02 研读高考题 剖析数列新定义-《中学生数理化》高二数学2025年1月刊

■河北省沧州市东光县第一中学 张丽敏 研读高考数学试题,发现改革力度之大, 突破以往试卷结构的常规模式,给人以耳目 一新之感。尤其是新高考的数列解答压轴题 以“新定义”情境试题的形式呈现,背景新颖, 构思巧妙,有效地考查同学们的迁移能力和 思维品质,充分地体现“遵循教学大纲,又不 拘泥于教学大纲”的特点。下面结合2024年 高考的数列解答题,剖析数列新定义,以期对 同学们的学习有所帮助。 一、试题呈现 (2024年全国新高考Ⅰ卷第19题)设m 为正整数,数列a1,a2,…,a4m+2 是公差不为 0的等差数列,若从中删去两项ai 和aj(i< j)后剩余的4m 项可被平均分为m 组,且每 组的4个数都能构成等差数列,则称数列a1, a2,…,a4m+2 是(i,j)—可分数列。 (1)写出所有的(i,j),1≤i<j≤6,使数 列a1,a2,…,a6 是(i,j)—可分数列。 (2)当 m≥3时,证明:数列a1,a2,…, a4m+2 是(2,13)—可分数列。 (3)从1,2,…,4m+2中一次任取两个 数i和j(i<j),记数列a1,a2,…,a4m+2 是 (i,j)—可分数列的概率为 Pm,证明:Pm> 1 8 。 思路剖析:本题是在已有等差数列概念 的基础上,重组或变化条件,生成(i,j)—可 分数列的新概念,但解题依然根植于等差数 列的基础概念、基本方法与基本思想。解题 按新定义的“(i,j)—可分数列”的要求,“照 章办事”即可。 (1)直接根据(i,j)—可分数列的定义写 出所有的(i,j)即可。 (2)先证明当m=3时,可以分为a1,a4, a7,a10;a3,a6,a9,a12;a5,a8,a11,a14 三组公 差为3d 的等差数列。再证明当m>3时,数 列a1,a2,…,a4m+2 去掉a2 和a13 后,后面的 每四个相邻的项分为一组,即a15,a16,a17, a18;…;a4m-1,a4m,a4m+1,a4m+2,每一组都能构 成等差数列,即可证明结论。 (3)设满足题意的(i,j)的取法数为bm, 则b1=3。当m=n+1时,可取a4n+6 与a1, a5,a9,…,a4n+5 中的一个,共(n+2)种;可取 a4n+5 与a2,a6,a10,…,a4n-2 中的一个,共n 种。故bn+1-bn≥n+2+n=2n+2,则当 m≥2时,bm=(bm-bm-1)+…+(b2-b1)+ b1≥2m+…+4+3=m2+m+1。又b1=3 满足上式,故bm≥m2+m+1。结合随便删 除2个数,总共有C24m+2=8m2+6m+1(种) 方法,证明结论即可,过程略。 二、“新定义数列”的特点 创新性:新定义问题的背景新颖独特,题 目中常出现“定义”“规定”“称为”等词汇,定 义内容与教材中的知识内容存在一定差异, 并且有时表述抽象,要求同学们先仔细读题 并明其新意,再进行解题。 综合性:新定义问题背景创新,联络不 同知识点和知识模块,综合运用各类数学思 想方法,全面考查同学们分析问题与解决问 题的能力。同学们要明晰新概念的构成要 素,挖掘与已有知识的关联并将已有方法进 行迁移,对新问题进行转化,提升数学核心 素养。 速用性:新定义问题的解决要求同学们 在规定时间内迅速学习并立即使用一个新的 数学定义,这意味着同学们需要在没有老师 指导下短时间内“现学现用”,对同学们的思 维灵敏性要求很高。 三、破解“新定义数列”的方法 “新定义数列”虽然形式较新,但研究它 们的基本方法和思考角度,往往是同学们较 7 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2025年1月 为熟悉的。同学们只要冷静观察和思考,深 入理解新定义,采用合理的策略、熟悉的方 法进行分析、转化,就能得到简捷清晰的解 法。 求解“新定义”题目,主要分如下几步: (一)对新定义进行信息提取,明确新定 义的名称和符号。 (二)对新定义所提取的信息进行加工, 探求解决方法和相近的知识点,明确它们的 相同点和相似点。 (三)对新定义中的知识进行提取和转 换,这是解题的关键,若题目是新定义的运算 法则,直接按照法则计算即可;若题目是新定 义的性质,一般要判断性质的适用性,可用特 殊性质判断能否利用定义的外延。对于新定 义中的知识,与已有知识隐性关联的,要化生 为熟,迅速建立起已知(已掌握的概念、方法、 思想)与未知(新情境、新条件、新目标)之间 的关联,制定解题策略。 四、新定义试题剖析 设数列{an}的前n 项和为Sn,若对任意 的n∈N*,总存在k∈N*,使得Sn=ak,则称 an 是“M 数列”。 (1)判断数列{3n}(n∈N*)是不是“M 数 列”,并说明理由。 (2)设{bn}是等差数列,其首项b1=1,公 差d∈N*,且{bn}是“M 数列”。 ①求d 的值和数列{bn}的通项公式; ②设cn= 4b2n+8bn+29 bn+1 ,直接写出数列 {cn}中最小的项。 分析:(1)直接由“M 数列”的定义进行 判断即可。 (2)① 由 题 意 得 关 于 k 的 方 程n+ n(n-1) 2 ·d=1+(k-1)d,即k= n-1 d + n(n-1) 2 +1 恒有正整数解,结合数论知识即 可求解出d=1;②由题意得cn=4(n+1)+ 25 n+1 ,结合函数的单调性,求得当n+1=3 时,cn 取最小值。 解:(1)数列{3n}不是“M 数列”。 因为an=3n,所以当n=2时,S2=3+ 9=12,此时不存在k∈N*,使得ak=12。 所以数列{3n}不是“M 数列”。 (2)①因为{bn}是等差数列,且首项b1= 1,公差d∈N*,所以bn=1+(n-1)d,Sn= n+ n(n-1) 2 d 。 因为{bn}是“M 数列”,所以对任意的 n∈N*,总存在k∈N*,使得n+ n(n-1) 2 d =1+(k-1)d 成立。 则 k = n-1 d + n(n-1) 2 +1 ,其 中 n(n-1) 2 +1 为非负整数。 要使k∈N*,需要 n-1 d 恒为整数,即d 为所有非负整数的公约数。 因为d∈N*,所以d=1,bn=n。 ②因 为cn = 4b2n+8bn+29 bn+1 ,所 以cn = 4n2+8n+29 n+1 = 4(n+1)2+25 n+1 =4 (n+1)+ 25 n+1 。 由函数y=4t+ 25 t 的单调性知,y=4t+ 25 t 在 t∈ 0, 5 2 上 为 减 函 数,在 t∈ 5 2 ,+∞ 上为增函数。 当n+1=2时,cn= 41 2 ;当n+1=3时, cn= 61 3 。 所以当n=2时,cn 有最小值 61 3 。即数 列{cn}中最小的项为c2= 61 3 。 点评:求解第二问的关键是得到关于k 的方程k= n-1 d + n(n-1) 2 +1 恒有正整数 解,由此得出d=1,从而顺利解决问题。 (责任编辑 徐利杰) 8 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2025年1月