11 浅议由an+1=pan+q(pq≠0)求数列通项公式的途径-《中学生数理化》高二数学2025年1月刊

■成都经济技术开发区实验中学校 杜海洋 ■甘孜藏族自治州康北民族高级中学 彭 凤 对于求数列通项公式,大部分同学喜欢 套用老师归纳出来的公式解题而不了解是怎 么得来的。其实,我们应该掌握求数列通项 公式的常规方法,并对具有代表性的数列进 行一题多解。下面结合两道经典习题,对形 如an+1=pan+q(pq≠0)的数列求通项公式 进行多视角解析。 课本试题呈现及解答 例 1 (普通高中教科书人教A版《数 学选择性必修第二册》第41页习题4.3第8 题)若数列{an}的首项a1=1,且满足an+1= 2an+1,求数列{an}的通项公式及前10项的 和。 下面只研究其通项公式。 方法1(递推法) 由a1=1,an+1=2an+1,得an=2an-1+ 1=2(2an-2+1)+1=22an-2+2+1= 22(2an-3+1)+2+1=23an-3+22+2+1=… =2n-1a1+2n-2+…+22+2+1=2n-1+ 2n-2+…+22+2+1= 1-2n 1-2=2 n-1。 点评:利用数列的递推公式推导其通项 公式是解答数列通项公式的“套路”,课本中 也是利用递推法求等差、等比数列的通项公 式。可以这样认为,同学们只要有足够的耐 心,就可以利用递推公式求得不同类型数列 的通项公式。 方法2(配凑法构造等比数列) 因为 an+1=2an +1,所 以 an+1+1= 2(an+1),即{an+1}是首项为2,公比为2的 等比数列,也即an+1=2×2n-1=2n,an= 2n-1。 方法3(待定系数法1,构造等比数列) 由an+1=2an+1,可设an+1+λ=2(an+ λ),解得λ=1,即an+1+1=2(an+1)。 下同方法2,过程略。 点评:如果认为方法2不易想到,那么方 法3就是这类型的通性通法,比如将an+1= 2an+1改 为an+1=pan+q(pq≠0),可 设 an+1+λ=p(an+λ),利用λ(p-1)=q 求得 λ,从而得到一个新的等比数列,进一步获得 解答。 方法4(累加法) a1=1,an+1=2an+1,两边同 时 除 以 2n+1,得 an+1 2n+1 - an 2n = 1 2n+1 。 则 a2 22 - a1 2= 1 22 ; a3 23 - a2 22 = 1 23 ; …… an 2n - an-1 2n-1 = 1 2n 。 以上n-1个式子累加得: an 2n - a1 2= 1 22 + 1 23 +…+ 1 2n 。 则 an 2n = 1 2 + 1 22 + 1 23 + … + 1 2n = 1 2 1- 1 2n 1- 1 2 =1- 1 2n ,故an=2n-1。 点评:对于形如an+1=pan+q(pq≠0) 的递 推 公 式,都 可 以 对 公 式 两 边 同 时 除 以 pn+1,得到 an+1 pn+1 = an pn + q pn+1 (pq≠0),再利用 累加法进行解答。 方法5(构造等比数列) 由a1=1,an+1=2an+1,可得a2=3, an=2an-1+1(n≥2)。 53 解题篇 课本习题探究 高二数学 2025年1月 则an+1-an=2(an-an-1)(n≥2)。 所以数列{an+1-an}是以a2-a1 为首 项,公比q=2的等比数列,即an+1-an=2n。 则 a2-a1=21, a3-a2=22, a4-a3=23, …… an-an-1=2n-1(n≥2)。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 以上n-1个式子累加得: an-a1=21+22+23+…+2n-1。 则an=1+21+22+23+…+2n-1= 1-2n 1-2=2 n-1。 易知a1=1也满足上式,故an=2n-1。 方法6(待定系数法构造常数列) 由方法5可得an+1-an=2n。 设an-λ·2n=an-1-λ·2n-1(n≥2),易 得λ=1,所以数列{an-2n}为常数列,即 an-2n=a1-2=-1,an=2n-1。 方法7(待定系数法2,构造等比数列) 由方法5可得an+1-an=2n,则 an+1 2n+1 - 1 2 ·an 2n = 1 2 。 设 an+1 2n+1 -λ= 1 2 an 2n -λ ,易得λ=1,所 以数列 an 2n -1 是以a12-1为首项,公比q= 1 2 的等比数列,即an 2n -1=- 1 2 · 1 2 n-1 ,故 an=2n-1。 点评:方法5、6、7在前面基础上得出求 形如an+1=pan+qn(pq≠0)的通项公式的方 法。细心的同学应该发现处理这类问题的核 心思想是数列中的“同构”思想,即新数列的 前一项与后一项结构要一致。如方法6中, 由方法5可得an+1-an=2n,设an-λ·2n= an-1-λ·2n-1(n≥2),其本质为恒等变形,通 过恒等变形转化为更熟悉的问题来处理,恒 等变形是由数列递推公式求通项公式常用的 策略。 下面利用上述方法解答课本中的一道经 典习题的改编题。 例 2 (普通高中教科书人教A版《数 学选择性必修第二册》第41页习题4.3第7 题第1问)数列{an}的首项为a1=1 ,且满足 an+1+an=3·2n。 求证:{an-2n}是等比数列。 改编:求数列{an}的通项公式。 方法1(构造法) 由题意知,数列{an}满足an+1+an=3· 2n,即an+1=-an+3·2n,则 an+1-2n+1 an-2n = -an+3·2n-2n+1 an-2n = 2n-an an-2n =-1。 由a1=1,可得a1-21=-1。 所以数列{an-2n}是首项为-1,公比为 -1的等比数列。 故an-2n=-1×(-1)n-1=(-1)n, an=(-1)n+2n。 方法2 (待定系数法) 由an+1+an=3·2n,可设an+1+λ·2n+1 =-(an+λ·2n),即an+1+an=-3λ·2n, 解得λ=-1。 则 an+1-2n+1 an-2n =-1。下同方法1。 方法3(递推法) 由an+1+an=3·2n,可得an+1=-an+ 3·2n。 当n为偶数时,an=-an-1+3·2n-1= -(-an-2+3·2n-2)+3·2n-1=-an-3+ 3·2n-3-3·2n-2+3·2n-1=…=-a1+3· 21-3·22+3·23-…+3·2n-3-3·2n-2+ 3·2n-1=-1+3(21-22+…+2n-3-2n-2+ 2n-1)=-1+3· 2[1-(-2)n-1] 1-(-2) =1+2 n。 当n为奇数时,an=-an-1+3·2n-1= -(-an-2+3·2n-2)+3·2n-1=-an-3+ 3·2n-3-3·2n-2+3·2n-1=…=a1-3· 21+3·22-3·23+…+3·2n-3-3·2n-2+ 3·2n-1=1-3(21-22+…-2n-3+2n-2- 2n-1)=1-3· 2[1-(-2)n-1] 1-(-2) =-1+2 n。 综上可得an=(-1)n+2n。 63 解题篇 课本习题探究 高二数学 2025年1月 方法4(累加法) 由an+1+an=3·2n,可得an+an-1= 3·2n-1。上式两边同除以(-1)n,得: an (-1)n - an-1 (-1)n-1 = 3 2 ·(-2)n。 则 a2 (-1)2 - a1 (-1)1 = 3 2 ·(-2)2; a3 (-1)3 - a2 (-1)2 = 3 2 ·(-2)3; …… an (-1)n - an-1 (-1)n-1 = 3 2 ·(-2)n。 以上 n-1个 式 子 相 加,得 an (-1)n - a1 (-1)1 = 3 2 · [(-2)2+ (-2)3 + … + (-2)n]= 3 2 ·4 [1-(-2)n-1] 1-(-2) =2+ (-2)n。 故an=(-1)n+2n。 方法5(利用求和式子求通项) 已知an+1+an=3·2n,当n为偶数时: Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+ an)=3(2+23+…+2n-1)=3× 21-4 n 2 1-4 = 2n+1-2。 当n为奇数时: Sn=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+ (an-1+an)=1+3(22+24+…+2n-1)=1+ 3× 41-4 n-1 2 1-4 =2 n+1-3。 所以Sn= 2n+1-2,n为偶数, 2n+1-3,n为奇数。 当n为偶数时,an=Sn-Sn-1=(2n+1- 2)-(2n-3)=2n+1(n≥2)。① 当n为奇数时,an=Sn-Sn-1=(2n+1- 3)-(2n-2)=2n-1(n≥2)。 当n=1时,也满足an=2n-1。② 由①②可得an=(-1)n+2n。 方法6(待定系数法构造等比数列) 由an+1+an=3·2n,得 an+1 (-2)n+1 - 1 2 · an (-2)n = 3 2 (-1)n+1。 不妨 设 an+1 (-2)n+1 -λ(-1)n+1= 1 2 · an (-2)n -λ(-1)n􀭠􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 ,解 得 λ=1。则 数 列 an (-2)n -(-1)n 是以 a1(-2)1-(-1)=12 为首项,公比q= 1 2 的等比数列。 故 an (-2)n -(-1)n = 1 2 × 1 2 n-1 = 1 2 n ,即an=(-1)n+2n。 方法7(分别利用累加法) 由an+1+an=3·2n,①得an+2+an+1= 3·2n+1。② ②-①得an+2-an=3×2n。 当n为偶数时: (an-an-2)+(an-2-an-4)+…+(a4- a2)=3× (22 +24 + … +2n-2)=3× 4(1-4 n-2 2 ) 1-4 =-4+2 n(n≥4),解得an=1+ 2n。当n=2时也满足上式,所以an=1+2n。 当n为奇数时: (an-an-2)+(an-2-an-4)+…+(a3- a1)=3× (21 +23 + … +2n-2)=3× 2 1-4 n-1 2 1-4 =-2+2 n(n≥3),解得an= -1+2n。易知当n=1时也满足上式,所以 an=-1+2n。 综上,an=(-1)n+2n。 教材是众多专家智慧的结晶,也是发展 同学们核心素养的载体。平时同学们要认真 钻研教材,对课本例题、习题或者阅读材料等 进行深入研究,对其进行变式、推广、迁移、 整合。 注:本文系2022年度四川 省 数 学 会 数 学教育规划课题(重点项目)“基于远程直播 教学模式的高中数学校本课程的开发与实 施研究”(编 号:2022SXHJY001)的 阶 段 性 成果。 (责任编辑 徐利杰) 73 解题篇 课本习题探究 高二数学 2025年1月