01 正确辨识物理量的正负号-《中学生数理化》高考理化2025年1月刊

■江苏省南京市金陵中学河西分校 刘小兵 张旖旎 物理量的正负号问题比较复杂,同学们 在学习中容易出现各种各样的错误。常见的 错误认识包括:(1)将物理量的正负号简单理 解为数学中的正负号,如认为“速度-3 m/s 小于速度1 m/s”;(2)不理解物理量正负号 的含义,如认为“正功方向和负功方向相反”; (3)因不理解物理概念的内涵而误用正负号, 如认为“正电荷的电势能一定为正,负电荷的 电势能一定为负”;(4)随意赋予某物理量或 某物理过程的正负号,如认为“正电荷周围是 正电场,负电荷周围是负电场”“匀加速为正, 匀减速为负”。下面就让我们一起来辨识这 些物理量的正负号问题吧! 一、矢量的正负号 矢量的正负号表示方向。力(F)、位移 (x)、速度(v)、加速度(a)、动量(p)、冲量 (I)、电场强度(E)、磁感应强度(B)等均为矢 量。矢量的合成与分解遵循平行四边形法 则;在高中物理中涉及的往往是两个矢量的 夹角为0°和180°的特殊情况,因此矢量的正 负号表示该矢量的方向与所选取的正方向相 同或相反,即正负号表示该矢量的方向;比较 两矢量的大小应比较其绝对值,比如,-3 N 大于1 N。 注意:一维矢量运算的过程和结果能够 同时体现出矢量的大小和方向。 例 1 将一物体以初速度v0=10 m/s 竖直向上抛出,不计空气阻力,取重力加速度 g=10 m/s2,求物体在抛出后2 s末的速度。 解析:取竖直向上为正方向,则v=v0+ (-g)t=10 m/s-10×2 m/s=-10 m/s, 表示此时物体的速度大小为10 m/s,方向竖 直向下。 例 2 玩具水枪是儿童们在夏天非常 喜爱的玩具之一,但玩具水枪伤眼的事件也 时有发生,因此,限制玩具水枪的威力就成了 生产厂家必须关注的问题。现有一玩具水枪 样品,枪口直径为d,水的密度为ρ,从枪口喷 出水柱的水平出射速度为v,水柱垂直击中 竖直目标后以大小为0.2v的速度反向溅回, 则水柱 水 平 击 中 目 标 的 平 均 冲 击 力 大 小 为( )。 A.1.2πd2ρv2 B.0.3πd2ρv2 C.1.2πd2ρv D.0.3πd2ρv 解析:设时间t内水枪喷出的水柱长度 为l,则l=vt,时间t内冲击目标的水的质量 m=ρV=ρSl= 1 4πd 2ρvt。设目标对水柱的 平均冲击力大小为F,取水柱击中目标溅回 时的速度方向为正方向,根据动量定理得 Ft=0.2mv-(-mv),解得F=0.3πd2ρv2。 根据牛顿第三定律可知,水柱水平击中目标 的平均冲击力大小F'=F=0.3πd2ρv2。 答案:B 二、标量的正负号 1.恒正的标量:一些物理量不能冠以负 号。如密度ρ、质量m、时间t、体积V、长度l 等物理量若在解题中出现了负号,则可以果 断地将其判定为增解,舍弃。 例 3 在足够长的光滑固定斜面上,有 一物体以10 m/s的初速度沿斜面向上运动, 物体的加速度大小恒为5 m/s2、方向沿斜面 向下。当物体的位移大小为7.5 m时,下列 说法中正确的是( )。 3 知识篇 知识结构与拓展 高考理化 2025年1月 A.物体的运动时间一定为1 s B.物体的运动时间一定为3 s C.物体的运动时间可能为(2+ 7)s D.此时物体的速度大小一定为5 m/s 解析:取沿斜面向上为正方向,则v0= 10 m/s,a=-5 m/s2。当物体的位移为沿斜 面向上7.5 m时,x=7.5 m,根据匀变速直 线运动的位移公式x=v0t+ 1 2at 2,解得t1= 3 s或t2=1 s,因此物体的运动时间可能为 1 s,也可能为3 s,选项A、B错误。当物体的 位移为沿斜面向下7.5 m时,x=-7.5 m, 同理解得t3=(2+ 7)s或t4=(2- 7)s(负 值,舍去),选项C正确。根据匀变速直线运 动的 速 度 公 式 v=v0 +at,解 得 v1 = -5 m/s,v2=5 m/s,v3=-57 m/s,选项 D错误。 答案:C 2.表示物理量的大小:重力势能、电势、 电势能、分子势能有正负,其正负号的确定与 选定的零点有关,正负号的意义与数学中的 正负号相同。如-3 J的重力势能小于1 J的 重力势能;-3 V 的电势小于1 V 的电势。 另外,温度的正负号也表示大小,即-3 ℃小 于1 ℃。 注意:热力学温度T 没有负值。 例 4 如图1中虚线所示为静电场中 的等势面1、2、3、4,相邻的两等势面之间的 电势差相等,假设等势面3的电势为0。一带 正电的点电荷仅在静电力的作用下运动,经 过a、b 点时的动能分别为26 eV 和5 eV。 当这一点电荷运动到电场中某一位置时,其 图1 电势能变为-8 eV,则它 的动能应为( )。 A.8 eV B.13 eV C.20 eV D.34 eV 解析:等势面3的电势 为0,根据Ep=qφ可知,点 电荷到达等势面3时的电势能也为0。因为 相邻两等势面之间的电势差相等,且 Eka> Ekb,所以点电荷经过a点时的电势能可表示 为-2qU(U 为相邻两等势面之间的电势 差),经过b点时的电势能可表示为qU。根 据能量守恒定律得 Eka+(-2qU)=Ekb+ qU,即26 eV-2qU=5 eV+qU,解得qU= 7 eV。因此点电荷的总能量为7 eV+5 eV= 12 eV,当点电荷的电势能为-8 eV时,其动 能Ek=12 eV-(-8 eV)=20 eV。 答案:C 3.表示两种相反的流向:电流I、磁通量 Φ 均为标量,但有两种相反的流向。电流I 的正负号表示电流的方向,正值表示电流方 向与规定正方向相同,负值表示电流方向与 规定正方向相反。在正弦式交变电流i= Imaxsin ωt中存在正半周期和负半周期,正半 周期电流的流向与负半周期电流的流向相 反。磁通量Φ 的正负号表示磁感线穿过平 面的两种方向,假设穿入为正,则穿出为负。 说明:表示流向的正负号是相对的,当所 选定的正方向改变时,物理量中表示方向的 正负号也将随之改变。 例 5 关于交变电流的周期和频率,下 列说法中正确的是( )。 A.正弦式交变电流最大值连续出现两 次的时间间隔等于一个周期 B.1 s内正弦式交变电流出现最大值的 次数等于频率 C.交变电流方向变化的频率为交变电流 频率的2倍 D.频率为50 Hz的交变电流,其周期等 于0.05 s 解析:如图2所示,在一个周期内,正弦 式交变电流会出现正向和负向的最大值各一 次,连续出现两个最大值的时间间隔为半个 周期,1 s内正弦式交变电流出现最大值的次 数等于其频率的2倍,选项 A、B错误;在一 个周期内,交变电流的方向改变两次,即交变 电流方向变化的频率为其频率的2倍,选项 C正确;频率为50 Hz的交变电流,其周期 T= 1 f = 1 50 s=0.02 s,选项D错误。 4 知识篇 知识结构与拓展 高考理化 2025年1月 图2 答案:C 例 6 匀强磁场垂直穿过矩形线圈 abcd,线圈面积为S,磁感应强度为B,将线 圈反转180°,磁通量变化了多少? 解析:设初始状态下的磁通量为正,则 Φ1=BS,Φ2=-BS,磁通量的变化量ΔΦ= Φ2-Φ1=-2BS,即磁通量变化量的大小为 2BS,负号表示磁通量变化量的流向与选取 的正流向相反。 4.表示不同的性质:在研究物理问题时, 常常会遇到某些物理量具有两种完全相反的 性质,故在这些物理量前面加正、负号予以区 分。比如,在功W 的前面加正负号是为了区 分是动力对物体做功还是阻力对物体做功, 在热量Q 的前面加正负号是为了区分物体 是吸热还是放热,在电荷q 的前面加正负号 是为了区分电荷的两种电性。 注意:在利用热力学第一定律ΔU=W+ Q 进行运算时,要严格按照“符号法则”,即外 界对气体做功,W 取正值,气体对外界做功, W 取负值;气体吸热,Q 取正值,气体放热,Q 取负值;内能增加,ΔU 取正值,内能减少,ΔU 取负值。 例 7 在两个分子从相距无穷远处逐 渐靠近到不能再靠近的过程中,若选定两个 分子间距离为无穷远时的分子势能为0,试 定性地把两个分子的分子力F、分子势能Ep 与分子间距离r的关系图像画在如图3所示 的坐标系中。 图3 解析:两个分子的分子力 F、分子势能 Ep 与分子间距离r的关系图像如图4所示。 这是一个神奇的图像,纵坐标分别表示分子 力F、分子势能 Ep,都有正负号,但含义不 同。分子力F 的正负号分别表示引力和斥 力,分子势能 Ep 的正负号表示其大小,当 r=r0 时,分子力F 和分子势能Ep 都取最小 值(分子力为0)。 图4 例 8 一定质量的气体在某一状态变 化过程中,外界对气体做了8×104 J的功,气 体的内能减少了1.2×105 J,则下列各组数 据正确的是( )。 A.W=8×104 J,ΔU=1.2×105 J,Q= 4×104 J B.W=8×104 J,ΔU=-1.2×105 J, Q=-2×105 J C.W=-8×104 J,ΔU=1.2×105 J, Q=2×104 J D.W=-8×104 J,ΔU=-1.2×105 J, Q=-4×104 J 解析:因为外界对气体做功,所以 W 取 正值,即W=8×104 J;因为气体的内能减少, 所以ΔU 取负值,即ΔU=-1.2×105 J;根据 热力学第一定律ΔU=W+Q 得Q=ΔU- W=-1.2×105 J-8×104 J=-2×105 J。 答案:B 5.表示变化情况:物理量的变化量一般 用其在变化过程中的末态值减去初态值表 示,为过程量。对于矢量而言,其变化量的正 负号表示方向(与选定的正方向相同或相 反);对于标量而言,其变化量的正负号表示 增减情况,正值表示增加,负值表示减少。比 如,动能的变化量ΔEk、重力势能(电势能、分 子势 能)的 变 化 量 ΔEp、机 械 能 的 变 化 量 ΔE机,这些物理量的正负号都表示增减情况, 5 知识篇 知识结构与拓展 高考理化 2025年1月 比较它们的大小时要比较其绝对值。 例 9 一个质量为 m 的带电小球,在 竖直方向的匀强电场中水平抛出,不计空气 阻力,测得小球的加速度大小为g 3 ,方向竖直 向下,其中g 为重力加速度。在小球下落h 高度的过程中,下列说法正确的是( )。 A.小球的动能增加量为 2 3mgh B.小球的电势能减少量为 2 3mgh C.小球的重力势能减少量为 1 3mgh D.小球的机械能减少量为 2 3mgh 解析:根据牛顿第二定律可知,小球所受 的合力F合=ma=m g3 ,方向竖直向下。根 据动能定理可知,小球的动能增加量ΔEk= F合h= 1 3mgh ,选项A错误。设小球所受静 电力为 F,根据牛顿第二定律得 mg-F= ma,解得F= 2 3mg ,且方向竖直向上,则静 电力做功 W 电=-Fh=- 2 3mgh ,故小球的 电势能增加量为 2 3mgh ,选项B错误。小球 在竖直方向上下降h 高度的过程中,重力做 正功 mgh,因此小球的重力势能减少量为 mgh,选项C错误。小球的电势能增加量为 2 3mgh ,根据能量守恒定律可知,小球的机械 能减少量为 2 3mgh ,选项D正确。 答案:D 6.表示变化范围:在高中物理实验中,一 些测量仪器刻度盘上标有“+”“-”,如J0408 型电压表,某量程的刻度为“-5~+15”,它 表示用 该 量 程 可 测 量 的 最 大 正 向 电 压 为 15 V,最大反向电压为5 V,有时可以写成 -5 V≤U≤+15 V(严格来说,这里的正负 号不能表示大小);又如某物体长度的测量结 果写成100±0.5 mm,说明该物体的实际长 度在99.5 mm~100.5 mm 之间。这里的 “+”“-”表示的是变化范围。 三、公式中的正负号 1.恒正标量的公式:由恒正标量构成的公 式,如频率f= 1 T 、电容C= εrS 4πkd 、电阻R= ρ l S 、感抗RL=2πfL、容抗RC= 1 2πfC 、折射率 n= sin i sin r 、单摆周期公式T=2π l g ,理想气体 状态方程 p1V1 T1 = p2V2 T2 等,因为这些公式都是 由恒正标量构成的,所以代入数据进行运算 时,就不需要考虑负值的问题。 注意:有的公式虽然不是由恒正的标量 构成的,甚至有的公式内还含有矢量,但是在 使用这些公式进行运算时,均需要代入绝对 值进行计算。如电容 C= Q U 、焦耳热 Q= I2Rt、感应电动势 E=n ΔΦ Δt 、电 荷 量q= n ΔΦ R总 、正弦式交流发电机的最大感应电动势 Emax=nBSω、德布罗意波(物质波)的波长 λ= h p 、波速v= λ T ,这些公式也不需要考虑 负值的问题。 2.无法表示矢量方向的公式:有的公式 不能体现出各物理量的方向关系,而仅仅能 体现出各物理量的大小联系,代入数据进行 运算时必须采用绝对值。如滑动摩擦力f= μN、胡克定律F=kx、重力G=mg、线速度 v= s t 、库仑定律F=k q1q2 r2 、场强的定义式 E= F q 、点电荷产生场强的决定式E=k Q r2 、 匀强电场的场强公式E= U d ,磁感应强度的 定义式B= F IL ,通电直导线产生的磁场的磁 感应强度表达式B=k I r 等。 3.矢量公式:不少矢量公式同时体现出 各矢量的大小和方向的关系,在一维运算中 应根据所选定的正方向来确定各物理量的正 负号。如匀变速直线运动的速度公式v= 6 知识篇 知识结构与拓展 高考理化 2025年1月 v0+at、位移公式x=v0t+ 1 2at 2、速度与位 移的关系式v2-v20=2ax,牛顿第二定律的 表达式 F合 =ma,动量定理的表达式I合 = Δp,动量守恒定律的表达式 m1v1+m2v2= m1v1'+m2v2',简谐运动中回复力的表达式 F=-kx 等。 4.虽为标量公式,但有正负:在利用动能 定理W 合=ΔEk 进行运算时,要注意功W 和 动能变化量ΔEk 的正负号。在利用机械能 守恒定律W 重=-ΔEp、W 其他=ΔE机械 进行运 算时,虽然功的正负号与物理量变化量正负 号的含义不同,但需要和谐统一于同一公式 中。在电场中,WAB =qUAB、φ= Ep q 、UAB = φA-φB、φ=k Q r ,这些公式都需要带正负号 进行计算。 说明:UAB 的正负号不表示大小,而是表 示A、B 两点的电势高低,即若UAB>0,则 φA>φB;若UAB<0,则φA<φB。正弦式交流 发电机的电动势e=nBSωsin ωt的正负号不 表示大小,其中正弦函数值的正负号的含义 也与数学中的正负号迥然不同。 综上所述,正负号在数学中表示大于零 和小于零,而在物理中被赋予了非常丰富的 物理意义。它可以用来表示矢量的方向,也 可以用来表示标量的大小,还可以用来表示 标量的不同流向、不同性质、变化情况,以及 变化范围等。同学们辨识物理量的正负号贵 在正确理解,厘清物理内涵,形成大概念,领 会物理真谛,使所学知识结构化和系统化。 1.以下物理量的正负号,既不表示大小 也不表示方向的是( )。 A.磁通量 B.速度 C.冲量 D.电势能 2.高中物理中的很多矢量和标量前面都 有正负号,其表示的意义各不相同,很容易混 淆。你认为下面说法中正确的是( )。 A.“5 m/s2”的加速度大于“-7 m/s2”的 加速度 B.“5 J”的功大于“-7 J”的功 C.“5 V”的电势大于“-7 V”的电势 D.“5 Wb”的磁通量大于“-7 Wb”的磁 通量 3.物理量的正负号表示特定的物理意 义,下列关于物理量的正负号含义的说法中 正确的是( )。 A.相对于同一零势能点,-7 J的电势 能比3 J的电势能小 B.磁通量有正负之分,磁通量是矢量 C.力是矢量,-3 N比-5 N大 D.功是标量,力F1 对物体做正功,力F2 对物体做负功,则力 F1 做的功一定大于力 F2 做的功 4.某同学总结了几个物理量正负号的含 义,如表1所示,下列选项中关于①②两空填 写的内容全部正确的是( )。 表1 物理量 正负号的含义 功 ① 重力势能 大小 电荷量 带电性质 电势 ② A.大小、大小 B.方向、方向 C.做功的力是动力还是阻力、方向 D.做功的力是动力还是阻力、大小 5.一物体在外力作用下沿竖直方向运 动,规定竖直向上为正方向,已知t1 时刻物 体的速度v1=1 m/s,加速度a1=-3 m/s2, t2 时刻物体的速度v2=-2 m/s,加速度 a2=1 m/s2,从t1 时刻到t2 时刻,物体的高 度由h1=-3 m变为h2=1 m,则下列判断 正确的是( )。 A.v1>v2,a1>a2,h1>h2 B.v1>v2,a1<a2,h1<h2 C.v1<v2,a1>a2,h1<h2 D.v1<v2,a1<a2,h1>h2 参考答案:1.A 2.C 3.A 4.D 5.C (责任编辑 张 巧) 7 知识篇 知识结构与拓展 高考理化 2025年1月