6.3 解三角形 (第2课时)（九大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

6.3 解三角形 (第2课时) 题型一 利用正、余弦定理判断三角形的形状 1．在△ABC中，，则△ABC的形状为 三角形．（填锐角、直角、钝角） 2．在△中，若，则△的形状是 三角形． 3．在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，则该三角形为 三角形. 4．在中，有，试判断的形状 （从“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中选一个填入横线中）. 5．在中，若，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 6．已知的内角所对的边分别为下列说法正确的是（    ） A．若，则是等腰三角形 B．若，则是直角三角形 C．若，则是直角三角形 D．“”是“是等边三角形”的充分不必要条件 题型二 几何图形中的计算 7．如图，在中，，是边上一点，，，，则 . 8．如图，已知等腰三角形ABC的顶角，D是腰AB上一点．若，，则 ． 9．如图所示，在四边形中，已知，，，，， ． 题型三 边长、周长最值或取值范围问题 10．锐角中，，，则的取值范围是 . 11．平面四边形ABCD中，，，则边AB长度的取值范围是 ． 12．在中，角，，的对边分别为，，，，． (1)求角； (2)若是线段的中点，且，求； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 13．在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 14．锐角中角、、的对边分别为、、，且． (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围． 题型四 三角形的面积最值或取值范围问题 15．已知a、b、c分别为的三个内角A、B、C的对边，，且，则面积的最大值为 ． 16．若锐角的内角、、的对边分别为、、，且，，则面积的取值范围为 . 17．在中，、、三个内角所对的边依次为、、，且，若，则的面积的最大值为 18．在中，角的对边分别为. (1)求角； (2)若的外接圆半径为2，求面积的最大值. 题型五 证明恒等式 19．在中，AD是的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上． (1)用正弦定理证明； (2)若，求DE的长． 20．在中，. (1)求的大小； (2)若，证明：. 21．在中，角，，的对边为，，，已知，且. (1)若，求； (2)证明：; 22．在中，角的对边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)若外接圆的半径为，点D为边的中点，证明：． 题型六 解三角形的实际应用—距离测量问题 23．一船以的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东方向，1小时30分后航行到B处，在B处看灯塔S在船的南偏东方向，则灯塔S与B之间的距离为 . 24．如图，一艘船向正北航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上．1小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔的距离为 ． 25．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为67°、30°，此时气球的高是46m，河流的宽度约等于 m. （参考数据：，，，，） 题型七 解三角形的实际应用—高度问题 26．如图，某学校老师组织高一年级学生外出开展数学活动，经过某公园时，发现工人们正在建5G信号柱，于是老师们就带领学生们对信号柱的高度进行测量.已知信号柱直立在地面上，学生在处测得信号柱顶端的仰角为，沿斜坡从点走到点，米，坡比为，在处测得信号柱顶端的仰角为，求信号柱的高度. 27．如图，某建筑物顶部有一旗杆，且点A、B、C在同一条直线上，小明在地面D处观测旗杆顶端B的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的E处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，已知建筑物的高度为12米. (1)求点E到建筑物的距离； (2)求旗杆的高度.（保留1位小数） 28．如图，某人身高1.73m，他站的地点A和云南大理文笔塔塔底O在同水平线上，他直立时，测得塔顶M的仰角（点E在线段上，忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段向塔前进100m到达点B，在点B直立时，测得塔顶M的仰角：塔尖的视角（N是塔尖底，在线段上）.    （1）求塔高 ； （2）此人在线段上离点O 米，他直立看塔尖的视角最大？ 参考数据：，，. 题型八 解三角形的实际应用—角度问题 29．如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？（角度精确到） 30．如图，是某海域位于南北方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/时. (1)求两点间的距离； (2)该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数据：，角度精确到0.01） 31．某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究． (1)小王获得了以下信息： ．教学楼和体育馆之间有一条笔直的步道； ．在步道上有一点，测得到教学楼顶的仰角是，到体育馆楼顶的仰角是； ．从体育馆楼顶测教学楼顶的仰角是； ．教学楼的高度是20米． 请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度． (2)小李获得了以下信息： ．体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米； ．大屏幕的高度是2米； ．当观众所站的位置到屏幕上下两端，所张的角最大时，观看屏幕的效果最佳． 请帮助小李完成任务二：求步道上观看屏幕效果最佳地点的位置． 题型九 解三角形的实际应用—其他问题 32．如图，某校园内有一块圆形草坪，其内接区域内种植花卉（阴影部分），已知，，，现为了扩大花卉的种植面积，欲在弧上找一点，使得新的种植区域的面积（单位：）最大，则的值为 ． 33．如图，港口在港口正东的海里处，小岛在港口的北偏东的方向上，且在港口的北偏西的方向上．一艘科学考察船从港口出发，沿北偏东的方向以海里/小时的速度驶离港口．一艘给养快艇从港口沿方向以海里/小时的速度驶向小岛，在岛装运补给物资后以相同的速度送往科学考察船．已知两船同时出发，补给物资装船时间为小时．给养快艇驶离港口后，能和科学考察船相遇的最少时间为 ． 34．假期间，小致同学临时起意想去电影院看电影，他想选择一个视角最好的座位．由于电影的观众比较多，当他打开订票软件时，只剩下第1至15排最边上的15个座位． (1)电影院的剖面图如上左图所示（单位：米），观众坐第一排时，眼睛离地高度为1.20米，影院前后两排座位高度差为0.50米，如果小致想要得到更好的直方向视角（即眼睛与屏幕中点的连线尽可能保持水平，不考虑水平方向视角），你建议他选择哪一排的座位?请通过计算说明理由． (2)电影院的俯视图如上右图所示（单位：米），观众坐第一排时，眼睛与屏幕墙面的垂直距离为3.00米，影院前后两排观众间距1.00米，如果小致想得到最好的水平方向视角（即眼睛看屏幕两侧的视线夹角最大，不考虑前后排高度差与竖直方向视角），你建议他选择哪一排的座位？请通过计算说明理由． 一、填空题 1．已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积的最大值为 ． 2．如图，在中，，，，，则 ， . 3．如图，已知是半径为的扇形，，是弧上的动点，过点作，垂足为，某地区欲建一个风景区，该风景区由和矩形组成，且，则该风景区面积的最大值为 .    4．如图，为方便市民游览市区中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知AB，AC为夹角为的公路长度均超过5千米，在两条公路AB，AC上设立游客上、下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得千米，千米.若，则两条观光线路PM与PN之和的最大值为 千米. 5．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德·费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点.已知点为的费马点，角A、B及C的所对边的边长分别为a、b及c，若，且，则的值为 . 6．记的内角的对边分别为.已知，则的取值范围为 . 二、单选题 7．小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（    ） A． B． C． D． 8．凸四边形就是没有角度数大于的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为 A．3 B．4 C． D． 三、解答题 9．如图，某广场有一块不规则的绿地，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为、，经测量，，，． (1)求的长度； (2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低（请说明理由）？较低造价为多少？ 10．燕山公园计划改造一块四边形区域铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划条人行道、、、以及两条排水沟、，其中、、分别为边、、的中点． (1)若，求的余弦值； (2)若，求排水沟的长； (3)当变化时，求条人行道总长度的最大值．（单位百米） 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3 解三角形 (第2课时) 题型一 利用正、余弦定理判断三角形的形状 1．在△ABC中，，则△ABC的形状为 三角形．（填锐角、直角、钝角） 【答案】钝角 【分析】由正弦定理得边的关系，再由余弦定理确定最大角的大小，得三角形形状． 【解析】因为，由正弦定理得，因此最大，从而角最大， 设，则， 所以角为钝角，为钝角三角形， 故答案为：钝角． 2．在△中，若，则△的形状是 三角形． 【答案】等腰 【分析】由已知，结合正弦定理边角关系及两角和差的正弦公式可得，即可判断△的形状. 【解析】由题设知：，又， ∴，即， ∴在△中，即△是等腰三角形. 故答案为：等腰 3．在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，则该三角形为 三角形. 【答案】直角 【分析】首先由余弦定理得，再由同角三角函数的基本关系结合正弦定理可得， 则三角形的形状可判断. 【解析】∵，∴， ∵，∴该三角形为直角三角形. 故答案为：直角. 4．在中，有，试判断的形状 （从“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中选一个填入横线中）. 【答案】直角三角形 【分析】注意到在中，有（），结合二倍角公式即可求解. 【解析】由二倍角公式可知，， 且注意到在中，有， 因此可将已知转换为，解得， 因为是的一个内角，所以，即是直角三角形. 故答案为：直角三角形. 5．在中，若，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦值相等得到或，即可判断. 【解析】由，又， 所以或，为等腰三角形或直角三角形， 故选：D. 6．已知的内角所对的边分别为下列说法正确的是（    ） A．若，则是等腰三角形 B．若，则是直角三角形 C．若，则是直角三角形 D．“”是“是等边三角形”的充分不必要条件 【答案】C 【分析】利用正弦定理和余弦定理，将已知式边角互化，根据正弦函数，余弦函数的图象，借助于二倍角公式、降幂公式化简.即可一一判断正误. 【解析】对于A项，由和正弦定理，， 即，故得或， 即或，即是等腰三角形或直角三角形，故A项错误； 对于B项，因，由余弦定理，， 代入化简得，，即得，故是等边三角形，故B项错误； 对于C项，由和正弦定理，,化简得，(*)， 因,则,代入(*),得， 因，，则，故,即C项正确； 对于D项，若是等边三角形，则,即必成立， 故“”是“是等边三角形”的必要条件，故D项错误. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查三角形中正弦定理、余弦定理的应用，属于较难题. 解决此类题的方法主要有： （1）边的齐次型问题，一般考虑运用正弦定理化边为角； （2）内角的正弦的齐次型，一般考虑运用正弦定理化角为边； （3）边或正弦的二次型，一般考虑直接运用余弦定理或化角为边后再用余弦定理； （4）正余弦混合的二次型，一般考虑运用降幂公式降次. 题型二 几何图形中的计算 7．如图，在中，，是边上一点，，，，则 . 【答案】 【分析】首先利用余弦定理得到，从而得到，再利用正弦定理即可得到答案. 【解析】在中，由余弦定理可得：， ，则. 在中，由正弦定理可得， 则. 故答案为： 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的综合应用，属于简单题. 8．如图，已知等腰三角形ABC的顶角，D是腰AB上一点．若，，则 ． 【答案】1 【分析】设，则，且，即，则，设，，，则，然后在中利用余弦定理可得，在等腰三角形ABC中，有，几个式子结合化简可得答案 【解析】设，则 中，，按计算器得． 证明：因为，设，则，且，即， 所以，（1） 设，，，则， 在中由余弦定理得 （2） 在等腰三角形ABC中，（3） 将（1）整理为，展开得 ， ， 所以，将（2），（3）代入上式得 ，即． 故答案为：1 9．如图所示，在四边形中，已知，，，，， ． 【答案】 【分析】在中，利用余弦定理得到，求出；在中，利用正弦定理，由，即可求出. 【解析】在中，，，， 由余弦定理可得：， 即，解得或（舍）； 又，所以； 在中，，，， 由正弦定理可得，所以. 故答案为：. 题型三 边长、周长最值或取值范围问题 10．锐角中，，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据三边的大小关系，结合余弦定理解不等式即可. 【解析】若a为最大边，有，则，即，所以， 若c为最大边，有，则，即，所以， 故. 11．平面四边形ABCD中，，，则边AB长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】取点D与点C重合，点D与点A重合时的两种特殊情况，利用正弦定理，即可求出AB的取值范围. 【解析】解：如图所示， 因为，所以， 当点D与点C重合时，， 由正弦定理可得， 而， 所以， 当点D与点A重合时，， 由正弦定理可得， 所以 因为ABCD平面四边形，所以， 故答案为： 12．在中，角，，的对边分别为，，，，． (1)求角； (2)若是线段的中点，且，求； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先应用正弦定理再应用两角和的正弦公式计算化简得出角； （2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可； （3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的值域求解. 【解析】（1）由题及正弦定理可知：， ， 又，， ，， ，. （2）由（1）及余弦定理得：，即，① 又因为，则， 所以，② 由得：， 所以． （3）由（1）得，则，即， 由正弦定理可知，， 所以． 因为为锐角三角形，所以，， 即，，则，即， 则，故的周长的取值范围为． 13．在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合正弦定理、余弦定理和面积公式即可求解； （2）结合基本不等式求最值和三角形边的关系即可求解. 【解析】（1）由正弦定理得，又，从而，         由得，            从而，                               所以的面积. （2）由，            又，当且仅当时取等号，       从而，所以，                        又因为中，，从而，                       所以的范围是. 14．锐角中角、、的对边分别为、、，且． (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后，借助余弦定理计算即可得； （2）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式与辅助角公式可将化为正弦型函数形式，再利用锐角三角形性质可得角的范围，即可得解. 【解析】（1）由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，又，则； （2）由，则、， 则 ， 由为锐角三角形，可得，解得， 则，则， 故. 题型四 三角形的面积最值或取值范围问题 15．已知a、b、c分别为的三个内角A、B、C的对边，，且，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】先求出角的大小，由，考虑余弦定理建立的方程，再由基本不等式求的最大值. 【解析】解析：因为， 根据正弦定理可知，即， 由余弦定理可知，又，故， 又因为，所以， （当且仅当时取等号），即 所以，即面积的最大值为， 故答案为：. 16．若锐角的内角、、的对边分别为、、，且，，则面积的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用正弦定理结合三角恒等变换化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值，利用正弦定理可求得的取值范围，再利用三角形的面积公式可求得面积的取值范围. 【解析】因为，所以，即， 由正弦定理得， 因为，则，所以， 由得，故，所以，故，故， 由为锐角三角形，得，解得， 因为，由正弦定理得， 因为，所以， . 故答案为：. 17．在中，、、三个内角所对的边依次为、、，且，若，则的面积的最大值为 【答案】 【分析】使用余弦定理求出后，再使用余弦定理、基本不等式和三角形面积公式求解即可. 【解析】由余弦定理，， ∵，∴. 由余弦定理及基本不等式，， ∴，当且仅当时取等号， ∴当且仅当时，的面积的最大值为. 故答案为：. 18．在中，角的对边分别为. (1)求角； (2)若的外接圆半径为2，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)最大值为 【分析】（1）由正弦定理化简求解， （2）由正余弦定理，面积公式与基本不等式求解 【解析】（1）由正弦定理得，因为，所以，故. .因为.所以， （2）根据正弦定理得，解得 根据余弦定理得. 由基本不等式得，即，解得，当且仅当时等号成立， 此时，所以面积的最大值为. 题型五 证明恒等式 19．在中，AD是的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上． (1)用正弦定理证明； (2)若，求DE的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理知，，，结合条件可得结论； （2）由余弦定理可求得，进而利用（1）的结论可求. 【解析】（1）由正弦定理知，在中，， 在中，， 由，， 所以， 所以； （2）在中，由余弦定理可得， 所以，由（1）可得，所以， 因为是边上的中线，所以， 所以. 20．在中，. (1)求的大小； (2)若，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】(1)利用降幂公式化简已知条件，求出tanB即可求出B； (2)结合余弦定理和已知条件即可证明． 【解析】（1）在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵，∴． 由余弦定理得①， ∵，∴②， 将②代入①，得， 整理得，∴． 21．在中，角，，的对边为，，，已知，且. (1)若，求； (2)证明：; 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据，，然后结合正弦定理以及二倍角公式解得. （2）根据（1），然后结合余弦定理证明即可； 【解析】（1）依题意，，所以，即， 由正弦定理可知，，即， 从而， A为三角形内角，故. （2）由（1）可知，，由余弦定理可得：， 即， 则，又， 故， 从而. 22．在中，角的对边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)若外接圆的半径为，点D为边的中点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）对式子先用倍角公式和半角公式换为关于角的等式，再将提出后，括号内的用两角和的正弦公式，最后用三角形中角之间的关系及诱导公式进行化简求值即可； （2）根据（1）的结论和正弦定理即可得，根据D为边的中点，可得三角形中长度关系，根据，即在两个小三角形中分别用余弦定理建立等式即可解得. 【解析】（1）解：因为， 即， 即， 即， 因为，所以，且， 所以等式可化为，即， 即，因为，所以； （2）解：由（1）知，因为外接圆的半径为， 所以中，由正弦定理知：， 即，解得，因为点D为边的中点， 所以，因为， 所以， 在分别由余弦定理可得： ， 代入中可得： ， 即， 即，即， 故，得证. 题型六 解三角形的实际应用—距离测量问题 23．一船以的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东方向，1小时30分后航行到B处，在B处看灯塔S在船的南偏东方向，则灯塔S与B之间的距离为 . 【答案】66 【分析】根据题意连接可得如图三角形，再由所给角度可得，利用正弦定理解即可得解. 【解析】 如图，， 根据航速为，则， 由正弦定理可得， 所以， 故答案为：66. 24．如图，一艘船向正北航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上．1小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔的距离为 ． 【答案】海里 【分析】在中利用正弦定理计算可得. 【解析】依题意在中，，，， 由正弦定理有，即，解得（海里）． 故答案为：海里 25．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为67°、30°，此时气球的高是46m，河流的宽度约等于 m. （参考数据：，，，，） 【答案】60 【分析】先作辅助线，过点作垂直于的延长线于点，先解求出，再在中利用正弦定理即可求. 【解析】 如图，过点作垂直于的延长线于点， 在中，，， 所以， 在中，，，， 由正弦定理可得： 可得：， 所以河流的宽度约等于， 故答案为：. 题型七 解三角形的实际应用—高度问题 26．如图，某学校老师组织高一年级学生外出开展数学活动，经过某公园时，发现工人们正在建5G信号柱，于是老师们就带领学生们对信号柱的高度进行测量.已知信号柱直立在地面上，学生在处测得信号柱顶端的仰角为，沿斜坡从点走到点，米，坡比为，在处测得信号柱顶端的仰角为，求信号柱的高度. 【答案】米. 【分析】延长交的延长线于，过作于，即可求出，再由锐角三角函数求出、，，最后在中利用锐角三角函数计算可得. 【解析】如图，延长交的延长线于，过作于. 在中，因为坡比为，所以， 所以，又米， 则（米）， （米）. ∵，， ∴（米）， ∴（米）. 设米， ∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴米，（米）. ∵， ∴，解得， ∴信号柱的高度为米. 27．如图，某建筑物顶部有一旗杆，且点A、B、C在同一条直线上，小明在地面D处观测旗杆顶端B的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的E处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，已知建筑物的高度为12米. (1)求点E到建筑物的距离； (2)求旗杆的高度.（保留1位小数） 【答案】(1)10米. (2)5.3米. 【分析】（1）通过等边对等角得到，再解直角三角形即可得解； （2）通过锐角三角函数得出，再减去即可得解. 【解析】（1）∵，， ∴，米， ∴米， ∴点E到建筑物的距离是10米. （2）在中， （米）， ∴（米）， ∴旗杆的高度为5.3米. 28．如图，某人身高1.73m，他站的地点A和云南大理文笔塔塔底O在同水平线上，他直立时，测得塔顶M的仰角（点E在线段上，忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段向塔前进100m到达点B，在点B直立时，测得塔顶M的仰角：塔尖的视角（N是塔尖底，在线段上）.    （1）求塔高 ； （2）此人在线段上离点O 米，他直立看塔尖的视角最大？ 参考数据：，，. 【答案】 63.59 【分析】（1）根据题意在中，由正弦定理可求的值，进而求解的值，即可根据即可计算得解. （2）由（1）可求的值，可求，，，设此人应在线段上的F处，，直立时，眼睛处于G点，利用两角差的正切公式，基本不等式可求的最大值，即可求解. 【解析】（1），， . 在中，由正弦定理得，， 又， . ， 所以，. （2）由（1）知，. . ， . 设此人应在线段上的处，，直立时，眼睛处于点， 则，， ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，他站在线段上到点的距离为为处时，看塔尖的视角最大. 故答案为：；63.59 题型八 解三角形的实际应用—角度问题 29．如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？（角度精确到） 【答案】乙船应朝北偏东约的方向沿直线前往处救援． 【分析】先由余弦定理得，再由正弦定理求解，即可求得乙船的方位. 【解析】根据题意，, 由余弦定理得 ， 由正弦定理得， 所以乙船应朝北偏东约的方向沿直线前往处救援． 30．如图，是某海域位于南北方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/时. (1)求两点间的距离； (2)该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数据：，角度精确到0.01） 【答案】(1)30海里 (2)南偏东；小时 【分析】（1）求得度数，根据正弦定理即可求得答案； （2）确定的度数，由余弦定理即可求得的长，即可求得救援时间，利用余弦定理求出的值，即可求得应该沿南偏东多少度的方向航行. 【解析】（1）依题意得，， 所以， 在中，由正弦定理得, , 故（海里）， 所以求两点间的距离为30海里. （2）依题意得， 在中，由余弦定理得， 所以（海里）， 所以救搜船到达C处需要的时间为小时， 在中，由余弦定理得 , 因为， 所以， 所以该救援船前往营救渔船时的方向是南偏东﹒ 31．某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究． (1)小王获得了以下信息： ．教学楼和体育馆之间有一条笔直的步道； ．在步道上有一点，测得到教学楼顶的仰角是，到体育馆楼顶的仰角是； ．从体育馆楼顶测教学楼顶的仰角是； ．教学楼的高度是20米． 请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度． (2)小李获得了以下信息： ．体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米； ．大屏幕的高度是2米； ．当观众所站的位置到屏幕上下两端，所张的角最大时，观看屏幕的效果最佳． 请帮助小李完成任务二：求步道上观看屏幕效果最佳地点的位置． 【答案】(1)10米 (2)ND为米 【分析】（1）先得到，，由正弦定理求出，求出； （2）设，则，，利用正切差角公式表达出，由基本不等式求出最值，得到答案. 【解析】（1）由题意知，⊥，由勾股定理得， 且可知， ， 由正弦定理可得， 则体育馆的高度为10米. （2）设，则，， ， 当且仅当时，取到最大值，即米时，观看效果最佳． 题型九 解三角形的实际应用—其他问题 32．如图，某校园内有一块圆形草坪，其内接区域内种植花卉（阴影部分），已知，，，现为了扩大花卉的种植面积，欲在弧上找一点，使得新的种植区域的面积（单位：）最大，则的值为 ． 【答案】 【解析】由正弦定理求得，设，，由正弦面积公式、余弦定理和不等式放缩即可求解 【解析】在中，由正弦定理得，，即，解得， 由“同弧所对圆周角相等”知，设，， 则，在中，由余弦定理得， ，故，当且仅当时等号成立，所以新的种植区域的面积最大为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形实际问题中的应用，属于中档题 33．如图，港口在港口正东的海里处，小岛在港口的北偏东的方向上，且在港口的北偏西的方向上．一艘科学考察船从港口出发，沿北偏东的方向以海里/小时的速度驶离港口．一艘给养快艇从港口沿方向以海里/小时的速度驶向小岛，在岛装运补给物资后以相同的速度送往科学考察船．已知两船同时出发，补给物资装船时间为小时．给养快艇驶离港口后，能和科学考察船相遇的最少时间为 ． 【答案】小时 【分析】设快艇驶离港口后，最少要经过小时，在上的点处与考察船相遇，中求得，然后由表示出，在中应用余弦定理可得值． 【解析】设快艇驶离港口后，最少要经过小时，在上的点处与考察船相遇， 如图，连接，则快艇沿线段、航行， 在中，，， ∴， 又，∴，， 故快艇从港口到小岛需要小时， 在中，，，， 由余弦定理知： ， 解得或，∵，∴， 故快艇驶离港口后，最少要经过小时才能和考察船相遇． 故答案为：3小时． 【点睛】本题考查解三角形的应用，考查方位角的概念．解题时把方位角转化为三角形中的角，然后应用正弦定理或余弦定理列式求解．本题属于中档题． 34．假期间，小致同学临时起意想去电影院看电影，他想选择一个视角最好的座位．由于电影的观众比较多，当他打开订票软件时，只剩下第1至15排最边上的15个座位． (1)电影院的剖面图如上左图所示（单位：米），观众坐第一排时，眼睛离地高度为1.20米，影院前后两排座位高度差为0.50米，如果小致想要得到更好的直方向视角（即眼睛与屏幕中点的连线尽可能保持水平，不考虑水平方向视角），你建议他选择哪一排的座位?请通过计算说明理由． (2)电影院的俯视图如上右图所示（单位：米），观众坐第一排时，眼睛与屏幕墙面的垂直距离为3.00米，影院前后两排观众间距1.00米，如果小致想得到最好的水平方向视角（即眼睛看屏幕两侧的视线夹角最大，不考虑前后排高度差与竖直方向视角），你建议他选择哪一排的座位？请通过计算说明理由． 【答案】(1)第10排；理由见解析 (2)第4排，理由见解析 【分析】（1）设表示第排座位眼睛离地高度，求出眼睛离地高度接近的值即可. （2）先由题设表示第n排座位的位置、表示第n排座位的水平方向视角，则在中利用勾股定理求出即可利用余弦定理去研究水平视角与n的关系，进而得到最好的水平视角. 【解析】（1）设表示第排座位眼睛离地高度， 则由题意，接下来的每一排座位与前一排作为高度均相差 ， 所以， 令即，， 所以小致想要得到更好的直方向视角建议小致坐第10排的座位. （2）如图，表示屏幕长，C、D分别表示第1排和第15排座位位置， 设表示第n排座位的位置， 则由题可设表示第n排座位的水平方向视角， 则， 故 所以 ， 令，且， 则 ， 令，任取， 则， 因为，故， 所以，即， 所以在上单调递减，同理可得在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，当时，，此时； 时，，此时， 所以当时，最小，因为， 所以此时最大，即此时是最好的水平方向视角， 故建议他选择第4排的座位能得到最好的水平方向视角. 【点睛】思路点睛：解决本题的思路是依据三角模型图，将第n排座位T的水平方向视角设为，接着利用勾股定理将用n表示起来，再在中利用余弦定理即可去研究水平视角与n的关系，进而得到最好的水平视角对应的n值. 一、填空题 1．已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】先由已知条件结合余弦定理和求出，再由余弦定理结合基本不等式求出最大值，即可由正弦定理形式面积公式求出面积最大值. 【解析】在中，由及余弦定理，得， 整理得，由，得为锐角， 而，解得， 由及余弦定理，得， 解得，当且仅当时取等号， 因此，所以面积的最大值为. 故答案为：. 2．如图，在中，，，，，则 ， . 【答案】 / 【分析】根据面积公式结合相似比例即可求出正弦值，再根据同角三角函数求出正切. 【解析】因为, 所以, 又因为， 所以. 故答案为：；. 3．如图，已知是半径为的扇形，，是弧上的动点，过点作，垂足为，某地区欲建一个风景区，该风景区由和矩形组成，且，则该风景区面积的最大值为 .    【答案】/ 【分析】设线段长，写出矩形的面积，由三角函数得到，然后写出的面积，从而表示出该风景区面积的表达式，由换元法将表达式化简为二次函数，由二次函数的对称轴求出最大值. 【解析】设，则，， 则， 则， 设该风景区面积为，则， 令，则， 即 函数对称轴， 即当时，面积取最大值，此时. 故答案为：. 4．如图，为方便市民游览市区中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知AB，AC为夹角为的公路长度均超过5千米，在两条公路AB，AC上设立游客上、下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得千米，千米.若，则两条观光线路PM与PN之和的最大值为 千米. 【答案】14 【分析】在中，利用余弦定理求出的值，再在中，结合余弦定理与基本不等式，得解. 【解析】在中，，，， 由余弦定理知，所以， 在中，由余弦定理知，， 所以， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以与之和的最大值为14． 故答案为：14 5．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德·费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点.已知点为的费马点，角A、B及C的所对边的边长分别为a、b及c，若，且，则的值为 . 【答案】8 【分析】由可得，由可得，借助等面积法可得，结合面积公式计算即可得. 【解析】由， 即， 即，又，故， 即，即，故， 由，又， 故，即， 由， 则有， 即， 即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助，结合面积公式计算即可得. 6．记的内角的对边分别为.已知，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】先用倍角公式，弦化切，两角和的正切展开式求出，再利用正弦定理将所求分式化为，然后构造函数，利用二次函数的性质求出结果即可. 【解析】因为， 所以， 即，① 因为， 所以， 对①整理后得， 所以， 因为，所以， 因为，， 所以，解得，又由正弦定理边角互化可得 ， 令， 因为，所以， 所以， 则， 所以， 令， 因为的对称轴为，开口向上， 所以在区间上为增函数， 又，， 所以的取值范围为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键是正弦定理边角互化，再构造二次函数求值域即可. 二、单选题 7．小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合正弦定理运算求解. 【解析】， 由题意知：∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°， 在Rt△ABM中，AM＝＝， 在△ACM中，由正弦定理得＝， 所以CM＝＝， 在Rt△DCM中，CD＝CM·sin∠AMD＝＝30. 故选：D. 8．凸四边形就是没有角度数大于的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为 A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】设，，利用余弦定理与正弦定理，表示出与 ，在中，由余弦定理求得的表达式，根据三角函数值的有界性即可求得最大值． 【解析】设， 在中，由余弦定理可得 所以，即 在中，由正弦定理可得 ，则， 在中，由余弦定理可得 而由条件可知，， 所以 即 结合，代入化简可得 所以当时，取得最大值为 此时取得最大值为 所以选C 【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，涉及的计算、化简较为复杂，要求熟练掌握三角函数式的变形，属于中档题． 三、解答题 9．如图，某广场有一块不规则的绿地，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为、，经测量，，，． (1)求的长度； (2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低（请说明理由）？较低造价为多少？ 【答案】(1) (2)小李的设计符合要求，理由见解析；总造价为（元） 【分析】（1）根据余弦定理求解即可. （2）根据正弦定理面积公式得到选择建筑环境标志费用较低，再计算其建造费用即可. 【解析】（1）在中，由余弦定理，得． 在中，由余弦定理得． 由，得，所以， 解得，所以长度为． （2）小李的设计符合要求．理由如下： 因为，， 因为，所以，故选择建筑环境标志费用较低． 因为，所以是等边三角形，， 所以， 所以总造价为（元）． 10．燕山公园计划改造一块四边形区域铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划条人行道、、、以及两条排水沟、，其中、、分别为边、、的中点． (1)若，求的余弦值； (2)若，求排水沟的长； (3)当变化时，求条人行道总长度的最大值．（单位百米） 【答案】(1) (2)百米； (3)百米． 【分析】（1）在直角三角形和直角三角形中，分别求出和的正、余弦值，再利用两角和的余弦公式，求的余弦即可； （2）在三角形中，使用余弦定理求解即可； （3）连接，以为参变量，在三角形和中，利用和，结合解三角形知识对，进行求解，并借助函数思想求出的最大值即可. 【解析】（1）∵百米，百米，， ∴在直角三角形中，百米， ∴，， 又∵，，百米， ∴在等腰直角三角形中，百米，，， ∴ . ∴的余弦值为. （2）由第（1）问，当时，，百米 ∴在三角形中， ， ∴百米. ∴排水沟的长为百米. （3）设，，， ∵、、分别为边、、的中点， ∴，百米，， ∴，百米，， 在三角形中，由余弦定理得, 由正弦定理， 得， 连接，∵，，为边的中点， ∴，， 在三角形中，， 由余弦定理得 ， 在三角形中，， 由余弦定理得 ， 令 ∵，∴，∴， ∴， 令，易知在上单调递增， ∴当时，的最大值为， . ∴最大值为， ∴条走道总长度的最大值为百米． 【点睛】本题前两问较为简单，难点在第（3）问.对于解三角形中的最值问题，有两种最常用的方法，一种是通过单一变量，构造函数，利用函数单调性和最值解决，另一种是借助不等式知识解决，本题采用了第一种方法. 3 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $$