第6章 三角 单元知识梳理+综合检测-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

第6章 三角 单元综合讲义 一、角的概念 1.角的定义 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的 图形.旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边，射线 的端点叫做角的顶点. 2.角的分类 任意角包括：正角、负角、零角. 正角：一条射线按逆时针方向旋转形成的角. 负角：一条射线按顺时针方向旋转形成的角. 零角：一条射线没有进行任何旋转形成的角. 温馨提示：对于角的形成过程，既要有旋转量，又要有旋转方向。 二、终边相同的角 所有与角a 终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k 360°,k∈Z}, 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 温馨提示： 1.相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍； 2.终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍； 3.终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍. 三、象限角与轴线角 1.象限角、轴线角的概念 (1)象限角 在平面直角坐标系中，如果角的顶点在原点，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么,角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. (2)轴线角 如果角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限，称这个角为轴线角， 2.象限角的集合表示 锐角为{α|0⁰<a<90°}, 小于90°的角不等同于锐角，锐角不等同于第一象限的角. 3.轴线角的集合表示 (1)终边在x 轴上的角{a|a= k·180°,k∈Z}. (2)终边在y 轴上的角{a|a=k·180 °+90°,k∈Z). (3)终边在坐标轴上的角{αlα=k·90°,k∈Z}. (4)终边在x 轴非负半轴上的角{ala=k·360°,k∈Z}. (5)终边在x 轴非正半轴上的角{a|a=k·360°+180°,k∈Z}, (6)终边在y 轴非负半轴上的角{αla=k·360°+90°,k∈Z). (7)终边在y 轴非正半轴上的角{αla=k·360°+270 °,k∈Z}. 四、角度制与弧度制的概念 1.角度制 角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的 这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. 2.弧度制 (1)1弧度的角 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)弧度制 用+弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.用符号rad表示，读作弧度. 温馨提示：无论是以弧度还是以度为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值. (3)弧度数公式 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l, 那么,角α的弧度数的绝对值是· 五、角度与弧度的换算 角度与弧度的换算公式 360⁰=2π rad,180°=π rad. 六、弧长公式、扇形面积公式 1.弧长公式 角度制：为圆心角的角度数，R 为扇形的半径). 弧度制：l=aR(a为圆心角的弧度，0<a<2π,R为扇形的半径). 2.扇形面积公式 角度制：(n为圆心角的角度数，R 为扇形的半径). 弧度制：(a为圆心角的弧度，0<a<2π,R为扇形的半径，l为扇形的弧长). 温馨提示：涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示. 七、任意角的三角函数 (1)定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，． (2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，， 三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ － ＋ － 记忆口诀:三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦． (3)三角函数线 当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0; 当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0,正切值不存在. 八、同角三角函数基本关系 (1)平方关系：． (2)商数关系：； 九、三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限，说明： （1）先将诱导三角函数式中的角统一写作； （2） 无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负； （3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． 温馨提示： 1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化． 2． 十、两角和与差的余弦、正弦、正切公式 1．cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 2．cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ 3．sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ 4．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ 5．tan(α－β)＝ 6．tan(α＋β)＝ 十一、二倍角公式 1．基本公式 (1)sin 2α＝2sinαcosα； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝． 2．公式变形 (1)降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；sin αcos α＝sin 2α； (2)升幂公式：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；1＋sin α＝2；1－sin α＝2． (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β) 十二、辅助角公式、半角公式 (1)辅助角公式 asin x＋bcos x＝， 令cos φ＝，sin φ＝，则有asin x＋bcos x＝(cos φsin x＋sin φcos x)＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝，φ为辅助角． (2)半角公式 sin ＝±， cos ＝±， tan ＝±， tan ＝＝ 拓展：万能公式： 设tan ＝t，则sin α＝，cos α＝，tan α＝． 十三、积化和差与和差化积公式 1．积化和差公式 2．和差化积公式 sin α＋sin β＝2sin cos sin α－sin β＝2cos sin cos α＋cos β＝2cos cos cos α－cos β＝－2sin sin 十四、正弦定理、余弦定理 基本定理公式 （1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； ． 常见变形 （1），，； （2），，； ； ； ． （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．） 十五、正弦定理、余弦定理的相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列． 十六、正弦定理、余弦定理的实际应用 （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）． （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角． （1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）． （2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． （3）南偏西等其他方向角类似． （4）坡角与坡度 （1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）． （2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比． 解题方法总结 1、方法技巧：解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到． 3、三角形中的射影定理 在 中，；；． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 三角 单元综合检测 一、填空题 1．的角属于第 象限. 【答案】一 【分析】根据终边相同的角的性质即可求解. 【解析】由于，且为第一象限角， 故的角属于第一象限角， 故答案为：一 2．已知在角的终边上，则 . 【答案】 【分析】先由三角函数的定义求出；再利用诱导公式化简求值即可. 【解析】因为在角的终边上 所以由三角函数的定义可得 则. 故答案为： 3．若，则 . 【答案】 【分析】利用诱导公式求值即可. 【解析】. 故答案为： 4．已知扇形圆心角所对的弧长，则该扇形面积为 . 【答案】 【分析】根据弧长公式以及扇形面积公式即可求解. 【解析】由弧长公式可得，所以扇形面积为， 故答案为： 5．在中，，其面积为，则边 . 【答案】10 【分析】由三角形的面积公式求解． 【解析】由，得， 得， 故答案为：10 6．若，则 . 【答案】 【解析】根据二倍角公式和平方关系，即可求出． 【解析】． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二倍角公式和平方关系的应用，属于基础题． 7．已知，则的值为 . 【答案】 【分析】利用二倍角的正切公式求出，再利用正余弦齐次式法求值. 【解析】由，得， 所以. 故答案为： 8．如图A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，则A，B两点间的距离为 米． 【答案】 【分析】求出，结合正弦定理即可求解. 【解析】由题意， 由正弦定理得， 故，故A，B两点间的距离为． 故答案为：. 9．若是第三象限角，且，则等于 . 【答案】 【分析】利用差角的正弦公式将已知条件化简后求出，再利用平方关系求出，进而求出. 【解析】 ， ， 是第三象限角， ， . 故答案为：. 10．如图，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，．若，则的值为 ． 【答案】/0.8 【分析】根据三角函数的定义可得，进而由图可得，利用二倍角公式即可化简求解 【解析】由于的坐标为，故，故在单位圆上，设终边所对角为， 由于，故,， 所以，故， ， 故答案为： 11．在中，角所对的边分别为，若，且，则周长的最大值为 . 【答案】 【分析】先由已知条件结合正弦定理得到，然后证明，最后说明当时，即可得到周长的最大值为. 【解析】由已知有， 结合正弦定理就有，故. 从而， 故，从而，由知. 而当时，满足全部条件，此时. 所以周长的最大值为. 12．在中，若，，三点分别在边，，上（均不在端点上），则，，的外接圆交于一点O，称为密克点.在梯形ABCD中，，，M为CD的中点，动点P在BC边上（不包含端点），与的外接圆交于点Q（异于点P），则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】延长，交于点E得为正三角形，且得、、的外接圆有唯一公共点为密克点Q，接着由题给条件推出是直角三角形，进而得其外接圆半径，再在中由余弦定理求出即可得的最小值. 【解析】延长，交于点E，则由题可知为正三角形，      由题设结论，，的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q， 故点Q在的外接圆上，如上图， 又由题，, 所以，故， 所以是直角三角形，故其外接圆半径， 在中，由余弦定理，    所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题得关键是正确作出辅助线，从而创造密克环境找到并明确点位置，从而结合已知条件得出是直角三角形且其外接圆半径以及是点B与外接圆上的点的距离，于是求出即可求出. 二、单选题 13．设是第一象限的角，则所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第三象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 【答案】C 【分析】根据是第一象限的角，求出的范围判断即可得解. 【解析】因为是第一象限的角， 所以，， 所以， 当时，，为第一象限角； 当时，，为第三象限角. 故选：C 14．在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理，结合三角形解的个数，即可列式求解. 【解析】根据正弦定理，，则， 若满足条件的有两个，则，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 15．对于，角A、B、C的对边分别为a、b、c，有如下判断：①若，则为等腰三角形；②若，则；③若，，，则符合条件的有两个：④若，则是钝角三角形．其中正确的个数是（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据余弦函数单调性判断①；根据正弦定理判断②；根据余弦定理判断③；根据两角和的余弦公式和余弦函数相关知识判断④. 【解析】对于①，若，由单调递减可知，，则为等腰三角形，故①正确； 对于②，若，则，由正弦定理可知，故②正确； 对于③，若，，，由余弦定理得，，则， 所以符合条件的有一个，故③错误； 对于④，若，则， 所以，因为，所以，所以是钝角三角形，故④正确. 综上所述，①②④正确，③错误，正确的个数为3. 故选：C 16．设集合，则集合的元素个数为（    ） A．1011 B．1012 C．2022 D．2023 【答案】B 【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为. 【解析】根据题意可知，当时，，此时； 又因为为奇数，为偶数，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 所以当时，集合中有1011个元素； 当时，易知 又易知，所以可得 ， 即时的取值与时的取值相同， 根据集合元素的互异性可知，时并没有增加集合中的元素个数， 当时，易知 ， 可得当时，集合中的元素个数只增加了一个0， 所以可得集合的元素个数为个. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于通过观察集合中元素的特征，利用的三角函数值的范围以及图象的对称性，由集合中元素的互异性得出当时，集合中的元素个数的增加情况即可求得结果. 三、解答题 17．已知，且. (1)化简并求值： ； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用辅助角公式求出，再利用诱导公式化简，最后代入计算可得； （2）求出，再由两角差的余弦公式计算可得. 【解析】（1）因为， 所以， 又，所以， 所以， 当时，原式. （2）因为，，所以， 所以. 18．已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求； (2)若，且是锐角三角形，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）由正弦定理可得，，从而将转化为关于的三角函数，最后由辅助角公式及正弦函数的性质计算可得. 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 又， 所以， 即，又，所以， 又，所以； （2）由正弦定理， 所以，， 则 ， 其中， 又，所以当时取得最大值. 19．某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时. (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 【答案】(1) (2)2小时 【分析】（1）在中利用正弦定理，求出； （2）在中，利用余弦定理求出，根据速度求出时间． 【解析】（1）由题意知海里， ， ， 在中，由正弦定理得， ， （海里）. （2）在中，， （海里），由余弦定理得 ， （海里），则需要的时间（小时）． 答：救援船到达点需要2小时． 20．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边. (1)若，求A的大小； (2)若BC边上的高等于，且，求的取值范围； (3)求实数t的取值范围，使得对任意实数x和任意角A（），恒有. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理边化角可得，可求； （2）由三角形面积公式和余弦定理可得，进而可得，利用辅助角公式可求最大值； （3）利用二次函数的最小值可得，进而转化为①或②，利用基本不等式与对勾函数的最值可求实数的取值范围. 【解析】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 整理得，即， 因为，， 所以，因为，所以； （2）因为边上的高等于， 由三角形面积公式得，即， 又由余弦定理可得，， 从而有， 所以， 因为，所以，所以， ，所以的取值范围为. （3）令 ， 所以当时， ， 所以 所以， 所以， 所以①或②， 因为，又， 所以， 由①可得， ， 所以， 所以， 由②可得， 所以， 由对勾函数性质可知，所以. 综上所述：实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：二次函数的最值问题，利用开口向上，在顶点处取得最小值，可得不等关系，进而转化为不等式恒成立问题处理是关键. 21．对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”． (1)若集合，，求集合相对的“余弦方差”； (2)求证：集合，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值； (3)若集合，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)，或， 【分析】（1）根据余弦方差的定义代入即可求解， （2）根据余弦差定义可得化简分子，根据和差角公式以及同角平方关系即可求解， （3）根据余弦差定义列出关系式，利用和差角公式以及二倍角公式化简，根据题意可得，即可结合三角函数的性质求解. 【解析】（1）依题意得，； （2）证明：由“余弦方差”定义得： ， 则分子 ， 为定值，与的取值无关． （3）分子 ． 要使是一个与无关的定值， 则， ， 与终边关于轴对称或关于原点对称， 又，得与终边只能关于轴对称， 又 则当时， 当时，． 故，或， 故，或，时，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值． 【点睛】关键点点睛：利用公式将所给的集合代入运算，利用和差角公式，二倍角公式化简. 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 三角 单元综合检测 一、填空题 1．的角属于第 象限. 2．已知在角的终边上，则 . 3．若，则 . 4．已知扇形圆心角所对的弧长，则该扇形面积为 . 5．在中，，其面积为，则边 . 6．若，则 . 7．已知，则的值为 . 8．如图A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，则A，B两点间的距离为 米． 9．若是第三象限角，且，则等于 . 10．如图，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，．若，则的值为 ． 11．在中，角所对的边分别为，若，且，则周长的最大值为 . 12．在中，若，，三点分别在边，，上（均不在端点上），则，，的外接圆交于一点O，称为密克点.在梯形ABCD中，，，M为CD的中点，动点P在BC边上（不包含端点），与的外接圆交于点Q（异于点P），则的最小值为 . 二、单选题 13．设是第一象限的角，则所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第三象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 14．在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．对于，角A、B、C的对边分别为a、b、c，有如下判断：①若，则为等腰三角形；②若，则；③若，，，则符合条件的有两个：④若，则是钝角三角形．其中正确的个数是（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 16．设集合，则集合的元素个数为（    ） A．1011 B．1012 C．2022 D．2023 三、解答题 17．已知，且. (1)化简并求值： ； (2)若，求. 18．已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求； (2)若，且是锐角三角形，求的最大值． 19．某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时. (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 20．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边. (1)若，求A的大小； (2)若BC边上的高等于，且，求的取值范围； (3)求实数t的取值范围，使得对任意实数x和任意角A（），恒有. 21．对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”． (1)若集合，，求集合相对的“余弦方差”； (2)求证：集合，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值； (3)若集合，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$