01 函数视角下的数列问题-《中学生数理化》高二数学2025年1月刊

函数视角下的数列问题 ■安徽省桐城市第八中学 朱 益 数列是刻画离散现象的一种数学模型, 数列的通项公式与前n 项和公式,本质上是 定义域为正整数集(无穷数列)或正整数集的 一个子集(有穷数列)的函数关系式。《普通 高中数学课程 标 准(2017年 版2020年 修 订)》指出:“了解等差数列与一元一次函数、 等比数列与指数函数的联系,感受数列与函 数的共性与差异,体会数学的整体性。” 一、等差及等比数列公式的函数特征 例 1 设Sn 为数列{an}的前n 项和, 甲:{an}为等差数列;乙: Sn n 为等差数列, 则( )。 A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的 必要条件 解析:若{an}为等差数列,则Sn=An2+ Bn(A,B 为常数), Sn n=An+B ,即 Sn n 为等 差数列。 若 Sn n 为等差数列,则Snn =kn+b(k,b 为常数),Sn=kn2+bn,即{an}为等差数列。 故甲是乙的充要条件,选C。 点评:若以数列的项数n 为自变量, 则 等差数列的通项公式是一个一次函数(d≠0) 或常数函数(d=0),即an=a1+(n-1)d= kn+b(k,b为常数),前n项和公式可表示为 Sn=na1+ n(n-1) 2 d=An 2+Bn(A,B 为常 数)。当等比数列的公比q≠1时,其通项公 式是一个指数型函数,可表示为an=a1qn-1 =kqn (k 为常数),前n 项和公式可表示为 Sn= a1(1-qn) 1-q =A-Aqn(A 为常数)。 例 2 设{an}是公差为d 的等差数列, {bn}是 公 比 为q 的 等 比 数 列。已 知 数 列 {an+bn}的前n 项和Sn=n2-n+2n-1 (n∈N*),则d+q的值是 。 解法1:(列方程组求基本量)当n=1 时,S1=a1+b1=1 ①;当n≥2时,an+bn =Sn-Sn-1=2n-2+2n-1,则a2+b2=a1+ d+b1q=4 ②,a3+b3=a1+2d+b1q2= 8 ③,a4+b4=a1+3d+b1q3=14 ④。 联立①②③④式,解得a1=0,b1=1,q= 2,d=2,所以d+q=4。 解法2:(利用等差及等比数列前n 项和 公式的函数特征)由等差及等比数列的前n 项和公式的特征可得,等差数列{an}的前n 项和Hn=n2-n,等比数列{bn}的前n 项和 Tn=2n-1,则d=2,q=2,d+q=4。 点评:用函数的观点重新审视数列的有 关公式,分析公式的函数特征,对解决问题很 有帮助。 二、函数视角下数列的单调性 例 3 已知an=n2+λn,且对于任意 的n∈N*,数列{an}是递增数列,则实数λ的 取值范围是 。 解法1:(利用数列单调性的定义)因为 {an}是递增数列,所以对任意的n∈N*,都有 an+1>an,即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,整 理得λ>-(2n+1)。(*) 因为n≥1,所以-(2n+1)≤-3。要使 不等式(*)恒成立,只需λ>-3。 解法2:(函数的视角)令函数f(n)= n2+λn,其图像的对称轴为n=- λ 2 。若数 列{an}是递增数列,则- λ 2< 3 2 ,解得λ> -3。 点评:数列的单调性与连续函数的单调 性既有联系又有区别,本题容易错误地认为 数列图像上的点都在函数图像的对称轴的右 边,实际上,数列第一项所对应的点有可能位 于函数图像的对称轴的左边。 例 4 数列{an}满足an+1=2an+1, 3 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2025年1月 a1=1,bn=λan-n2+4n,若数列{bn}为单调 递增数列,则λ的取值范围为( )。 A.λ> 1 8 B.λ> 1 4 C.λ> 3 8 D.λ> 1 2 解析:数列{an}满足an+1=2an+1,a1= 1,则an+1+1=2(an+1),a1+1=2。 因此,数列{an+1}是首项为2,公比为2 的等比数列,an+1=2n,即an=2n-1。 则bn=λ(2n-1)-n2+4n。因为数列 {bn}为单调递增数列,所以∀n∈N*,bn+1- bn>0。 则λ(2n+1-1)-(n+1)2+4(n+1)- [λ(2n-1)-n2+4n]=λ·2n-2n+3>0,故 λ> 2n-3 2n 。 令cn= 2n-3 2n ,则cn+1-cn= 2n-1 2n+1 - 2n-3 2n = 5-2n 2n+1 ,n∈N*。当n≤2时,cn+1> cn;当n≥3时,cn+1<cn。 因此,c3= 3 8 是数列{cn}的最大项,即当 n=3时, 2n-3 2n 取最大值 3 8 。 所以λ的取值范围为λ> 3 8 ,选C。 点评:已知数列的单调性求参数的取值 范围,可以类比“已知函数的单调性求参数的 取值范围”,转化为恒成立问题,分离变量仍 然是一种常用方法。 三、函数视角下数列的周期性 例 5 若数列{an}满足a1=2,an+1= 1+an 1-an ,则a2 024 的值为( )。 A.2 B.-3 C.- 1 2 D. 1 3 解析:因为a1=2,an+1= 1+an 1-an ,所以 a2=-3,a3=- 1 2 ,a4= 1 3 ,a5=2,则数列 {an}是以4为周期的周期数列。 故a2 024=a505×4+4=a4= 1 3 ,选D。 点评:像函数一样,数列也可能具有周期 性。已知数列的递推公式求通项公式,当常 用方法难以奏效时,采用枚举法求出数列的 部分项寻找规律,有时会达到峰回路转的效 果。 例 6 已知数列{an}满足an+1=1- 1 an ,a4=2,则S2 024= 。 解析:因为数列{an}满足an+1=1- 1 an , a4=2,所以a4=1- 1 a3 ,得a3=-1。由a3= 1- 1 a2 ,得a2= 1 2 。由a2=1- 1 a1 ,得a1=2。 所以数列{an}是以3为周期的周期数列。 S2 024=674(a1+a2+a3)+a2 023+a2 024= 674× 3 2+a1+a2= 2 027 2 。 点评:探索出数列具有周期性后,经分析 前2 024项共有674个周期,求出一个周期内 三项的和,再加剩下两项,问题就迎刃而解了。 四、函数视角下数列的恒成立与最值问 题 例 7 已知数列{an}满足a1+ 1 2a2+ 1 3a3+ …+ 1 nan=n 2+n(n∈N*),设数列 {bn}满足bn= 2n+1 anan+1 ,数列{bn}的前n 项和 为Tn,若Tn< n n+1λ (n∈N*)恒成立,则实 数λ的取值范围为( )。 A.14 ,+∞ B.14,+∞ C.38 ,+∞ D.38,+∞ 解析:数列{an}满足a1+ 1 2a2+ 1 3a3 +…+ 1 nan=n 2+n(n∈N*)。① 当n≥2时,a1+ 1 2a2+ 1 3a3+ …+ 1 n-1 · an-1=(n-1)2+n-1。② ①-②得, 1 nan=2n ,故an=2n2。 4 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2025年1月 当n=1时,a1=2满足上式。 则 bn = 2n+1 anan+1 = 2n+1 4n2(n+1)2 = 1 4 1 n2 - 1 (n+1)2 ,故Tn=14 1-122+122- 1 32 +…+ 1 n2 - 1 (n+1)2 =14 1- 1(n+1)2 。 由于 Tn< n n+1λ (n∈N*)恒成立,即 1 4 1- 1 (n+1)2 < nn+1λ 恒 成 立,整 理 得 λ> n+2 4n+4= 1 4+ 1 4(n+1) 。 因为 1 4+ 1 4(n+1) 随n 的增大而减小, 所以当n=1时, 1 4+ 1 4(n+1) 取最大值 3 8 。 故λ> 3 8 ,选D。 点评:将已知等式a1+ 1 2a2+ 1 3a3+ … + 1 nan=n 2+n(n∈N*)的左边看作一个新 数列 1 nan 的前n 项和,联想数列前n 项和 与通 项 之 间 的 关 系 求 出 通 项an,对 于 式 子 1 4+ 1 4(n+1) 的最大值我们可以借助函数的 单调性求解。 例 8 设数列{an}的前n 项和为Sn, 且a1=2,已知关于 x 的方程xt-an+1+ an+1=0有唯一的解,则an= ;若不等 式Sn+8≥kan 对任意的n∈N*恒成立,则k 的最大值是 。 解析:因为幂函数y=xt 恒过点(1,1), 且关于x 的方程xt-an+1+an+1=0有唯 一的解,所以方程的根为1,即1-an+1+an+ 1=0,所以an+1-an=2。 又a1=2,则数列{an}是以2为首项,2 为公差的等差数列,an=2+2(n-1)=2n,故 Sn=n(n+1)。 由 Sn +8≥kan,可 得 k≤ Sn+8 an = n(n+1)+8 2n = 1 2n+ 4 n+ 1 2 。 令f(x)= 1 2x+ 4 x+ 1 2 ,x∈(0,+∞), 则f(x)在(0,2 2)上单调递减,在(22, +∞)上单调递增,f(2)= 7 2 ,f(3)= 10 3 。 因为n∈N*,所以当n=3时, 1 2n+ 4 n+ 1 2 取最小值 10 3 。 则k≤ 10 3 ,即k的最大值为 10 3 。 点评:幂函数y=xt 恒过点(1,1)是解决 此题的突破口,第二问需要将求数列的最值 转化为求函数的最值,在利用对勾函数的图 像求 1 2n+ 4 n+ 1 2 的最值时,特别要注意n是 正整数。 五、以三角函数为载体的数列问题 例 9 已知数列{an}满足a1= π 6 , tan an+1cos an=1,an∈ 0, π 2 ,则sin an= 。 解析:因 为 tan an+1 = 1 cos an ,所 以 tan2an+1= 1 cos2an = sin2an+cos2an cos2an =1+ tan2an。 则{tan2an}是首项为tan2a1= 1 3 ,公差为 1的等差数列,故tan2an= 1 3+ (n-1)×1= 3n-2 3 。因为tan2an= sin2an 1-sin2an = 3n-2 3 ,所 以sin2an= 3n-2 3n+1 。又an∈ 0, π 2 ,故sin an= 3n-2 3n+1 。 点评:本题是已知数列的递推公式求通 项公式,与常见数列的递推公式不同的是表 达式中融入了三角函数,需要我们仔细分析 式子的结构特征。灵活运用同角三角函数关 系式,构造等差数列是解决本题的关键。 例 10 已知数列{an}满足an=2n- 1,Sn 为 {an}的 前 n 项 和,记 公 式 bn = 5 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2025年1月 Sncos n-1 2 π+Sn+1cos n 2π ,数列{bn}的前n 项和为Tn,则T50= 。 解析:由题意得Sn= (1+2n-1)n 2 =n 2, bn=n2cos n-1 2 π+ (n+1)2cos n 2π 。 所以T50=(b1+b2)+(b3+b4)+(b5+ b6)+(b7+b8)+…+(b49+b50)=(12-32) +(-32+52)+(52-72)+(-72+92)+… +(492-512)=-2(1+3-3-5+5+7- 7-9+…+49+51)=-104。 点评:本题构思新颖,bn 表达式结构的复 杂性往往令人望而却步,但考虑到三角函数 具有周期性变化的规律,尝试写出几项,不难 发现其中的数字特征。 六、以函数为载体的数列问题 例 11 若函数f(x)的定义域为(0, +∞),且f(x)+f(y)=f(xy),f(an)= n+f 1 n ,则∑ 100 i=1 f(iai)= 。 解析:在f(x)+f(y)=f(xy)中,令 x=y=1,得2f(1)=f(1),则f(1)=0;令 y= 1 x ,得 f(x)+f 1 x =f(1)=0,则 f 1 x =-f(x)。 所以n=f(an)-f 1 n =f(an)+f(n) =f(nan),则∑ 100 i=1 f(iai)=1+2+3+…+100 = (1+100)×100 2 =5 050。 点评:本题以抽象函数为载体,融入了数 列的求和,由已知等式联想到对数函数具有 这个性质,为赋值法的取值指明了方向。 例 12 已知函数f(x)的定义域为 (-1,1),f 1 2 =-1,且当x,y∈(-1,1) 时,恒有f(x)-f(y)=f x-y 1-xy ,数列 {an}满足a1= 1 2 ,an+1= 2an 1+a2n ,在数列{bn} 中,bn= 1 f(a1) + 1 f(a2) +…+ 1 f(an) 。 (1)求证:f(x)为奇函数。 (2)求f(an)的表达式。 (3)是否存在自然数 m,使得对任意的 n∈N*,都有bn< 1 4 (m-8)成立? 若存在, 求出m 的最小值;若不存在,请说明理由。 解析:(1)由题意知f(x)的定义域为 (-1,1)。 令x=y=0,则f(0)-f(0)=f(0),故 f(0)=0。 再令x=0,则f(0)-f(y)=f(-y), 可得f(-y)=-f(y)。 因此,f(x)为奇函数。 (2)因 为 f (an+1)=f 2an 1+a2n = f an-(-an) 1-an(-an) =f(an)-f(-an) = 2f(an),显然f(an)≠0,所以 f(an+1) f(an) =2。 所以当n≥2时,f(an) = f(an) f(an-1) · f(an-1) f(an-2) ·…·f (a2) f(a1) ·f(a1) = f(a1)2n-1 =-2n-1,n∈N*。 当n=1时,f(a1)=-1满足上式。 故f(an) =-2n-1,n∈N*。 (3) 由 题 意 及 (2) 知 bn = - 1 + 1 2 + 1 22 + … + 1 2n-1 =21-n-2。 所以21-n-2< 1 4 (m-8)(n∈N*)恒成 立,即m>23-n(n∈N*)恒成立。 因为n∈N*,所以23-n 的最大值为4,则 自然数m 的最小值为5。 点评:本题综合考查抽象函数奇偶性的 判断,累乘法求数列的通项公式及恒成立问 题。解 题 过 程 中 由 抽 象 函 数 满 足 的 等 式 f(x)-f(y)=f x-y 1-xy ,结合函数的奇偶 性,对 数 列 的 递 推 公 式 进 行 变 形,推 理 出 f(an+1) f(an) =2,对同学们的逻辑推理能力和运 算能力都是一次挑战。 (责任编辑 赵 倩) 6 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2025年1月