6.3 解三角形 (第1课时)（十一大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

6.3 解三角形 (第1课时) 题型一 正弦定理概念及辨析 1．正弦定理 分类 内容 定理 （R是外接圆的半径） 变形公式 ①， ， ② ③， ， 解决的问题 ①已知两角和任一边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 2．有关正弦定理的叙述 ①正弦定理只适用于锐角三角形; ②正弦定理不适用于直角三角形; ③在某一个确定的三角形中，各边与其所对角的正弦的比是一定值 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．在中，若，则 . 5．在中，内角的对边分别为a，b，c，若，则 . 题型二 利用正弦定理解三角形 6．中，，，，则 ． 7．在中内角所对的边分别为，且，，，则 ． 8．记的内角的对边分别为，，，已知，，则 ；若，，则 ． 9．记的内角的对边分别为，若，，，则 . 10．若△ABC中，，则△ABC的周长为 ． 11．在中，为角C的平分线，若，，则等于 ． 题型三 利用正弦定求外接圆半径 12．在中，，，，则的外接圆半径为 . 13．的外接圆半径为3，则 ． 14．在△ABC中，已知，则其外接圆的直径为 . 15．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则外接圆半径为 . 题型四 三角形面积公式及应用 16．在△ABC中，已知，，，°，则 ． 17．在中，，，，则的面积为 . 18．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则△ABC的面积为 ． 19．内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为五 . 题型五 正弦定理边角互化的应用 20．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则角 ． 21．已知三内角的对边分别为，，，且满足，，则的外接圆的面积为 . 22．在中，若，则角A的大小为 ． 23．已知的内角所对的边分别为，若，则= ． 24．在中，角，，的对边分别为，，，，则 ． 题型六 三角形解的个数问题 25．在中，内角所对的边分别为，则下列判断正确的是（    ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，有一解 D．，，，无解 26．在中，已知，，，则满足条件的三角形有 个. 27．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的三角形有且只有一个，则b的一个值为 ． 28．在中，角，，的对边分别为，，．若，，且该三角形有两解，则的取值范围是 . 题型七 余弦定理概念及辨析 29．余弦定理 余弦定理 公式表达 ， ， 语言叙述 三角形中任意一边的平方等于 推论 ， ， 30．常用结论 是 ； 是 ； 是 ． 31．设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 32．在中，若，则A=（    ） A． B． C． D． 题型八 利用余弦定理解三角形 33．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则 . 34．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 ． 35．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 . 36．已知中，，则AB中线CM长等于 . 37．在中，内角所对的边分别是，若，则的值为 . 38．在中，分别为三个内角所对的边，且，，，则的面积为 ． 题型九 余弦定理边角互化的应用 39．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则边 . 40．在锐角中，若，则角 ． 41．已知中，角的对边分别为，，则角 ． 42．在中，，则取最小值时， ． 43．的内角A，，的对边分别为，，，已知，，则 . 44．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足．若A，B，C，D四点共圆，且点D与点A位于直线BC的两侧．，，则AD= ． 题型十 判断三角形的形状 45．在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 , , ,且满足 ,则 的形状是 . 46．在中，角，，的对边分别为，，，且，则的形状是 . 47．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则△ABC是 三角形． 48．在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 49．已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 题型十一 正弦定理、余弦定理综合解答题 50．在中，． (1)求的值； (2)若，求的面积． 51．在中，角，，所对的边分别为，，，，. (1)若，求的值； (2)的面积等于，求的值. 52．如图，四边形中，的面积为. (1)求； (2)求. 53．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若． （i）求的值； （ii）求的面积． 54．在中，、、分别为角、、所对应的边，已知，，．    (1)求的值； (2)在边上取一点，使得，求的值． 55．如图，在中，，的角平分线交于，.    (1)求的取值范围； (2)已知面积为1，当线段最短时，求实数. 56．记的内角，，的对边分别是，，，已知. (1)求角； (2)若，求面积的最大值； (3)已知点在边上，，，，求的长. 一、填空题 1．锐角的角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为 . 2．某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点.若，则 ；若，则的值为 . 二、单选题 3．已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列命题中，真命题的个数是（    ） （1）若，则是等腰三角形； （2）若，则是直角三角形； （3）若，则是钝角三角形； （4）若，则是等边三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知锐角△中,角对应的边分别为,△的面积,若, 则的最小值是 A． B． C． D． 三、解答题 5．射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为．对于四个有序点，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作．    (1)证明：； (2)已知，点为线段的中点，，求． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3 解三角形 (第1课时) 题型一 正弦定理概念及辨析 1．正弦定理 分类 内容 定理 （R是外接圆的半径） 变形公式 ①， ， ② ③， ， 解决的问题 ①已知两角和任一边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 【答案】 【解析】略 2．有关正弦定理的叙述 ①正弦定理只适用于锐角三角形; ②正弦定理不适用于直角三角形; ③在某一个确定的三角形中，各边与其所对角的正弦的比是一定值 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用正弦定理直接判断作答. 【解析】由正弦定理知，在一个三角形中，各边和它所对角正弦的比相等， 因此，对于任意，都有，其中分别是角所对的边， 所以正弦定理适用于任意三角形.①②错误，③正确. 故选：B. 3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由正弦定理即可求解. 【解析】由正弦定理可得，对比选项可知只有B正确． 故选：B． 4．在中，若，则 . 【答案】2 【分析】根据正弦定理及其推论计算即可. 【解析】因为，，所以. 故答案为：2. 5．在中，内角的对边分别为a，b，c，若，则 . 【答案】或 【分析】根据正弦定理对进行转换，化简得出，从而得到答案. 【解析】解：由，根据正弦定理，有, 或 故答案为：或 题型二 利用正弦定理解三角形 6．中，，，，则 ． 【答案】 【分析】由三角形三个角的和为得出的值，利用正弦定理解出边. 【解析】， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 7．在中内角所对的边分别为，且，，，则 ． 【答案】或 【分析】根据已知条件和正弦定理可得角，从而得到的值． 【解析】在中由正弦定理可知，所以， 解得，因为为的内角， 所以或， 所以或， 故答案为：或． 8．记的内角的对边分别为，，，已知，，则 ；若，，则 ． 【答案】 / 【分析】应用辅助角公式有，结合角的范围求，再应用正弦定理求. 【解析】因为， 所以， 故，又，可得， 根据正弦定理有，则. 故答案为：， 9．记的内角的对边分别为，若，，，则 . 【答案】 【分析】利用同角三角函数之间的基本关系可求得对应的正弦值，再由正弦定理即可得结果. 【解析】由可得，又，且，解得； 同理由可得， 由正弦定理可得，即. 故答案为： 10．若△ABC中，，则△ABC的周长为 ． 【答案】或 【分析】利用正弦定理求得，进而求得，从而求得三角形的周长. 【解析】由正弦定理得， 是三角形内角，则或， 当时，，则， 三角形的周长为. 当时，，则, 三角形的周长为. 因此周长为或. 故答案为：或 11．在中，为角C的平分线，若，，则等于 ． 【答案】 【分析】由为角C的平分线，得，不妨设，，根据正弦定理及二倍角的正弦公式即可求解． 【解析】因为为角C的平分线， 所以， 因为，所以， 不妨设，， 在中，， 所以， 因为， 所以， 所以， 故答案为：． 题型三 利用正弦定求外接圆半径 12．在中，，，，则的外接圆半径为 . 【答案】 【分析】由正弦定理求解． 【解析】由已知，设三角形外接圆半径为，则，所以． 故答案为：1. 13．的外接圆半径为3，则 ． 【答案】 【分析】根据正弦定理即可求解. 【解析】因为的外接圆半径为3， 由正弦定理可得：， 则有，， 所以， 故答案为：. 14．在△ABC中，已知，则其外接圆的直径为 . 【答案】4 【分析】设外接圆半径为，利用正弦定理即可求解. 【解析】设外接圆半径为， 由正弦定理可得：， 所以， 所以外接圆直径为， 故答案为：. 15．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则外接圆半径为 . 【答案】1 【分析】由，利用切化弦和正弦定理化简，再由代入算式利用两角和与差的正弦公式化简得，求出角，由正弦定理求外接圆半径. 【解析】由＝，得＝， 则＝， 整理得，因为B为的内角，所以，故， 因为A为的内角，故， 设外接圆半径为，由正弦定理得， 则外接圆半径. 故答案为：1. 题型四 三角形面积公式及应用 16．在△ABC中，已知，，，°，则 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理求出b，然后再利用面积公式求出面积即可. 【解析】∵，，，∴， 由正弦定理可得，， ∴， 所以； 故答案为：. 17．在中，，，，则的面积为 . 【答案】 【分析】由同角基本关系式先得，再由三角形面积公式直接计算. 【解析】根据条件，在中，， 所以. 故答案为： 18．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则△ABC的面积为 ． 【答案】 【分析】根据正弦定理化简可得. 【解析】由正弦定理，， 因为，故. 又，故， 故. 故答案为： 19．内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为 . 【答案】1 【分析】由正弦定理可得，再由三角形的面积公式代入计算，即可得到结果. 【解析】因为，由正弦定理可得，且, 所以，则. 故答案为：1 题型五 正弦定理边角互化的应用 20．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则角 ． 【答案】/ 【分析】由正弦定理进行边化角得到，从而得解； 【解析】，由正弦定理可得， 在中，，， ， . 故答案为：. 21．已知三内角的对边分别为，，，且满足，，则的外接圆的面积为 . 【答案】/ 【分析】根据题意利用正弦定理可得，分析可知，进而可知外接圆半径和面积. 【解析】因为，由正弦定理可知， 且，可知， 则，可知，即为直角三角形， 所以的外接圆的半径为，面积为. 故答案为：. 22．在中，若，则角A的大小为 ． 【答案】 【分析】先利用正弦定理将边转化为角，再切化弦，利用和角的正弦公式，化简即可求得角． 【解析】 由正弦定理可得 角是的内角 故答案为：． 23．已知的内角所对的边分别为，若，则= ． 【答案】/ 【分析】利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求得结果. 【解析】因为， 所以由正弦定理得, 因为，所以， 所以， 所以，， 所以， 因为，所以， 所以，得， 故答案为： 24．在中，角，，的对边分别为，，，，则 ． 【答案】/ 【分析】由正弦定理可得，再利用化简可得，再结合两角差的正弦公式求解即可． 【解析】， ， 由正弦定理得，， ， ， ， 又，， ， 即， ， ， 又，， ，即. 故答案为：. 题型六 三角形解的个数问题 25．在中，内角所对的边分别为，则下列判断正确的是（    ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，有一解 D．，，，无解 【答案】D 【分析】根据三角形边角关系判断解的个数即可. 【解析】选项A：因为，故只有一解，故A错误； 选项B：因，故有两解，故B错误； 选项C：因，故有两解，故C错误； 选项D：因，故无解，故D正确. 故选：D 26．在中，已知，，，则满足条件的三角形有 个. 【答案】2 【分析】根据正弦定理得，再根据，得B有两解，进而求解. 【解析】在中，由， 即， 所以 由，得， 所以或， 所以满足条件的三角形有2个. 故答案为：2. 27．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的三角形有且只有一个，则b的一个值为 ． 【答案】8（答案不唯一） 【分析】由符合条件的有且只有一个，可得或，列式算出的取值范围，从而可得正确答案． 【解析】根据正弦定理，得，即，解得， 若满足条件的有且只有一个，则或， 即或， 因此，符合条件的的取值范围是，的一个值为8. 故答案为：8（答案不唯一）． 28．在中，角，，的对边分别为，，．若，，且该三角形有两解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由正弦定理可得，依题意可得且，即可得到，从而求出的取值范围. 【解析】由正弦定理可得，即， 因为三角形有两解，所以且，则，即，所以， 即的取值范围是. 故答案为： 题型七 余弦定理概念及辨析 29．余弦定理 余弦定理 公式表达 ， ， 语言叙述 三角形中任意一边的平方等于 推论 ， ， 【答案】 其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦值乘积的两倍 【分析】略 【解析】略 30．常用结论 是 ； 是 ； 是 ． 【答案】 > 锐角 = 直角 < 钝角 【分析】根据余弦定理即可得解. 【解析】由余弦定理， 可知为锐角， 为直角， 为钝角. 故答案为：①，②锐角；③，④直角；⑤，⑥钝角. 31．设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【解析】根据余弦定理可知，. 故选：B 32．在中，若，则A=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理求角即可. 【解析】可整理为，所以，又，所以. 故选：B. 题型八 利用余弦定理解三角形 33．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则 . 【答案】 【分析】运用余弦定理即可. 【解析】根据余弦定理知. 故答案为： 34．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 ． 【答案】1 【分析】根据余弦定理计算即可. 【解析】, 故答案为：1. 35．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 . 【答案】/ 【分析】根据已知条件直接利用余弦定理求解即可 【解析】由余弦定理知， 因为，所以. 故答案为： 36．已知中，，则AB中线CM长等于 . 【答案】/ 【分析】利用两次余弦定理计算即可求解. 【解析】由题意知， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得. 故答案为： 37．在中，内角所对的边分别是，若，则的值为 . 【答案】 【分析】利用余弦定理可得答案. 【解析】若，则， 可得， 由余弦定理得. 故答案为：. 38．在中，分别为三个内角所对的边，且，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】利用余弦定理可得方程，可解出，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【解析】由余弦定理可得， 因为且，， 所以，解得， 因此的面积为 故答案为：. 题型九 余弦定理边角互化的应用 39．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则边 . 【答案】 【分析】由余弦定理化角为边，化简整理后，代值计算即得. 【解析】因，由余弦定理，，化简得， 因，，故. 故答案为：. 40．在锐角中，若，则角 ． 【答案】/ 【分析】利用余弦定理，可化简已知等式求得，结合是锐角三角形得解. 【解析】由，得， ，又是锐角三角形， . 故答案为：. 41．已知中，角的对边分别为，，则角 ． 【答案】 【分析】根据题意结合余弦定理运算求解. 【解析】因为，则，即， 可得， 且，所以. 故答案为：. 42．在中，，则取最小值时， ． 【答案】 【分析】将代入余弦公式化简可得，再代入计算可得，利用不等式可求出的最小值，并求出此时的大小. 【解析】解：，可得， 即, ，当且仅当时取等号， 所以, ， . 故答案为：． 43．的内角A，，的对边分别为，，，已知，，则 . 【答案】6 【分析】先结合正弦定理和余弦定理得到关于三边的方程组，再化简消去，即得结果. 【解析】∵，，， 消去得， ，即. 故答案为：6. 44．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足．若A，B，C，D四点共圆，且点D与点A位于直线BC的两侧．，，则AD= ． 【答案】 【分析】根据余弦定理，结合不等式以及三角函数的有界性可得，进而可得，进而由余弦定理即可求解. 【解析】由，与相加可得， 由于，所以, 所以,由于,故， 如图可知：,，, 在中，由余弦定理可得 , 解得 或（舍去）， 故答案为： 题型十 判断三角形的形状 45．在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 , , ,且满足 ,则 的形状是 . 【答案】直角三角形 【分析】利用余弦定理、勾股定理逆定理进行求解即可. 【解析】， 所以   是直角三角形. 故答案为：直角三角形 46．在中，角，，的对边分别为，，，且，则的形状是 . 【答案】直角三角形 【分析】利用余弦定理将角化边，即可得到，从而得解. 【解析】在中，， ， ， ，，则， 所以为直角三角形. 故答案为：直角三角形 47．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则△ABC是 三角形． 【答案】直角 【分析】根据余弦定理化简，再由勾股定理知三角形为直角三角形. 【解析】由， 得＋＋，化简得， 所以C＝90°，所以△ABC是直角三角形． 故答案为：直角 48．在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【分析】由已知条件即结合余弦定理和即可得解. 【解析】因为， 所以，且， 所以由余弦定理得，整理得，又， 所以，故是等边三角形. 故选：B. 49．已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由余弦定理化角为边，整理后得，即得结论. 【解析】由和余弦定理得，， 化简得，， 整理得，，则得，或， 即为等腰或直角三角形. 故选：D. 题型十一 正弦定理、余弦定理综合解答题 50．在中，． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理求的值； （2）求出c，再利用余弦定理求出b，然后利用三角形面积公式可求得答案. 【解析】（1）在中，因为， 由正弦定理得. （2）因为，所以， 由余弦定理得， 解得或（舍）， 所以的面积. 51．在中，角，，所对的边分别为，，，，. (1)若，求的值； (2)的面积等于，求的值. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理求解即得. （2）利用三角形面积公式、余弦定理列出方程组求解即得. 【解析】（1）在中，由正弦定理，得， 所以的值是. （2）由的面积等于，得，解得， 由余弦定理，得，即， 解得或， 所以或. 52．如图，四边形中，的面积为. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，利用面积公式、余弦定理运算求解； （2）在中，利用正弦定理运算求解，注意大边对大角的运用. 【解析】（1）在中，由的面积，可得， 由余弦定理，即. （2）在中，由正弦定理，可得， ∵，则，故. 53．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若． （i）求的值； （ii）求的面积． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）结合余弦定理，即可求解； （2）（i）结合三角函数的同角公式，以及正弦两角和公式，即可求解； （ii）结合正弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解. 【解析】（1）已知，由余弦定理， 则，又，则. （2）（i），由正弦定理有，得， 故， . （ii）由正弦定理可知，， 故的面积为. 54．在中，、、分别为角、、所对应的边，已知，，．    (1)求的值； (2)在边上取一点，使得，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由余弦定理求得，再由正弦定理可求得的值； （2）根据平方关系求得，再根据商数关系得解． 【解析】（1）由余弦定理可得，， ， 由正弦定理可得，，则. （2），且为钝角， ， . 55．如图，在中，，的角平分线交于，.    (1)求的取值范围； (2)已知面积为1，当线段最短时，求实数. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据角平分线定理，结合余弦定理进行求解即可； （2）根据三角形面积公式，结合余弦定理、基本不等式、同角三角函数关系式进行求解即可. 【解析】（1）设 由角平分线定理，，， 由余弦定理，， ， 所以， 化简得. 因为，故； （2）由题意，，因此， 由余弦定理，， 故， 当且仅当时，取得最小值3，此时. 显然为锐角， 由代入中，得 ，或舍去， 由（1）知，此时. 56．记的内角，，的对边分别是，，，已知. (1)求角； (2)若，求面积的最大值； (3)已知点在边上，，，，求的长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理将边化成角，再将分解成，最后根据和角的正弦公式化简即可求解； （2）利用余弦定理和基本不等式求出的最大值，再根据三角形面积公式即可求解； （3）由余弦定理求出和，再利用诱导公式求，最后根据锐角三角函数求出，即得. 【解析】（1）由正弦定理得，， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以，即， 因为，所以. （2）由余弦定理得，即. 因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以，即， 则的面积， 即面积的最大值为. （3）在中，由余弦定理得， ， 所以. 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以，即， 又因为 所以，即， 因为， 所以 所以，即， 在中，由锐角三角函数得， ， 所以， 故. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，解题的关键是合理利用正弦定理的边角互化，以及余弦定理列出方程求解. 一、填空题 1．锐角的角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用正弦定理的边角变换与三角函数的和差公式得到，从而利用三角函数的性质与锐角三角形的特点推得的取值范围，再次利用正弦定理的边角变换转化所求为，从而得解． 【解析】因为，则， 所以， 由正弦定理得， 又，故， 因为在锐角中，，所以或， 当时，，所以，解得，符合题意； 当时，，此时，不合题意； 综上，， 又，而， 所以，则的取值范围为． 故答案为：． 2．某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点.若，则 ；若，则的值为 . 【答案】 /5.75 【分析】第一空，由正弦定理求得，可得，利用三角形垂心性质结合三角形诱导公式推得，即得答案； 第二空，设，由余弦定理求得它们的余弦值，然后由垂心性质结合正弦定理表示出，即可求得答案. 【解析】设外接圆半径为，则， 由正弦定理，可知， 即，由于是锐角，故， 又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即,故， 所以； 设， 则， 由于，不妨假设， 由余弦定理知， 设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于 , 故 , 则得， 所以， 同理可得， 所以, 故答案为：； 【点睛】本题重要考查了正余弦定理在解三角形中的应用，涉及到三角形垂心的性质的应用，解答时要能灵活地结合垂心性质寻找角之间的关系，应用正余弦定理，解决问题. 二、单选题 3．已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列命题中，真命题的个数是（    ） （1）若，则是等腰三角形； （2）若，则是直角三角形； （3）若，则是钝角三角形； （4）若，则是等边三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用三角形的性质、正弦定理、同角三角函数的基本关系进行计算求解. 【解析】中，，由正弦定理有： ，因为中， 所以，即，即， 所以或，故（1）错误； 中，因为，所以， 所以或，故（2）错误； 中，，当时， ，，，显然不满足； 当中有1为负，2个为正，不妨设， 则，，，所以是钝角三角形；故（3）正确； 中，，所以， 所以 因为， 所以，所以， 则是等边三角形，故（4）正确；故A，C，D错误. 故选：B. 4．已知锐角△中,角对应的边分别为,△的面积,若, 则的最小值是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分析：利用余弦定理列出关系式，代入已知等式中，并利用三角形面积公式化简求出C的度数，再对进行化简整理，最后利用基本不等式求得. 详解：，即，. 又，, 又△为锐角三角形， ，解得， ， 又， ， 即 ，当且仅当，即时取等. ，解得. 故选C. 点睛：本题考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式，以及对三角函数的应用，熟练掌握三角函数相关性质是解本题的关键. 三、解答题 5．射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为．对于四个有序点，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作．    (1)证明：； (2)已知，点为线段的中点，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面积公式表示出、即可得到，同理得到，即可得证； （2）由（1）可得，即可得到，设，，利用余弦定理与正弦定理得到方程组，求出，，再由余弦定理计算可得. 【解析】（1）在、、、中， ， 所以， 又在、、、中， ， 所以， 又，，， 所以， 所以. （2）由题意可得，所以， 即，所以，又点为线段的中点，即， 所以，又，则，， 设，且， 由，所以， 即，解得①， 在中，由正弦定理可得②， 在中，由正弦定理可得③， 且， ②③得，即④ 由①④解得，（负值舍去），即， 所以. 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是理解所给定义，利用面积公式求出线段的比，利用整体思想计算. 31 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$