07 一道高考解析几何题的多角度解析-《中学生数理化》高二数学2025年1月刊

一道高考解析几何题的多角度解析 ■福建省泉州市第七中学 彭耿铃 全国新高考Ⅰ卷中的解析几何题,突出 学科素养和区分导向,着重考查同学们的运 算能力和综合运用数学思想方法分析问题、 解决问题的能力,对选拔人才有很好的导向 作用。下面多角度解析2022年全国新高考 Ⅰ卷中的解析几何题,旨在探究题型特点,供 同学们参考。 题目:已知点A(2,1)在双曲线C: x2 a2 - y2 a2-1 =1(a>1)上,直线l交双曲线C 于P, Q 两点,直线AP,AQ 的斜率之和为0。 (1)求直线l的斜率; (2)若tan ∠PAQ=22,求△PAQ的面积。 解析:将 A(2,1)代入双曲线的方程得 4 a2 - 1 a2-1 =1,解得a2=2,故双曲线的方程 为 x2 2-y 2=1。设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题意 知直线AP,AQ 的斜率都存在,且不为± 2 2 。 方法一:(1)(直线和方程联立)设直线AP:y =k(x-2)+1,则直线AQ:y=-k(x-2)+1。 联立 x2 2-y 2=1, y=k(x-2)+1, 消 去 y 得(1- 2k2)x2+4k(2k-1)x+8k-8k2-4=0。则 2x1= 8k-8k2-4 1-2k2 ,即x1= 4k-4k2-2 1-2k2 。 同理可得x2= -4k2-4k-2 1-2k2 。 直线l的斜率kPQ= y1-y2 x1-x2 = k(x1+x2)-4k x1-x2 , 将x1,x2 代入上式可得kPQ=-1。 (2)设 ∠PAQ =2α,2α∈ 0, π 2 ,则 tan 2α= 2tan α 1-tan2α =22,解得tan α= 2 2 或 tan α=- 2(舍去)。 不妨设kAP>0,则由几何关系得kAP= k= 1 tan α= 2 ,kAQ=-k=- 2。 将k 代入x1= 4k-4k2-2 1-2k2 ,y1=kx1+ 1-2k,得P 10-42 3 ,42-5 3 。 将 k 代 入 x2 = -4k2-4k-2 1-2k2 ,y2 = -kx2+1+2k,得Q 10+42 3 ,-42-5 3 。 |AP|= 43× (1-2) 2 + 43× (2-2) 2 = 4 33× (2-1)。同理|AQ|= 4 33× (2+1)。 易知 sin ∠PAQ = 22 3 ,故 S△PAQ = 1 2|AP| ·|AQ|·sin ∠PAQ= 16 92 。 方法二:(1)(齐次化)设直线PQ 的方程 为m(x-2)+n(y-1)=1,n≠0。 由 x2 2-y 2=1,得 (x-2+2)2 2 - (y-1+ 1)2=1,即 1 2 (x-2)2-(y-1)2+2[(x- 2)-(y-1)]=0。 所以 1 2 (x-2)2-(y-1)2+2[(x- 2)-(y-1)][m(x-2)+n(y-1)]=0,即 -(2n+1)(y-1)2+2(n-m)(y-1)(x- 2)+ 2m+ 1 2 (x-2)2=0。 则-(2n+1)y-1x-2 2 +2(n-m)y -1 x-2 + 2m+ 1 2 =0。 故 kAP + kAQ = y1-1 x1-2 + y2-1 x2-2 = 2(n-m) 2n+1 =0 ,则m=n。 故直线l的斜率kPQ=- m n=-1 。 (2)设 ∠PAQ =2α,2α∈ 0, π 2 ,则 22 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2025年1月 tan 2α= 2tan α 1-tan2α =22,解得tan α= 2 2 或 tan α=- 2(舍去)。 不妨设kAP>0,则由几何关系得kAP= 1 tan α= 2 ,kAQ=- 2。 故kAP·kAQ= y1-1 x1-2 ·y2-1 x2-2 = 2m+ 1 2 -(2n+1)= -2。 又m=n,故m=n=- 3 4 。 所以直线 PQ 的方程为y=-x+ 5 3 。 代入双曲线的方程得x2- 20 3x+ 68 9=0 ,故 x1+x2= 20 3 ,x1x2= 68 9 。 |PQ|=2|x1-x2|=2 (x1+x2)2-4x1x2 = 16 3 ,点A 到直线PQ 的距离d= 3- 5 3 2 = 22 3 ,故S△PAQ= 1 2|PQ| ·d= 162 9 。 (另解)S△PAQ= 1 2|AP| ·|AQ|sin ∠PAQ = 1 2|AP| ·|AQ|cos ∠PAQ·tan ∠PAQ = 2AP→·AQ→= 2[(x1-2)(x2-2)+ (y1-1)(y2-1)]= 2[(x1-2)(x2-2)- 2(x1-2)· 2(x2-2)]=- 2[x1x2- 2(x1+x2)+4]=-2× 68 9- 40 3+4 =1629 。 方法三:(1)由题意知直线l 的斜率存 在,设l:y=kx+m,与双曲线的方程联立得 (2k2-1)x2+4kmx+2m2+2=0。 故x1+x2=- 4km 2k2-1 ,x1x2= 2m2+2 2k2-1 。 kAP+kAQ= y1-1 x1-2 + y2-1 x2-2 = kx1+m-1 x1-2 + kx2+m-1 x2-2 =0,化简得2kx1x2+(m-1- 2k)(x1+x2)-4(m-1)=0。 故 2k(2m2+2) 2k2-1 + (m -1-2k)· - 4km 2k2-1 -4(m-1)=0,整理得(k+1)· (m+2k-1)=0。直线l不过点A,故k=-1。 (2)设 ∠PAQ =2α,2α∈ 0, π 2 ,则 tan 2α= 2tan α 1-tan2α =22,解得tan α= 2 2 或 tan α=- 2(舍去)。 不妨设kAP>0,则由几何关系得kAP= 1 tan α= 2 ,即y1-1 x1-2 = 2。 与 x21 2 -y 2 1=1联立得 x1= 10-42 3 , y1= 42-5 3 。代入直线l的方程得m= 5 3 , 故x1+x2= 20 3 ,x1x2= 68 9 。 而|AP|= 3|x1-2|,|AQ|= 3|x2- 2|,由tan ∠PAQ=2 2,得sin ∠PAQ= 22 3 ,故S△PAQ= 1 2|AP| ·|AQ|sin ∠PAQ = 2|x1x2-2(x1+x2)+4|= 162 9 。 方法四:(1)(利用平移)将x→x-2, y→y-1,则A(2,1)→A'(0,0),双曲线 x2 2- y2=1→双曲线τ:x2-2y2-4x+4y=0。 设直线A'P':y=kx,代入双曲线τ可得 P' 4-4k 1-2k2 ,4k-4k 2 1-2k2 。 同理,设直线A'Q':y=-kx,计算可得 Q' 4+4k 1-2k2 ,-4k-4k 2 1-2k2 。 则kPQ=kP'Q'=-1。 (2)S△APQ=S△A'P'Q'= 1 2|xP'yQ'-xQ'yP'| = 16k(k2-1) (1-2k2)2 。由 几 何 关 系 易 知 k= ± 2,代入可得S△PAQ= 162 9 。 注:本文为福建省泉州市鲤城区教育科 学“十四五”规划2024年课题“基于全国课标 Ⅰ卷解析几何的考查研究”的研究成果,课题 编号:LCJG1452-122。 (责任编辑 赵 倩) 32 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2025年1月