有时我们也会遇到一些极具创意的实验装 置,此时我们就需要先通过类比迁移合理建 构物理模型,将陌生的实际问题转化成熟悉 的单摆模型,再采用单摆模型遵循的物理规 律,完成相关问题的分析与求解。 例 3 某物理兴趣小组在做“用单摆测 量重力加速度”的实验时,为了提高测量的准 图4 确性,选择采用如图4所示的实验 装置。用一根轻绳将一个磁性小球 悬挂在O 点,做成单摆,在单摆下 方放置一个磁传感器,用来测量周 期,其轴线恰好位于单摆悬点O 正 下方。 (1)磁传感器的引出端A 应接 到 ;使磁性小球在竖直平面内做小角度 摆动,当磁感应强度测量值最大时,磁性小球 位于 ;若测得连续 N 个磁感应强度最大 值之间的时间间隔为t,则单摆周期的测量值 为 (忽略地磁场和磁传感器的影响)。 (2)多次改变摆长使磁性小球在竖直平 面内做小角度摆动,测量并记录摆长l及相 应的周期T,分别取l和T 的对数,所得到的 lg T-lg l图像应为 (选填“直线”“对数曲 线”或“指数曲线”);读出lg T-lg l图像的纵 轴截距为c,据此计算出当地的重力加速度 91 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2025年1月 g= 。 解析:(1)磁传感器的引出端 A 应接到 数据采集器上。当磁感应强度测量值最大 时,磁性小球位于最低点(平衡位置);测得连 续N 个磁感应强度最大值之间应有 N-1 个时间间隔,每一个时间间隔等于半个周期, 即 N-1 2 T=t ,因此单摆的周期T= 2t N-1 。 (2)根据单摆的周期公式T=2π l g ,两 边取对数得lg T= 1 2lg l+lg 2π- 1 2lg g,因 此lg T-lg l图像应为一条直线;在lg T-lg l 图像与纵轴交点处,有lg l=0,lg T=lg 2π - 1 2lg g=c,解得g= 4π2 102c 。 答案:(1)数据采集器 最低点 2t N-1 (2)直线 4π2 102c 某物理兴趣小组采用如图5所示的实验 装置测量当地的重力加速度。 图5 (1)下列对测量原理的理解中正确的是 。 A.根据g= 4π2l T2 可知,T 一定时,g 与l 成正比 B.根据g= 4π2l T2 可知,l一定时,g 与T2 成反比 C.单摆的周期 T 和摆长l可用实验测 定,根据g= 4π2l T2 可算出当地的重力加速度 (2)该物理兴趣小组中的三位同学单独 完成实验,利用记录的实验数据作出的T2-l 图6 图像如图6中的直线a、b、c 所示,已知直线a与b平行, 直线b和c都经过坐标原点 O,直线b 对应的g 值最接 近当地重力加速度的真实 值,则下列判断中正确的是 。 A.作出直线a 的原因可能是误将从悬 点到小球上端的距离记为了摆长l B.作出直线c的原因可能是误将小球做 49次全振动记为了50次 C.直线c对应的g 值小于直线b对应的 g 值 D.直线a 对应的g 值等于直线b 对应 的g 值 (3)表1是其中一位同学记录的实验数 据,并做了部分处理。 表1 组次 1 2 3 4 5 6 摆长l/cm 50.0060.0080.0090.00100.00120.00 50次全振动 时间t/s 74.0 77.5 89.5 94.8 100.0 109.5 周期T/s 1.48 1.55 1.79 2.00 2.19 周期的平方 T2/s2 2.19 2.40 3.20 4.00 4.80 请计算第4组实验数据中的T2= s2。 (4)将表1中的数据输入计算机,得到如 图7所示的l-T2 图像,图像经过坐标原点, 斜率k=0.25 m/s2。据此求得当地的重力 加速度g= m/s2。(取π2=9.87,结果 保留3位有效数字) 图7 参考答案:(1)C (2)ABD (3)3.61 (4)9.87 (责任编辑 张 巧) 02 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2025年1月