抛物线专题训练-2025届高三数学一轮复习

抛物线专题训练-2025年高考数学一轮复习题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知抛物线，则抛物线C的焦点到准线的距离是（   ） A．4 B． C．3 D． 2．顶点在原点，焦点是的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 3．二次函数的图象是抛物线，该抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．抛物线的焦点为，点在上，则（   ） A． B． C． D． 5．已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与点P到该抛物线焦点F的距离之和的最小值为（  ） A．3 B． C．4 D． 6．已知抛物线：的焦点为F，点P是C上的一点，点，则周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点F处，已知卫星接收天线的口径（直径）为10m，深度为3m，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线焦点到顶点的距离为（   ） A． B． C． D． 8．鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一部分，其宽为8m，高为0.8m，根据图中的坐标系，该抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知抛物线过点则以下选项正确的是（    ） A．抛物线方程为或 B．抛物线的准线方程可能为 C．这个点到焦点的距离为 D．这个抛物线一定还经过点 10．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交于点、（其中），与的准线交于点，下列结论正确的是（  ） A． B． C．为线段中点 D．的面积为 11．如图，圆锥的顶点为，将半径为的球置于该圆锥内，使得球与圆锥侧面相切于圆，平面与球切于点为圆上一点，四点共面，且平面，平面截该圆锥所得截口曲线为为曲线上一动点，记圆所在平面为平面，垂足为交圆于点，，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．是双曲线的一部分 D．若越大，则曲线的开口越大 三、填空题 12．抛物线的焦点坐标为 ． 13．在平面直角坐标系中，已知抛物线上的点与焦点的距离为，到轴的距离为，则的值为 ． 14．已知，抛物线的焦点为F，为上一点，若，则 ． 四、解答题 15．已知抛物线的焦点到准线的距离是. (1)求抛物线的方程和准线方程； (2)若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长． 16．已知是抛物线上一点，是的焦点，. (1)求的方程及的坐标； (2)设，直线与交于两点，若的重心在上，求面积的最大值. 17．设，点是抛物线上的动点，点到抛物线的准线的距离最小值为2. (1)求的最小值； (2)求的取值范围； (3)证明：. 18．已知圆：. (1)若直线平分圆，求的最小值； (2)顶点在原点，焦点在轴上的抛物线的准线与圆相切，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点，求的最大值. 19．已知椭圆的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与重合，点G是C与E在第一象限的交点，且. (1)求E的方程. (2)设过点的直线l与E交于点M，N，交C于点A，B，且A，B，M，N互不重合. （ⅰ）若l的倾斜角为45°，求的值； （ⅱ）若P为C的准线上一点，设PA，PB，PF2的斜率分别为，证明：为和的等差中项. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《抛物线专题训练-2025年高考数学一轮复习题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C C C B C ABC BC 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】将抛物线转化为的形式，求出，求出抛物线C的焦点到准线的距离. 【详解】由抛物线可得， 所以，，故抛物线C的焦点到准线的距离是． 故选：B． 2．B 【分析】由焦点坐标得到，得到抛物线方程. 【详解】由题意知抛物线开口向上，，故抛物线的标准方程是：． 故选：B 3．A 【分析】将抛物线方程化为标准方程，可得出其焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为，则，可得，故其焦点坐标为. 故选：A. 4．C 【分析】根据给定条件，求出，再利用抛物线定义求得答案. 【详解】抛物线的准线方程为，由点在上，得， 所以. 故选：C 5．C 【分析】根据抛物线的定义确定抛物线上点到定点距离与到焦点距离之和的最小值即可. 【详解】由，如下图示，若准线于，则， 所以，当且仅当共线时取等号， 所以最小的. 故选：C 6．C 【分析】过点P作C的准线的垂线，垂足为，结合抛物线定义及三角形的性质有求周长最小值. 【详解】由题知，准线方程为，过点P作C的准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义知，又， 所以， 当且仅当M，P，三点共线时取得最小值， 故周长的最小值是. 故选：C 7．B 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，结合条件列方程求，结合抛物线性质可求结论. 【详解】由题意建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为. 由题意可得，将点的坐标代入抛物线的方程可得， 解得，所以抛物线的方程为， 焦点的坐标为，即， 所以抛物线焦点到顶点的距离为. 故选：B. 8．C 【分析】根据给定条件，设出抛物线方程，利用待定系数法求出抛物线方程. 【详解】依题意，设该抛物线的方程为， 由点在此抛物线上，得，解得， 所以该抛物线的方程为. 故选：C 9．ABC 【分析】分焦点在轴和在轴上两种情况讨论即可判断A；根据抛物线准线的定义即可判断B；根据抛物线的定义即可判断C；将点代入抛物线方程即可判断D. 【详解】对于A，当焦点在轴上时，设抛物线的方程为， 则，解得，所以抛物线方程为， 当焦点在轴上时，设抛物线的方程为， 则，解得，所以抛物线方程为， 综上所述，抛物线方程为或，故A正确； 对于B，当抛物线方程为时，准线方程为，故B正确； 对于C，当抛物线方程为时，点到焦点的距离为， 抛物线方程为时，点到焦点的距离为， 综上所述，点到焦点的距离为，故C正确； 对于D，当抛物线方程为时， ，所以抛物线不经过点，故D错误. 故选：ABC. 10．BC 【分析】求出直线的方程，与抛物线联立，根据韦达定理得出，，推出，可判断A项；解方程得出点、的坐标，根据抛物线的定义求出的值，可判断B项；求出点，得出线段中点的坐标，即可判断C项；根据B可得出，进而求出点到直线的距离，即可得出面积，判断D项. 【详解】 由已知可得，，准线，直线的方程为. 联立直线的方程与抛物线的方程，可得，. 由韦达定理可得，，. 又，，所以， 又，所以，故A项错误； 对于B项，结合图象，解可得，，. 过点作，垂足为，则. 根据抛物线的定义可得，，同理可得，故B项正确； 对于C项，因为，所以，则点. 将代入直线的方程为可得，，即. 所以，线段中点坐标为，恰好为点，故C项正确； 对于D项，. 点到直线，即的距离为， 所以，的面积，故D项错误. 故选：BC. 11．ABD 【分析】根据圆的切线性质判定A； 根据面面垂直，线面垂直性质得到，再用线性平行得结论判定B； 作垂直平面于H，结合等角定理得到，进而得，最后均为球的切点，得，得到， 进而得到的轨迹为拋物线，判定C； 圆锥过的轴截面，画出图，计算出，得到方程可得该抛物线的开口随着的增大而增大判定D. 【详解】因为均为球的切点，易得，A正确； 设平面平面，直线交于， 因为，所以， 因为，所以， ，所以， 由平面， 所以平面， 平面， 所以， 又，所以， 因为，所以正确； 作垂直平面于H，又因为， 所以， 由等角定理可得， 平面， 得， ， 又均为球的切点，则易得， 所以恒有， 即，其中为定点，为到定直线的距离， 所以的轨迹为拋物线，C错误； 圆锥过的轴截面，如图所示， 取中点，易知为的中点， 所以，所以， ， 在平面内，若以为坐标原点，为轴正向，可得方程为可得该抛物线的开口随着的增大而增大，D正确. 【点睛】关键点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键. 12． 【分析】将抛物线方程化为，借助图形变换求出抛物线的焦点坐标即可. 【详解】抛物线，即可视为抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位而得， 而抛物线的焦点坐标为，所以抛物线的焦点坐标为. 故答案为： 13．2 【分析】首先求出准线方程，根据焦半径公式求出，再由，代入方程，解得即可. 【详解】抛物线的准线方程为， 因为点与焦点的距离为，所以，即， 又到轴的距离为，即， 所以，解得或（舍去）. 故答案为： 14．5 【分析】根据题意，即，利用数量积的坐标运算和点在抛物线上求得，最后再由抛物线的定义求解. 【详解】由题可知，，， 因为，所以， 又，所以，解得， 所以，所以. 故答案为：5. 15．(1)， (2)8 【分析】（1）根据抛物线的性质，焦点到准线的距离是，可得解； （2）根据抛物线焦点弦公式求解. 【详解】（1）焦点到准线的距离是， 抛物线的方程为，即.     准线方程为. （2）由（1）知焦点，直线的方程为，                 由 ，消去得，            则，                16．(1)，点； (2). 【分析】（1）利用给定点及抛物线的定义，列式求出，即得抛物线方程及点的坐标. （2）设直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合弦长公式表示出面积，利用的重心在上进行化简，再根据算式判断最大值. 【详解】（1）由是抛物线上的点，是的焦点，， 得到抛物线的准线的距离，解得， 所以抛物线方程为：，点. （2）显然直线不垂直于轴，设直线， 由不共线，得，令G为的重心，如图， 由，得，则， 设重心，则， 由重心在上，得，则，， 直线与交于两点，方程有两个不相等的实数根， 由，得，因此且， 因此的面积 ， 设，则， 令函数，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，因此，， 所以面积的最大值为. 【点睛】思路点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 17．(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据题设有，设，应用两点距离公式及导数求距离最小值； （2）由题设有，结合，应用差角正切公式得，分类讨论求的范围，即可的取值范围； （3）结合（2）的分析有，即可证结论. 【详解】（1）由题设，则抛物线， 设点，则， 记，则， 因为，所以，解得. 所以时，时，则在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为，故的最小值为. （2） 依题意及（1），知， 由或， 根据到角公式，得：. 当时，，则； 当时，， 所以，则； 当时，， 所以，则. 综上，的取值范围是. （3）由（2）知，且，所以. 18．(1)4 (2) 【分析】（1）根据题设知直线过圆心，则，，，在应用基本不等式“1”的代换求目标式的最值； （2）根据题设有抛物线，进而可得，，，其中，再应用基本不等式求目标式最值. 【详解】（1）由圆的方程，即， 则圆的圆心，半径， 由题意知，直线过圆心， 则，即，，， 由， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值是4. （2）由题意，抛物线的准线为，所以抛物线方程为，焦点， 所以，，，其中， 所以，时有 ， 当且仅当，即时等号成立； 而时，，，则. 所以的最大值是. 19．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据抛物线的定义求出焦点坐标，进而得到椭圆的右焦点坐标，再利用椭圆和抛物线的交点坐标满足两个方程来确定椭圆方程.   （2）（i）根据直线的倾斜角得到直线方程，然后分别代入椭圆和抛物线方程，利用弦长公式求出和的值，进而求出它们的比值. （ii）设出直线方程，求出交点坐标，再根据斜率公式计算出，然后证明. 【详解】（1）由已知得C的焦点为，即，所以.①     因为，由抛物线的定义可得，所以. 代入E的方程可得.②     由①②解得，，所以E的方程为. （2）设，，，. （ⅰ）因为直线l的倾斜角为45°，所以，直线l的方程为. 联立整理得，则， 所以.     联立整理得， 则，， 所以.     所以.   （ⅱ）由题意知，， 设，且直线AB的方程为. 联立整理得，显然， 则，，     所以，，，     ，     又，即， 所以为和的等差中项. 【点睛】知识点点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$