12 多视角剖折圆锥曲线创新题-《中学生数理化》高二数学2025年1月刊

多视角剖析圆锥曲线创新题 ■山东省枣庄市第二中学 王中华(正高级教师) 圆锥曲线的创新题中新定义、新概念问 题比较多,新情景相对较少。在对新概念的 理解和迁移中,同学们需要透过表面现象看 到圆锥曲线的本质,让自己的思维更深刻更 广阔,同时掌握设而不求、转化与化归等数学 思想。下面精选几道圆锥曲线的创新题,从 命题背景和考查方向等视角分类赏析,旨在 探索题型规律,研究解题方法,提升同学们的 解题能力。 一、以新概念为背景考查定值、范围等问题 例 1 我们约定,若一个椭圆的长轴和 短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴,则 称它们互为“姊妹”圆锥曲线。已知椭圆C1: x2 4+ y2 b2 =1(0<b<2),双曲线C2 是椭圆C1 的“姊妹”圆锥曲线,e1,e2 分别为椭圆C1,双 曲线C2 的离心率,且e1e2= 15 4 ,点 M、N 分别为椭圆C1 的左、右顶点,设过点G(4,0) 的动直线l交双曲线C2 的右支于 A,B 两 点,设直线AM,BN 的斜率分别为kAM,kBN。 (1)求双曲线C2 的方程。 (2)试探究 kAM kBN 是否为定值,若是定值,求 出这个定值;若不是定值,请说明理由。 (3)求w=k2AM+ 2 3kBN 的取值范围。 分析:(1)根据题意,直接列式计算可得 答案;(2)直线与双曲线联立,利用韦达定理 进行消参,进而证明其比值为定值;(3)根据 题意,利用韦达定理得出kAM 的取值范围,然 后根据kBN=-3kAM,可得 w=k2AM-2kAM, 进而可得取值范围。 解:(1)由题意可设双曲线C2: x2 4- y2 b2 =1,则 e1e2= 4-b2 2 × 4+b2 2 = 15 4 ,解得b2=1。 所以双曲线C2 的方程为 x2 4-y 2=1。 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为x=ty+4。 思路1:联立 x=ty+4, x2 4-y 2=1, 消去 x 可得 (t2-4)y2+8ty+12=0。 则t≠ ±2,Δ=16t2+192>0,并 且 y1+y2=- 8t t2-4 , y1y2= 12 t2-4 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 kAM kBN = y1 x1+2 y2 x2-2 = y1 x1+2 × x2-2 y2 = y1(ty2+2) y2(ty1+6) = ty1y2+2y1 ty1y2+6y2 = ty1y2+2(y1+y2)-2y2 ty1y2+6y2 = 12t t2-4 - 16t t2-4 -2y2 12t t2-4 +6y2 = - 4t t2-4 -2y2 12t t2-4 +6y2 =- 1 3 。 思路2:联立直线与双曲线的方程,由韦 达定理得 y1+y2 y1y2 =- 2t 3 ,即ty1y2=- 3 2 (y1+ y2)。 故 kAM kBN = y1 x1+2 y2 x2-2 = y1 x1+2 × x2-2 y2 = y1(ty2+2) y2(ty1+6) = ty1y2+2y1 ty1y2+6y2 = - 3 2 (y1+y2)+2y1 - 3 2 (y1+y2)+6y2 = y1-3y2 -3y1+9y2 =- 1 3 。 因此,kAM kBN 为定值- 1 3 。 (3)设直线AM:y=k(x+2)(k≠0),代 入双曲线的 方 程 并 整 理 得(1-4k2)x2- 16k2x-16k2-4=0,其中1-4k2≠0。 因为点 M 为双曲线的左顶点,所以此方 程有一个根为-2。 83 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2025年1月 由韦达定理得-2xA= -16k2-4 1-4k2 ,解得 xA= 2(4k2+1) 1-4k2 。 因为点A 在双曲线的右支上,所以xA= 2(4k2+1) 1-4k2 >0,解得k∈ - 1 2 ,0 ∪ 0,12 , 即kAM∈ - 1 2 ,0 ∪ 0,12 。 同理得,kBN∈ -∞,- 1 2 ∪ 12,+∞ 。 由(2)中 结 论 可 知 kBN = -3kAM ∈ -∞,- 1 2 ∪ 12,+∞ ,解 得 kAM ∈ -∞,- 1 6 ∪ 16,+∞ 。 所以kAM∈ - 1 2 ,- 1 6 ∪ 16,12 。 故w=k2AM+ 2 3kBN=k 2 AM+ 2 3 (-3kAM) =k2AM-2kAM。 设h(x)=x2-2x,其图像的对称轴为 x=1。 则h(x)=x2 -2x 在 - 1 2 ,- 1 6 , 1 6 ,1 2 上分别单调递减。 故h(x)∈ - 3 4 ,- 11 36 ∪ 1336,54 。 因此,w=k2AM + 2 3kBN 的取值范围为 - 3 4 ,- 11 36 ∪ 1336,54 。 点评:解答本题的关键是理解题目定义, 求出双曲线方程,先根据定点位置合理设出直 线的方程,再联立直线与双曲线的方程得到根 与系数的关系,然后利用斜率公式代入消元, 即可判断斜率的比值是否为定值,注意非对称 韦达式的使用技巧。第三问,由第二问容易得 到函数的关系式,难点是准确找到斜率kAM 的 取值范围,从而得到w 的取值范围。 二、定义新运算考查离心率、曲线类型等 问题 例 2 (2024年广东汕头市二模)(多 选)用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥, 当圆锥的轴与截面所成的角不同时,可以得 到不同的截口曲线,即圆锥曲线。探究发现: 当圆锥轴截面的顶角为2α时,若截面与轴所 成的角为β,则截口曲线的离心率e= cos β cos α 。 例如,当α=β时,e=1,由此知截口曲线是抛 图1 物线。如图1,在圆 锥SO 中,M、N 分 别 为 SD、SO 的 中 点,AB、CD 为底面 的 两 条 直 径,且 AB⊥CD,AB=4, SO=2。现用平面γ(不过圆锥顶点)截该圆 锥,则下列选项中正确的是( )。 A.若 MN⊂γ,则截口曲线为圆 B.若γ与SO 所成的角为60°,则截口曲 线为椭圆或椭圆的一部分 C.若 M、A、B∈γ,则截口曲线为抛物线 的一部分 D.若截口曲线是离心率为 2的双曲线 的一部分,则O∉γ 分析:根据情境,由题意可知cos α= cos π 4 ,再对每个选项,求出过点 M 的平面与 旋转轴OS 所成角的余弦值,即cos β的值, 代入e= cos β cos α 求值,从而利用离心率的取值 范围判断截口曲线类型。 解:对于选项 A,由题意知若过 MN 的 平面与底面不平行,则截口曲线不为圆,故选 项A错误。 对于选项B,因为γ 与SO 所成的角为 60°,所以β= π 3 。 因为OD=OS=2,所以∠OSD= π 4 ,即 α= π 4 。 故e= cos β cos α= 1 2 2 2 = 1 2 <1,平面γ 截该 圆锥得到的截口曲线为椭圆或椭圆的一部 分,选项B正确。 93 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2025年1月 对于选项C,如图2所示,因为SO⊥平 面ABD,AB⊂平面ABD,所以SO⊥AB。 图2 因为AB⊥CD, CD∩SO=O,CD, SO⊂平面 SOD,所 以AB⊥平面SOD。 又因为SD⊂平 面SOD,所以SD⊥ AB。 因为SO=OD,M 为线段SD 的中点,所 以SD⊥OM。 因为 AB∩OM =O,AB,OM ⊂平 面 MAB,所以SD⊥平面 MAB,γ 与SO 所成 的角∠SOM= π 4 。易知∠OSD= π 4 。 故β= π 4 ,α= π 4 ,e= cos β cos α=1 ,选项C正确。 对于选项D,截口曲线是离心率为 2的 双曲线的一部分,则cos β cos α= cos β 2 2 = 2,故 cos β=1。 因为β∈ 0, π 2 ,所以β=0,平面γ∥ OS,平面γ不经过原点O,选项D正确。 故选BCD。 点评:解决本题的关键是理解截口曲线 (圆锥曲线)的离心率的定义。根据情境,由 题可知cos α=cos π 4 。再对每个选项,求出 过点 M 的平面与旋转轴OS 所成角的余弦 值,即cos β的值,代入e= cos β cos α 求值,从而利 用离心率的范围判断截口曲线类型即可。 三、融合数学文化考查椭圆、数列与乐器 跨学科的综合性问题 例 3 弓琴是弹拨弦鸣乐器(如图3), 历史悠久,形制原始。它脱胎于古代的猎弓, 也可以称作“乐弓”,是我国弹弦乐器的始祖。 古代有“后羿射日”的神话,说明上古生民对 善射者的尊崇,乐弓自然是弓箭发明的延伸。 古代传说将“琴”的创造归于伏羲,也正由于 他是以渔猎为生的部落氏族首领。在我国古 图3 籍《吴越春秋》中,曾有记载:“断竹, 续竹,飞土,逐肉。”弓琴常用于民歌 或舞蹈伴奏。弓琴的琴身下部分可 近似地看作是半椭球的琴腔, 其正 视图即为一椭圆面,它有多条弦, 拨 动琴弦,发音柔弱,音色比较动听。 现有专业乐器研究人员对它做出改 进,安装了七根弦,发现声音强劲悦 耳。图4是一弓琴琴腔下部分的正 视图。按对称原则建立如图4所示 图4 的 坐 标 系,F1(-c, 0)恰为左焦点,Pi(i =1,2,3,4,5,6,7)均 匀对称地分布在上 半个椭圆弧上(Pi 在 AB 上的投影把线段 AB 八 等 分), PiF1 为琴弦,记ai=|PiF1|(i=1,2,3,4,5,6,7), 数列{an}的前n项和为Sn,椭圆方程为 x2 a2 + y2 b2 =1,且a+64c=4ac,则S7+a7-128的最 小值为 。 分析:设Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6, 7),由焦半径公式得|PiF1|=a+exi,且满足 x1+x2+…+x7=0。由题意得-a,x1, x2,…,x7,a成等差数列,从而可求得x7,在 求得S7,a7 后利用基本不等式求最小值。 解:设Pi(xi,yi),由题意知xi=-x8-i (i=1,2,3,4,5,6,7)。 因为ai=|PiF1|=a+exi,{an}为等差 数列,所以S7=∑ 7 i=1 |PiF1|=7a+e(x1+x2 +…+x7)=7a。 P1,P2,…,P7 在 AB 上的投影把线段 AB 八等分,则x7= 3 4a ,a7=a+ex7=a+ 3c 4 。 又a+64c=4ac,故 16 a+ 1 4c=1 。 S7+a7-128= 8a+ 3c 4 16a+14c - 128=128+ 3 16+ 2a c + 12c a -128≥ 3 16+46 , 04 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2025年1月 当且仅当a= 6c时取等号。 点评:本题将几千年前的伏羲、后羿、弓 琴与椭圆、数列知识联系在一起,渗透数学文 化的教育,激发同学们学习的兴趣,增强了大 家的民族自豪感。 四、条件开放型问题 例 4 (2023年云南师大附中高三模拟 卷)在①OA→·OB→=-12;② 1|AF|+ 1 |BF|= 1 2 ; ③△OAB 面积的最小值为8,这三个条件中任 选一个,补充在横线上,并解答下列问题。(若 选择多个条件作答,则按第一个解答计分) 已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为 F,过点F 的直线与该抛物线交于A,B 两 点,O 为坐标原点, 。 (1)求抛物线的方程。 (2)点C 在抛物线上,△ABC 的重心G 在y 轴上,直线AC 交y 轴于点Q(点Q 在点 F 上方)。记△AFG,△CQG 的面积分别为 S△AFG,S△CQG,T= S△AFG S△CQG ,求T 的取值范围。 分析:(1)设直线AB 的方程为y=kx+ p 2 ,联立直线和抛物线方程,利用韦达定理列 方程,解得p 即可得到抛物线的方程。 (2)根据△ABC 的重心在y 轴上可得到 xA+xB+xC 3 =0 ,根据点Q 在点F 上方可得 到x2A>32,根据S△ABG=S△ACG 可得到T= 2-16· x2A-32 x4A-256 ,然后利用换元法和基本 不等式求T 的取值范围即可。 解:(1)由题意得 F 0,p2 ,且直线 AB 的斜率存在,设直线AB:y=kx+ p 2 。 联立方程 y=kx+ p 2 , x2=2py, 得: x2-2pkx-p2=0。 可知Δ>0恒成立。 不妨设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA+ xB=2pk,xAxB=-p2。 若选条件①,则yA·yB= (xAxB)2 4p2 =p 2 4 。 OA→·OB→=xAxB+yAyB=-p2+p 2 4= - 3p2 4 =-12 ,解得p=4。 抛物线的方程为x2=8y。 若选条件②,则yA·yB= (xAxB)2 4p2 =p 2 4 。 由抛 物 线 的 定 义 得 1 |AF|+ 1 |BF|= 1 yA+ p 2 + 1 yB+ p 2 = yA+yB+p yAyB+ p 2 (yA+yB)+ p2 4 = yA+yB+p p 2 (yA+yB+p) = 2 p = 1 2 ,解得p=4。 故抛物线的方程为x2=8y。 若选条件③,则S△OAB= 1 2× p 2×|xA- xB| = p 4 (xA+xB)2-4xAxB = p 4 4p 2k2+4p2= p2 2 k 2+1,当且仅当k= 0时,△OAB 的面积取得最小值p 2 2 。 则p 2 2=8 ,p=4。 故抛物线的方程为x2=8y。 (2)由(1)得抛物线的方程为x2=8y, p=4,F(0,2),故xAxB=-16。 图5 如图5,G 为△ABC 的 重心,则xG = xA+xB+xC 3 =0,且S△ABG=S△ACG。 T= S△AFG S△CQG = |xA| |xB-xA| ·S△ABG |xC| |xC-xA| ·S△ACG = |xA||xC-xA| |xC||xB-xA| = -xA(xA+xB+xA) (xB+xA)(xB-xA) = 2x2A+xA·xB x2B-x2A 14 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2025年1月 = 2x2A-16 162 x2A -x2A = 2x4A-16x2A x4A-162 = 2-16· x2A-32 x4A-256 。 又kAC= yA-yC xA-xC = x2A 8- x2C 8 xA-xC = xA+xC 8 , 故直线AC:y-yA= xA+xC 8 (x-xA)。 令x=0,得yQ=yA+ xA+xC 8 (-xA)= x2A 8- x2A 8- xAxC 8 =- xAxC 8 >2 。 则xAxC =xA (-xA -xB)=-x2A - xAxB=-x2A+16<-16,即x2A>32。 令u=x2A-32>0,则x2A=u+32。 T= 2- 16u (u+32)2-256 = 2- 16 u+ 3×162 u +64 。 因u>0,故u+ 3×162 u ≥323 ,当且仅 当u=163,即x2A=163+32时取等号。 因此,2- 16 u+ 3×162 u +64 ≥1+ 3 2 。 故2>T≥1+ 3 2 ,T∈ 1+ 3 2 ,2 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 。 点评:直线与抛物线的位置关系和直线 与椭圆、双曲线的位置关系类似,常把两个方 程联立,消去x(或y)建立一元二次方程,然 后借助根与系数的关系,并结合题设条件建 立有关参变量的等量关系。 五、结合物理中的光学性质考查抛物线 中的范围问题 例 5 (2024年四川绵阳模拟卷)抛物 线有一条重要性质:从焦点出发的光线,经过 抛物线上的一点反射后,反射光线平行于抛 物线的轴。过抛物线C:x2=4y 上的点P (不为原点)作抛物线C 的切线l,过坐标原 点O 作OQ⊥l,垂足为Q,直线PF(F 为抛 物线的焦点)与直线OQ 交于点T,点A(2, 0),则|TA|的取值范围是 。 分析:设点Pt, t2 4 (t≠0),切线l的方 程为y- t2 4=k (x-t),与抛物线方程联立可 求得切线的斜率。由OQ⊥l 可求得OQ 的 方程,与直线PF 的方程联立可求得点T 的 坐标,消参可求得点 T 的轨迹方程,结合图 形可求得|TA|的取值范围。 解:因为点P 为抛物线C:x2=4y 上的 点(不为原点),所以可设点Pt, t2 4 (t≠0), 且F(0,1)。 当切线l的斜率不存在时,不符合题意。 当切线l的斜率存在时,可设为y- t2 4 =k(x-t)。 联立方程 y- t2 4=k (x-t), x2=4y, 消去y 可 得x2-t2=4k(x-t)。 化简可得x2-4kx+4kt-t2=0。 令Δ=0,则16k2-4(4kt-t2)=0。 化简可得(2k-t)2=0,即k= t 2 。 又OQ⊥l,故OQ 的斜率kOQ=- 2 t ,直 线OQ 的方程为y=- 2 tx 。 因为Pt, t2 4 (t≠0),F(0,1),所以PF 的斜率kPF= t2 4-1 t-0= t2-4 4t 。 则PF 的方程为y= t2-4 4t x+1 。 联 立 方 程 y=- 2 tx , y= t2-4 4t x+1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解 得 x=- 4t t2+4 , y= 8 t2+4 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 即T - 4t t2+4 ,8 t2+4 。 由 x=- 4t t2+4 , y= 8 t2+4 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 两 式 相 除 可 得 x y = 24 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2025年1月 - t 2 ,即t=- 2x y 。 由t≠0,可得x≠0。代入y= 8 t2+4 ,可 得y= 8 4x2 y2 +4 ,化简可得x2+y2-2y=0,即 x2+(y-1)2=1(x≠0)。可知点T 的轨迹 是半径为1的圆,圆心为F(0,1)。 图6 结 合 图 6 可 知 |AF|-r≤|TA|≤ |AF|+r。 又r=1,|AF|= (2-0)2+(0-1)2 = 5,故|TA|∈ 5-1,5+1 。 六、巧借命题的真假判断,考查图形的面 积、对称等问题 例 6 曲线Ck:xk+yk=4(k>0,k∈ Q),下列两个命题: 命题甲:当k= 1 2 时,曲线与坐标轴围成 的图形面积小于128;命题乙:当k=2n,n∈ N*时,曲线围成的图形面积总大于4。 下面说法正确的是( )。 A.甲是真命题,乙是真命题 B.甲是真命题,乙是假命题 C.甲是假命题,乙是真命题 D.甲是假命题,乙是假命题 分析:把k= 1 2 代入等式,变形等式并确 定图形在直线 x+y=16的下方(除去点 (16,0),(0,16)),判断命题甲;当k取正偶数 时,分析曲线的性质,判断点(1,1)与曲线的 位置关系,判断命题乙。 解:命题甲:当k= 1 2 时,曲线C1 2 :x 1 2+ y 1 2=4是端点为(16,0),(0,16),在第一象限 的曲线段。 由x 1 2+y 1 2=4,得y=(4-x 1 2)2=x+ 16-8 x,0≤x≤16。 而(16-x)-(x+16-8 x)=8 x- 2x=2 x(4- x)≥0,当且仅当x=0或 x=16时取等号,即16-x≥x+16-8 x。 则曲线C1 2 除两个端点外均在直线y=16-x 的下方。 图7 因此,曲线C1 2 除端点 (16,0),(0,16)外,在直线 x+y=16与坐标轴围成 的区域内,如图7所示。 直线x+y=16分别交 x 轴,y 轴 于 点 A(16,0), B(0,16),S△OAB= 1 2|OA| · |OB|=128。 所以当k= 1 2 时,曲线与坐标轴围成的 图形面积小于128,甲是真命题。 命题乙:当k=2n,n∈N*时,曲线C2n:x2n +y2n =4,显 然(-x)2n +y2n=4=x2n + (-y)2n,即曲线C2n 关于x 轴对称,也关于y 图8 轴对 称,且 在 平 行 直 线 x=±2n4和平行直线y= ±2n4所围成的矩形及内 部,如图8所示。 曲线 C2n 是 封 闭 曲 线,其面积是曲线与x 轴 的非负半轴、y 轴的非负 半轴所围图形面积S 的4倍。 显然12n+12n<4,即点(1,1)在曲线C2n 内。而以点(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)为顶 点的正方形面积为1。 曲线C2n 上的点(x,y)(x>0,y>0),当 x 在0到1间任意取值时,y 均大于1,当y 在0到1间任意取值时,x 均大于1。 因此S>1。所以曲线围成的图形面积 4S>4恒成立,乙是真命题。 故选A。 点评:曲线C 的方程为F(x,y)=0,若 F(-x,y)=0,则曲线C 关于y 轴对称;若 F(x,-y)=0,则曲线C 关于x 轴对称;若 F(-x,-y)=0,则曲线C 关于原点对称。 (责任编辑 徐利杰) 34 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2025年1月