3.2.2 不等式的性质3 课件+教案2024-2025学年湘教版数学七年级下册

新湘教版初中数学七年级下册 《不等式的性质3》教学设计 【教学目标】 1.理解掌握不等式的基本性质3，并能利用不等式的基本性质对不等式进行适当的变形。 2.通过等式的基本性质1、2与不等式性质1、2比较，引出对不等式的基本性质3的探究，并通过实例学习利用不等式基本性质对不等式进行适当变形。 3.培养学生的观察比较能力，从实践中总结规律的能力，分析问题、解决问题的能力。学习所需的数学知识和技能，激发学生学习数学的兴趣。 【教学重点】 理解掌握不等式的基本性质，并能理解掌握三者之间的异同；不等式基本性质与等式基本性质的异同。 【教学难点】 不等式基本性质3与其它两个性质的异同；不等式性质与等式性质的异同。 【教学方法】 比较法、观察法、分析归纳法、练习法、小组合作交流法、启发式、讲授法。 【教学过程】 〖温故知新1〗 用“＞”或“＜”填空： （1）由a＞b，可得a-3 ＞ b-3；(不等式两边都减去3) （2）由m＜n，可得2m ＜ 2n；（等式两边都乘以了2） （3）由0.5x＞7，可得x ＞ 14；（等式两边都除以了0.5） （4）由x-1＜5，可得x ＜ 6。（等式两边都加上了1） 【设计意图】 检查学生对不等式基本性质1、2的掌握情况。 〖温故知新2〗 比一比： 1.提问：不等式基本性质1、2与等式基本性质1、2有什么异同？ （1）等式基本性质1:等式两边同时加（或减去）同一个数（或代数式），等式依然成立。 不等式基本性质1:不等式两边同时加（或减去同一个数（或代数式），不等号方向不变。 答：条件相同：都是加上（或减去）同一个数（或代数式）。 结论不同：一个是等式成立；一个是不等号方向不变。 （2）等式基本性质2:等式两边同时乘（或除以）同一个数或代数式（除数不为零），等式依然成立。 等式基本性质2:等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 答:条件不同：等式是同时乘（或除以）同一个数（除数不为0）；不等式是同时乘（或除以）同一个正数。 结论不同：一个是等式依然成立；一个是不等号方向不变。 2.提问：如果不等式两边同乘（或除以）同一个负数，会发生怎样的结果？ 【设计意图】 将不等式基本性质1、2与等式基本性质1、2进行比较，让学生区别异同。同时，提出问题，激发学生探究不等式基本性质3的兴趣。 〖新知探究1〗 1.先用“＞”或“＜”填空： 2.观察上面填空的结果，由此可猜测出什么结论? 答：猜测出的结论：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数数，不等号方向改。 3.猜测：若a，b，c都是实数，且a＜b，c＜0，则ac＞bc， ＞? 解：猜测正确。理由如下： ∵a＜b，则a-b＜0， 又∵c＜0，∴(a-b)c＞0 ∴ac-bc＞0 ∴ac＞bc 又＜0，同理可得a﹒＞b﹒,即:＞。 4、提问：对于实数a，b，c，若a＞b，c＜0，类似地，可以得到: ac＜bc，＜。 5、总结归纳： 不等式基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 即，如果a＜b，c＜0，则ac＞bc， ＞； 如果a＞b，c＜0，那么 ac＜bc，＜。 【设计意图】 从具体实例出发，让学生在填空→观察→发现规律→猜测→交流讨论→总结归纳的过程中探究不等式的基本性质3，参入到知识构建过程中。 〖新知应用1〗 例4 用“＞”或“＜”填空： （1） 已知a＜b，则- ＞ -； 解：∵a＜b，-3＜0，∴-＞ -（不等式的两边都除以-3） （2） 已知a＞b，则 - ＜ -。 解：∵a＜b，-＜0，∴- ＜-（不等式的两边都乘以-） §强调： 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 【设计意图】 通过实例，训练学生利用不等式基本性质3对不等式变形。 〖新知应用2〗 例5 把下列不等式化为x＜a或x＞a的形式 （1） 10x＜3x-7； 解：10x-3x＜3x-7-3x，（不等式的两边都减去3x) 7x＜-7（合并同类项) x＜-1（不等式的两边都除以7) （2）-x＞2； 解：（-x)﹒(-)＜2×(-) (不等式的两边都乘以-） x＜- （3）- x-5＜3 解：- x-5+5＜3+5 (不等式的两边都加上5） - x＜8 (合并同类项） x＞-56 （不等式的两边都乘-7） 【设计意图】 通过实例，训练学生灵活运用用不等式基本性质将不等式变形变成x＜a或x＞a的形式，逐渐引导学生求不等式的解，为下节课做铺垫。 〖新知探究2〗 1.观察上面的变形，你发现了什么规律？ 2.移项的概念：把不等式一边的某一项改变符号后移到另一边的变形称为移项。 §强调：移项要变号。 【设计意图】 通过实例，让学生观察并总结归纳出移项的本质：利用不等式基本性质1。同时，也让学生注意移项法则：移项要变号。 〖新知探究2〗 1.提问：不等式的基本性质与等式的基本性质有什么相同点和不同点？ 相同点：等式或不等式的两边同时加上（或减去）同一个数，等式或不等式仍然成立。 不同点：等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0 的数，等式仍然成立； 等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等式仍然成立,但如果的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等式改变方向。 2.议一议：不等式两边可以乘以“0”吗？ 答：不等式两边都乘以0，两边就都为0了！ 【设计意图】 通过比较等式基本性质与不等式性质基本性质的异同，辨别不等式性质的不同之处，牢记：不等式性质3：不等式两边都乘同一个负数，不等式方向改变。 〖巩固练习〗 1. 已知3＜π，用“＞”或“＜”填空 （1）- ＞ -π (不等式两边都乘-) （2）- ＞ - (不等式两边都乘-) (3） ＜ +1 题析：不等两边都除以2得：＜；不等两边都加上1得：＜+1。 （4） ＞ - +2 题析：不等式两边都乘以-得：-＞-；不等式两边都加上2得： ＞-+2。 【设计意图】 通过练习，检查学生利用不等式基本性质变形不等式情况。 2. 把下列不等式化为x＜a或x＞a的形式： （1） 5x + 8＞-2； （2） 2x＜x + 6； 解： 5x ＞-2-8 （移项） 解： 2x-x＜ 6（移项） 5x＞-10 （合并同类项） x＜6 （合并同类项） x＞-2（不等式性质2） （3）-4x + 7＜-1； （4）. 3x + 8＜ x + 2 解：-4x ＜-1-7（移项） 解： 3x -x＜2-8（移项） -4x ＜-8（合并同类项） 2x＜-6（合并同类项） x＞2（不等式性质3） x＜-3（不等式性质2） 【设计意图】 通过练习，检查学生利用不等式基本性质将不等式化成x＜a或x＞a的形式的情况。 〖挑点平台〗 1. 设 a，b，c 都是实数，如果a＞b且 b＞c，那么a＞c. 不等式的这一性质称为传递性，试写出理由。 解：∵a＞b且 b＞c，∴a-b＞0, b-c＞0， ∴(a-b)+(b-c)＞0,即：a-c＞0，∴a＞c 【设计意图】 通过练习，让学生推导不等式的传递性，培养学生的逻辑推理能力。 【课后小结】 1.不等式的基本性质3：等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 2.不等式性质与等式性质的异同：同加同减不变向；同乘同除看正负，如是正数不变向，如是负数要变向。 3.移项：不等式 中移项要变号。（理论根据：不等式性质1） 【板书设计】 【课后作业】 课堂作业：P64习题3.2第3、4题； 课后作业：P64习题3.2第5题，P81复习题3第2、4题。并预习P66~67《解不等式》。 【教学反思】 1.亮点：先比较不等式性质1、2与等式性质1、2的不同，引出问题：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，会出现什么结果？激发学生探究的兴趣。然后通过具体实例，让学生在填空→观察→发现规律→猜测→交流讨论→总结归纳出不等式性质3。并在学生学习利用不等式性质对不等式变形后，将不等式性质 与等式性质对比，加深了学生对不等式性质3的掌握。 2.不足：课本没有对不等式性质与等式性质进行比较。 3.教学建议：在学生学习不等式性质后，将不等式性质与等式性质进行比较，加深学生对不等式性质的理解和掌握。 学科网（北京）股份有限公司 $$新湘教版数学七年级下册 不等式的性质3 本节内容 3.2.2 第三章 一元一次不等式（组) 1.理解掌握不等式的基本性质3，并能利用不等式的基本性质对不等式进行适当的变形。 理解掌握不等式的基本性质，并能理解掌握三者之间的异同；不等式基本性质与等式基本性质的异同。 学习目标 重 点： 前言 不等式基本性质3与其它两个性质的异同；不等式性质与等式性质的异同。 难 点： 2.通过等式的基本性质1、2与不等式性质1、2比较，引出对不等式的基本性质3的探究，并通过实例学习利用不等式基本性质对不等式进行适当变形。 3. 培养学生的观察比较能力，从实践中总结规律的能力，分析问题、解决问题的能力。学习所需的数学知识和技能，激发学生学习数学的兴趣。 2 温 故 知 新 用“＞”或“＜”填空： 不等式两边都减去3 （1）由a＞b，可得a-3 b-3 ＞ （2）由m＜n，可得2m 2n 等式两边都乘以了2 ＜ （3）由0.5x＞7，可得x 14 等式两边都除以了0.5 ＞ （4）由x-1＜5，可得x 6 等式两边都加上了1 ＜ 3 比 一 比 等式基本性质1: 等式两边同时乘（或除以）同一个数或代数式（除数不为零），等式依然成立。 等式两边同时加（或减去）同一个数（或代数式），等式依然成立。 等式基本性质2: 不等式基本性质1、2与等式基本性质1、2有什么异同？ 相互交流 不等式基本性质1: 不等式两边同时加（或减去同一个数（或代数式），不等号方向不变。 等式基本性质2: 不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 4 比 一 比 相互交流 条件相同：都是加上（或减去）同一个数（或代数式）。 结论不同：一个是等式成立；一个是不等号方向不变。 5 比 一 比 相互交流 条件不同：等式是同时乘（或除以）同一个数（除数不为0）；不等式是同时乘（或除以）同一个正数。 结论不同：一个是等式依然成立；一个是不等号方向不变。 如果不等式两边同乘（或除以）同一个负数，会发生怎样的结果？ 6 不等式的性质3 探究 先用“＞”或“＜”填空： （1）4 3 ； -4 -3 ； 观察结果，由此可猜测出什么结论? （2） 2 ； - -1； ＞ 两边同乘(-1) ＜ ＜ 两边同除以(-2) ≈-0.707 ＞ 不等号改变方向 不等号改变方向 不等式两边同时乘（或除以）同一个负数数，不等号方向改。 7 不等式的性质2 探究 若a，b，c都是实数，且a＜b，c＜0，则ac＞bc， 猜测：若a，b，c都是实数，且a＜b，c＜0，则ac＞bc， √ 证：设a，b，c都是实数. ∵a＜b，则a-b＜0， ∴ac-bc＞0 又∵c＜0， 又＜0，同理可得a﹒＞b﹒,即: ∴(a-b)c＞0 ∴ac＞bc 对于实数a，b，c，若a＞b，c＜0，类似地，可以得到: ac＜bc， 8 不等式的性质1 小结归纳 不等式基本性质3： 即，如果a＜b，c＜0，那么ac＞bc，. 一般地，不等式具有如下性质： 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc，. 9 典例分析 做一做 例4 用“＞”或“＜”填空： （1） 已知a＜ b，则- -； 对点练习 （2） 已知a＞b，则 - -。 不等式的两边都除以（-3） 不等式的两边都乘以（-） 解：∵a＜b，-3＜0， 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 ∴-＞- ＞ 解：∵a＞b，-＜0， ∴ -＜ -。 ＜ 10 典例分析 做一做 例5 把下列不等式化为x＜a或x＞a的形式： （1） 10x＜3x-7； （3）- x-5＜3. （2）-x＞2； 解：10x-3x＜3x-7-3x 不等式的两边都减去3x 7x＜-7 合并同类项 x＜-1 不等式的两边都除以7 不等式的两边都乘以- 解：(-x)﹒(-)＜2×(-) x＜- 不等式的两边都加上5 解：- x-5+5＜3+5 合并同类项 -x＜8 不等式的两边都乘(-7） x＞-56 11 不等式 变 形 例5 把下列不等式化为x＜a或x＞a的形式： （1） 10x＜3x-7； （3）- x-5＜3. 解：10x-3x＜3x-7-3x 10x-3x＜-7 x＜-1 解：- x-5+5＜3+5 -x＜3+5 x＞-56 观察上面的变形，你发现了什么规律？ 移项变号 移项变号 把不等式一边的某一项改变符号后移到另一边的变形称为移项 移项要变号！ 12 等式、不等式性质异同 议一议 不等式的基本性质与等式的基本性质有什么相同点和不同点？ 相同点： 不相同点： 等式或不等式的两边同时加上（或减去）同一个数，等式或不等式仍然成立。 等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0 的数，等式仍然成立。 不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等式仍然成立,但如果的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等式改变方向。 不等式两边可以乘以“0”吗？ 继续学习 13 练 习 1. 已知3＜π，用“＞”或“＜”填空： （1）- -； （2）- -； （3） +1； （4） - +2； ＞ ＞ 不等两边都除以2得：＜ ＜ 不等式两边都乘以-得：-＞- ＞ 不等式两边都乘(-) 不等式两边都乘(-) 不等两边都加上1得：＜+1 不等式两边都加上2得：＞-+2 继续学习 14 练 习 2. 把下列不等式化为x＜a或x＞a的形式： （1） 5x+8＞-2； （3）-4x + 7＜-1 （2） 2x＜x + 6； （4） 3x + 8＜x + 2. 移项 解：5x＞-2-8 合并同类项 5x＞-10 两边都除以5 x＞-2 移项 合并同类项 x＜6 解：2x-x＜6 移项 解：-4x＜-1-7 合并同类项 -4x＜-8 两边都除以(-4) x＞2 移项 解：3x-x＜2-8 合并同类项 2x＜-6 两边都除以2 x＜-3 15 练 习 挑战平台 1. 设 a，b，c 都是实数，如果a＞b且 b＞c，那么a＞c. 不等式的这一性质称为传递性，试写出理由。 解：∵a＞b且 b＞c ∴a-b＞0, b-c＞0 ∴(a-b)+(b-c)＞0,即：a-c＞0 ∴a＞c 课堂总结 不等式基本性质 性质1： 不等式的两边都加上（或都减去）同一个数或（式），不等号的方向不变. 性质2: 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 性质3: 同加同减不变向;同乘同除看正负,如是正数不变向,如是负数要变向. 17 作 业 课堂作业：P64习题3.2第3、4题; 课后作业：P64习题3.2第5题，P81复习题3第2、4题。并预习P66~67《解不等式》。 18 湘教版初中数学七年级下册 课程结束 $$