09 从一道题来看函数型不等式的主要证法-《中学生数理化》高二数学2025年1月刊

■河南省偃师高级中学 任利梅 在高考压轴题中,经常出现考查与导数 有关的不等式问题,这些问题既可以用切线 放缩法证明,又可以利用隐零点法、凹凸反转 法来证明。下面我们通过一道例题来看一下 这几种方法的应用。 题目:证明:ex>e2ln x(x>0)恒成立。 思路一:利用切线放缩法证明 切线放缩法是一种非常实用的数学方 法,它可以帮助我们更好地理解函数的性质 和变化规律,能使问题简单化,利用切线不等 式进行求解,能起到事半功倍的效果。 方法一、两端同时放缩 要证ex>e2ln x(x>0),即证ex-2>ln x。 令φ(x)=ex-x-1,则φ'(x)=ex-1。 令φ'(x)=0,得x=0。 当x∈(-∞,0)时,φ'(x)<0; 当x∈(0,+∞)时,φ'(x)>0。 故φ(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0, +∞)上单调递增,φ(x)min=φ(0)=0。 则ex-x-1≥0,即ex≥x+1,当且仅当 x=0时取等号。 同理可证当x>0时,ln x≤x-1,当且 仅当x=1时取等号。 由ex≥x+1(当且仅当x=0时取等号), 可得ex-2≥x-1(当且仅当x=2时取等号)。 又当x>0时,x-1≥ln x(当且仅当 x=1时取等号),故ex-2≥x-1≥ln x 且两 等号不能同时取到,即ex-2>ln x,原不等式 成立。 除此之外,还可以利用ex≥ex 和ln x≤ x e 这两个不等式同时放缩。 方法二、左端切线放缩 令φ(x)=ex-ex,则φ'(x)=ex-e。 令φ'(x)=0,得x=1。 当x∈(-∞,1)时,φ'(x)<0; 当x∈(1,+∞)时,φ'(x)>0。 故φ(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1, +∞)上单调递增,φ(x)min=φ(1)=0。 则ex-ex≥0,即ex≥ex,当且仅当x= 1时取等号。 要证ex>e2ln x(x>0),能否证ex≥ e2ln x,即证ex-e2ln x≥0呢? 令g(x)=ex-e2ln x(x>0),则g'(x) =e- e2 x= ex-e2 x 。 令g'(x)=0,得x=e。 当x∈(0,e)时,g'(x)<0; 当x∈(e,+∞)时,g'(x)>0。 故g(x)在(0,e)上 单 调 递 减,在(e, +∞)上单调递增,g(x)min=g(e)=0。 则ex-e2ln x≥0,即ex≥e2ln x,当且 仅当x=e时取等号。 已证ex≥ex(当且仅当 x=1时取等 号),又ex≥e2ln x(当且仅当x=e时取等 号),故ex≥ex≥e2ln x,且两等号不能同时 取到,即ex-e2ln x>0,原不等式成立。 方法三、右端切线放缩 令φ(x)=ln x -(x-1),x>0,则 φ'(x)= 1 x-1 。 令φ'(x)=0,得x=1。 当x∈(0,1)时,φ'(x)>0; 当x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0。 故φ(x)在(0,1)上 单 调 递 增,在(1, +∞)上单调递减,φ(x)max=φ(1)=0。 故当x>0时,ln x≤x-1,当且仅当 x=1时取等号。 要证ex>e2ln x(x>0),能否证ex≥ e2(x-1),即证ex-e2(x-1)≥0呢? 令g(x)=ex-e2(x-1),则g'(x)= ex-e2。 令g'(x)=0,得x=2。 72 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2025年1月 当x∈(0,2)时,g'(x)<0; 当x∈(2,+∞)时,g'(x)>0。 故g(x)在(0,2)上单调递减,在(2, +∞)上单调递增,g(x)min=g(2)=0。 则ex-e2(x-1)≥0,即ex≥e2(x-1), 当且仅当x=2时取等号。 已证当x>0时,ln x≤x-1,当且仅当 x=1时取等号,可得e2ln x≤e2(x-1),当 且仅当x=1时取等号。 又ex≥e2(x-1)(当且仅当x=2时取等 号),故ex≥e2(x-1)≥e2ln x,并且两等号不能 同时取到,即ex-e2ln x>0,原不等式成立。 思考:利用切线放缩时,放缩到什么程度 合适呢? 我们可以考虑函数的图像,找到两个函 数的公切线,当放缩的直线斜率介于两条公 切线斜率之间时,那么这条切线就是合适的, 反之就会出现问题。 下面我们来求此不等式左右两边两个函 数公切线的斜率。 设公切线与曲线y=ex 和y=e2ln x 的 切点分别为(x1,e x1),(x2,e2ln x2),其 中 x2>0。对y=ex 求导,得y'=ex。 则切线方程为y -ex1=ex1(x-x1),即 y=e x1x-x1e x1+ex1。 对y=e2ln x 求导,得y'= e2 x 。 则切线方程为y-e2ln x2= e2 x2 (x-x2), 即y= e2 x2 x -e2+e2ln x2。 所以 ex1= e2 x2 , ex1(1-x1)=e2(ln x2-1)。 解得 x1=1, x2=e 或 x1=2, x2=1。 则切线方程为y=ex 或y=e2(x-1)。 故公切线斜率的取值范围为[e,e2]。 因此,当我们放缩的切线斜率在[e,e2] 之间时,放缩就是合适的。 常见的切线放缩结论: (1)∀x∈R,都有ex≥x+1,ex≥ex; (2)当x>-1时,ln(x+1)≤x; (3)当x>0时,ln x≤ x e ; (4)当x>0时,x>sin x; (5)当x<0时,x<sin x。 思路二:利用隐零点法证明 隐零点问题是指函数的零点存在但无法 直接解出来,在函数、不等式与导数的综合题 目中常会遇到隐零点问题,处理隐零点问题 的基本策略是判断单调性,合理取点判断符 号,再结合函数零点存在定理处理。 方法四、隐零点法 令f(x)=ex-e2ln x(x>0),则f'(x) =ex- e2 x 。易知f'(x)在(0,+∞)上单调递 增,且f'(1)=e-e2<0,f'(2)= e2 2>0 。 由零点存在定理可知,存在x0∈(1,2), 使得f'(x0)=0,即e x0= e2 x0 。① 变形可得x0=2-ln x0。② 当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,f(x)单调 递减。 当x∈(x0,+∞)时,f'(x0)>0,f(x) 单调递增。 所以f(x)min=f(x0)=e x0-e2ln x0= e2 x0 -e2(2-x0)=e2 1 x0 +x0-2 >0。 故ex-e2ln x>0,原不等式成立。 思路三:利用凹凸反转法证明 所谓凹凸反转,是将一个待证明的不等 式转化为两个凹凸性相反的函数,证明凹函 数的最小值大于凸函数的最大值,从而完成 原不等式的证明。 方法五、凹凸反转法 要证ex>e2ln x(x>0),即证 ex x> e2ln x x 。 令f(x)= ex x (x>0),则 f'(x)= ex(x-1) x2 。 令f'(x)=0,得x=1。 当x∈(0,1)时,f'(x)<0; (下转第34页) 82 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2025年1月 􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕 (上接第28页) 当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0。 故f(x)在(0,1)上 单 调 递 减,在(1, +∞)上单调递增,f(x)min=f(1)=e。 令g(x)= e2ln x x (x>0),则g'(x)= e2(1-ln x) x2 。 令g'(x)=0,得x=e。 当x∈(0,e)时,g'(x)>0; 当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0。 故g(x)在(0,e)上 单 调 递 增,在(e, +∞)上单调递减,g(x)max=g(e)=e。 因此,f(x)≥e≥g(x),且两等号不能同 时取到。 故f(x)>g(x),原不等式成立。 凹凸反转法不止有一种构造方法,只需 能转化为两个凹凸性相反的函数,且凹函数 的最小值大于凸函数的最大值即可。本题也 可以这样构造:要证ex>e2ln x,只需证明 ex- e2x>e2ln x- e2x 成立即可,此法和上 面的证明方法一样,不再赘述。 我们分别用切线放缩、隐零点和凹凸反 转的方法证明了此题,了解每种方法的适用 范围,应用起来才能游刃有余。 (责任编辑 徐利杰) 43 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2025年1月