第07讲 平行线（二类知识点+十二大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第07讲 平行线（第1课时）（十二大题型） 学习目标 1． 了解平行线的概念，并会画过直线外一点的平行线； 2． 掌握平行公理，并学会公理的应用； 3． 知道反证法及用反证法证明的步骤； 4． 掌握.“三线八角”的构建，学会判断同位角、内错角、同旁内角. 知识点1 平行公理 1.平行线 定义 在同一平面上不相交的两条直线叫作平行线. 平行用符号“//”表示.如果直线a和直线b是平行线，那么也称它们互相平行，记作“a//b”, 读作“a平行于b” . 2.画平行线 如图16-2-2,已知直线a和直线a 外一点P.利直尺和三角尺画一条经过点P且平行于a的直线. 画法 (1)将三角尺的一边AB紧靠直线a, 将直尺紧靠三角尺的另一边 AC,如图16-2-3(1)所示； (2)沿直尺推动三角尺，使三角尺紧靠直线a 的一边(边AB) 经 过 点P,如图16-2-3(2)所示； (3)沿三角尺的这条经过点P的边，画直线b,如图16-2-3(3)所示.直线b就是所要画的直线，如图16-2-3(4)所示. 要点：经过点P可以画出一条、且只能画出一条与已知直线a平行的直线.我们把这个基本事实作为公理. 3.平行公理 平行公理 经过直线外的一点，有且只有一条直线与该直线平行 . 从平行公理可以推出 定理 在同一平面上，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 . 这个定理称为平行的传递性. 由此，三条直线a 、b 、c 互相平行，可表示为“a//b//c” 4.反证法. 如图16-2-4,已知：直线a、b、c在同一平面上，a//c,b//c.求 证 ：a//b. 证明 如图16-2-4,假设a与b不平行，且相交于点P,那么过点P就有两条直线a、b都和直线c 平行，这与平行公理矛盾 这说明上述假设是错误的，所以a//b. 上面这样的证明方式，称为反证法.在本章开头证明“两条直线相交，只有一个交点”时就已经用过. 反证法的步骤是： (1)先假设求证的结论是错误的；(2)由此推导出与已知定义、公理、定理或条件等相矛盾的结果；(3)从而否定开始的假设，肯定先前求证的结论的正确性. 知识点2 “三线八角” 1.模型构建背景：由于直线是向两边无限延伸的，而我们所能看到的实际上只是直线的一部分， 因此要用“不相交”去判定两条直线平行是十分困难的.于是考虑借助第三条直线，利用它与这两条直线相交所成的角的大小，来判定两条直线是否平行. 2.“三线八角” 如图16-2-5,在同一平面上，直线a、b 与直线l 分别相交(也可以说：直线a 、b 被直线l 所截),构成 如图所示的八个角.如∠1与∠2,它们分别在直线a、 b的相同的一侧，并且在截线l 的同侧，这样的一对角叫作同位角. ∠3与∠4、∠5与∠6、∠7与∠8也分别是同位角. 而像∠ 1与∠6在直线a 、b 的内侧，且交错在截线l的两旁，像这样的一对角叫作内错角. ∠3与∠8也是内错角. ∠1与∠8在直线a 、b 的内侧，且都在截线l的同旁，像这样的一对角叫作同旁内角.∠3与∠6也是同旁内角. 要点：“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角. 【即学即练1】过点画直线，，分别使，． 【即学即练2】如图，在平面内过点A作直线，可作平行线的条数（   ） A．0条 B．1条 C．0条或1条 D．无数条 【即学即练3】下列说法错误的是（   ） A．在同一平面内，不相交的直线互相平行 B．在同一平面内，没有公共点的线段平行 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【即学即练4】对于同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中不正确的是（　　） A．若，则 B．若a⊥b，a⊥c，则b⊥c C．若，a⊥c，则b⊥c D．若a⊥b，a⊥c，则 【即学即练5】下列四个选项中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 题型1:画过直线外一点的平行线 【典例1】．如图所示，在内有一点P． (1)过P画； (2)过P画． 【变式1-1】．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺完成以下操作． (1)过点作的平行线． (2)过点作的平行线，与（1）中的平行线交于点． 【变式1-2】．如图，是直线外一点，过点的直线与交于点，过点画直线，使得． 【变式1-3】．如图，在三角形外求作一点D，使，且的长最短． 题型2:判断过直线外一点的平行线的作图步骤 【典例2】．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【变式2-1】．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤： ①沿三角尺的边作出直线CD； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB； ④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是： ． 题型3:平行线、平行公理及其应用 【典例3】．经过直线外一点，有且只有 条直线与已知直线平行． 【变式3-1】．在木条转动过程中，存在一条直线a与直线b不相交的情形，这时我们说直线a与b互相 ．记作“a b”． 在同一平面内，不相交的两条直线叫做 ． 注意：平行线的定义包含三层意思： （1）“在同一 ”是前提条件； （2）“不相交”就是说两条直线没有 ； （3）平行线指的是“两条 ”而不是两条射线或两条线段． 【变式3-2】．如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了 ．    【变式3-3】0．如图，已知直线，则A，B，C三点在同一直线上，理由是 ． 题型4:平行线、平行公理的有关概念综合辨析 【典例4】．下列说法中正确的是（   ） A．画已知直线的垂线只有一条 B．画已知直线的平行线只能有一条 C．与已知直线垂直的直线必经过已知点 D．在平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式4-1】．下列说法不正确的是（    ） A．同一平面内不相交的两条直线互相平行 B．经过一点能作一条直线与已知直线平行 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．同一平面内经过一点只能作一条直线与已知直线垂直 【变式4-2】．下列说法中，正确的个数为(   ) （1）过一点有无数条直线与已知直线平行 （2）如果，那么 （3）如果两线段不相交，那么它们就平行 （4）如果两直线不相交，那么它们就平行 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-3】．下列说法中：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；②直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；③过一点有且只有一条直线平行于已知直线；④过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型5：平行公理等数学语言判断（“∥或⊥”） 【典例5】．下面推理正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式5-1】．下列推理正确的是 （ ） A．因为，，所以 B．因为，，所以 C．因为，，所以 D．因为，，所以 【变式5-2】．是直线，下列说法正确的是(　　) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式5-3】．下列说法正确的是（　　） A．a、b、c是直线，若，则 B．a、b、c是直线，若，则 C．a、b、c是直线，若，则 D．a、b、c是直线，若，则 题型6：平行公理的拓展 【典例6】．在同一平面内有四条直线a、b、c、d，已知：，，，则a和c的位置关系是 . 【变式6-1】．规律探究：同一平面内有直线、、，，，若，，，，，按此规律，与的位置关系是 ． 题型7：三线八角构建的有关概念（如判断第三条直线等） 【典例7】．如图，直线上有一点和是直线被直线 所截形成的 角；和是直线和被直线 所截形成的 角；和是直线 和 被直线 所截形成的 角． 【变式7-1】．如图， （1）∠1和∠ABC是直线AB、CE被直线 所截得的 角； （2）∠2和∠BAC是直线CE、AB被直线 所截得的 角； （3）∠3和∠ABC是直线 、 被直线 所截得的 角； （4）∠ABC和∠ACD是直线 、 被直线 所截得的 角； （5）∠ABC和∠BCE是直线 、 被直线 所截得的 角． 题型8：同位角 【典例8】．下列图中，不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】．下列图形中，和不是同位角的是（　　） A． B． C． D． 题型9：内错角 【典例9】．如图，直线AB，CD被AE所截，则∠A的内错角是 ． 【变式9-1】．如图所示，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】．如图当中的内错角一共有（   ）对 A．2 B．3 C．4 D．5 题型10：同旁内角 【典例10】．如图，与∠B是同旁内角有 个 【变式10-1】．如图，平行直线，与相交直线，相交，图中的同旁内角共有 对． 题型11：同位角、内错角、同旁内角的综合判断 【典例11】．如图，下列结论正确的是（   ） A．与互为内错角 B．与互为内错角 C．与互为同旁内角 D．与互为同位角 【变式11-1】．下列说法不正确的是（　　） A．和是同旁内角 B．和是内错角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【变式11-2】．如图，直线L截直线a，b所得的同位角有 对；内错角有 对，它们是 ；同旁内角有 对，它们是 ；对顶角 对，它们是 ． 【变式11-3】．如图，直线a、b、c分别与直线d、e相交，与∠1构成同位角的角共有 个，和∠l构成内错角的角共有 个，与∠1构成同旁内角的角共有 个． 【变式11-4】．如图，在用数字表示的角中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？ 题型12：同位角、内错角、同旁内角的有关规律题 【典例12】．（1）如图：①所示，两条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有 对，内错角有 对，同旁内角有 对； （2）如图②所示，三条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有 对，内错角有 对，同旁内角有 对； （3）根据以上探究的结果，（为大于的整数）条水平直线被一条倾斜的直线所截，同位角有 对，内错角有 对，同旁内角有 对（用含的式子表示）． 【变式12-1】．复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常见的数学解题思想． （1）如图①，直线，被直线所截，在这个基本图形中，形成了 对同旁内角． （2）如图②，平面内三条直线，，两两相交，交点分别为A，B，C，图中一共有 对同旁内角． （3）平面内四条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角． （4）平面内n条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角． 一、单选题 1．下列四个图形中，和是内错角的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线AB、CD被直线EF所截，则∠3的同旁内角是（ ）． A．∠1 B．∠2 C．∠4 D．∠5 3．下列说法： ①已知直线a，b，c，若a与c相交，则a与b相交； ②若直线，直线，那么直线； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种． 其中错误的有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 4．如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（　　） A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4 5．、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么与（   ） A．一定不平行 B．一定平行 C．一定互相垂直 D．可能相交或平行 6．如图，AB和CD相交于点O，则下列结论错误的是（    ） A．∠1与∠2互为对顶角 B．∠B与∠1互为同位角 C．∠A与∠C互为内错角 D．∠B与∠C互为同旁内角 7．如图，在∠1、∠2、∠3、∠4中，内错角是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 8．如图，下列判断正确的是（ ） A．与是同旁内角 B．与是同位角 C．与是对顶角 D．与是内错角 9．中国滑雪天才少女谷爱凌在2022年北京冬奥会的赛场上斩获“自由式滑雪大跳台”首金，这是她获得的首个冬奥会奖牌，也是中国运动员第一次参加冬奥会大跳台的比赛．项目图标如下图；则在下列判断中①∠1与∠2是对顶角；②∠3与∠4是同旁内角；③∠5与∠6是同旁内角；④∠1与∠4是内错角，其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 10．若平面上5条直线两两相交，且无三线共点，无四线共点，则一共有多少对同旁内角（      ） A．59 B．60 C．61 D．62 二、填空题 11．如图，过点画直线的平行线，能画 条，依据是： ． 12．如图，∠2与∠3是直线 、 被第三条直线 所截形成的 ． 13．如图所示，直线AB，CD是一条河的两岸，并且AB∥CD，点E为直线AB，CD外一点，现想过点E作河岸CD的平行线，只需过点E作AB的平行线即可，其理由 14．如图所示的四个图形中，和是同位角的是 ．（填序号）    15．如图是一个风车，当风车的一片叶子AB旋转到与地面MN平行时，叶子CD与地面MN (填“平行”或“不平行”)，理由是 ． 16．如图所示，在标注的个角中，同旁内角有 对 17．如图，在∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，是同位角的有 对，它们是 ；是内错角的有 对，它们是 ；是同旁内角的有 对，它们是 ． 18．如图：与成内错角的是 ；与成同旁内角的是 ． 三、解答题 19．如图，过上任意一点P画的平行线，交于点T，过点C画．    20．如图，内有一点； (1)过点画的垂线； (2)过点画交于点，画交于点． 21．如图，按要求画图． (1)经过上一点画的平行线，交于； (2)过画MNAB． 22．读语句，画图形： （1）在图（1）中，画交于点，画交于点； （2）在图（2）中，画交于点． 23．根据图形填空： （1）若直线被直线所截，则和_____是同位角； （2）若直线被直线所截，则和_____是内错角； （3）和是直线被直线______所截构成的内错角； （4）和是直线，______被直线所截构成的_____角． 24．如果把图看成是直线AB，EF被直线CD所截，那么 （1）∠1与∠2是一对什么角？ （2）∠3与∠4呢？∠2与∠4呢？ 25．如图，说出与，与，与与分别是哪两条直线被哪一条直线所截得的，各是什么角？ 26．已知：如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上例如：从起始位置跳到终点位置有两种不同路径，路径1：；路径2：. 试一试：（1）写出从起始位置跳到终点位置的一种路径； （2）从起始位置依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点位置？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 平行线（第1课时）（十二大题型） 学习目标 1． 了解平行线的概念，并会画过直线外一点的平行线； 2． 掌握平行公理，并学会公理的应用； 3． 知道反证法及用反证法证明的步骤； 4． 掌握.“三线八角”的构建，学会判断同位角、内错角、同旁内角. 知识点1 平行公理 1.平行线 定义 在同一平面上不相交的两条直线叫作平行线. 平行用符号“//”表示.如果直线a和直线b是平行线，那么也称它们互相平行，记作“a//b”, 读作“a平行于b” . 2.画平行线 如图16-2-2,已知直线a和直线a 外一点P.利直尺和三角尺画一条经过点P且平行于a的直线. 画法 (1)将三角尺的一边AB紧靠直线a, 将直尺紧靠三角尺的另一边 AC,如图16-2-3(1)所示； (2)沿直尺推动三角尺，使三角尺紧靠直线a 的一边(边AB) 经 过 点P,如图16-2-3(2)所示； (3)沿三角尺的这条经过点P的边，画直线b,如图16-2-3(3)所示.直线b就是所要画的直线，如图16-2-3(4)所示. 要点：经过点P可以画出一条、且只能画出一条与已知直线a平行的直线.我们把这个基本事实作为公理. 3.平行公理 平行公理 经过直线外的一点，有且只有一条直线与该直线平行 . 从平行公理可以推出 定理 在同一平面上，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 . 这个定理称为平行的传递性. 由此，三条直线a 、b 、c 互相平行，可表示为“a//b//c” 4.反证法. 如图16-2-4,已知：直线a、b、c在同一平面上，a//c,b//c.求 证 ：a//b. 证明 如图16-2-4,假设a与b不平行，且相交于点P,那么过点P就有两条直线a、b都和直线c 平行，这与平行公理矛盾 这说明上述假设是错误的，所以a//b. 上面这样的证明方式，称为反证法.在本章开头证明“两条直线相交，只有一个交点”时就已经用过. 反证法的步骤是： (1)先假设求证的结论是错误的；(2)由此推导出与已知定义、公理、定理或条件等相矛盾的结果；(3)从而否定开始的假设，肯定先前求证的结论的正确性. 知识点2 “三线八角” 1.模型构建背景：由于直线是向两边无限延伸的，而我们所能看到的实际上只是直线的一部分， 因此要用“不相交”去判定两条直线平行是十分困难的.于是考虑借助第三条直线，利用它与这两条直线相交所成的角的大小，来判定两条直线是否平行. 2.“三线八角” 如图16-2-5,在同一平面上，直线a、b 与直线l 分别相交(也可以说：直线a 、b 被直线l 所截),构成 如图所示的八个角.如∠1与∠2,它们分别在直线a、 b的相同的一侧，并且在截线l 的同侧，这样的一对角叫作同位角. ∠3与∠4、∠5与∠6、∠7与∠8也分别是同位角. 而像∠ 1与∠6在直线a 、b 的内侧，且交错在截线l的两旁，像这样的一对角叫作内错角. ∠3与∠8也是内错角. ∠1与∠8在直线a 、b 的内侧，且都在截线l的同旁，像这样的一对角叫作同旁内角.∠3与∠6也是同旁内角. 要点：“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角. 【即学即练1】过点画直线，，分别使，． 【答案】见解析 【分析】过点Q分别作，即可． 【解析】MN、EF即为所求作的直线，如图所示： 【点睛】本题主要考查了过直线外一点作已知直线的平行线，学会用平移法作平行线是解题的关键． 【即学即练2】过如图，在平面内过点A作直线，可作平行线的条数（   ） A．0条 B．1条 C．0条或1条 D．无数条 【答案】B 【分析】本题考查了平行公理：过直线外一点有且只有一条直线已知直线平行，据此即可作答． 【解析】解：∵在平面内过点A作直线 ∴可作平行线的条数为1条（过直线外一点有且只有一条直线已知直线平行） 故选：B 【即学即练3】过下列说法错误的是（   ） A．在同一平面内，不相交的直线互相平行 B．在同一平面内，没有公共点的线段平行 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【分析】根据平行线的定义、相关公理、定理及性质逐项验证即可得到答案． 【解析】解：A、在同一平面内，不相交的直线互相平行，说法正确，该选项不符合题意； B、在同一平面内，没有公共点的线段平行，根据平行线定义，是直线而不是线段，说法错误，该选项符合题意； C、平行于同一条直线的两条直线平行，根据平行线的判定与性质，说法正确，该选项不符合题意； D、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，根据平行公理，说法正确，该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的定义、相关公理、定理及性质，熟记有关平行线的定义、相关公理、定理及性质是解决问题的关键． 【即学即练4】过对于同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中不正确的是（　　） A．若，则 B．若a⊥b，a⊥c，则b⊥c C．若，a⊥c，则b⊥c D．若a⊥b，a⊥c，则 【答案】B 【分析】由平行公理的推论逐项判断即可． 【解析】A．由在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，可判断A正确，不符合题意； B．由在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，可判断B错误，符合题意； C．由在同一平面内，如果一条直线垂直于两平行线中的任意一条，则这条直线必垂直于另一条，可判断C正确，不符合题意； D． 由在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行， D正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查平行公理的推论．理解平行公理的推论是解题关键． 【即学即练5】过下列四个选项中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了内错角“两条直线被第三条直线所截，若两个角都在这两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样的一对角叫做内错角”，熟记内错角的定义是解题关键．根据内错角的定义逐项判断即可得． 【解析】解：A、与不是内错角，则此项不符合题意； B、与是内错角，则此项符合题意； C、与不是内错角，则此项不符合题意； D、与不是内错角，则此项不符合题意； 故选：B． 题型1:画过直线外一点的平行线 【典例1】．如图所示，在内有一点P． (1)过P画； (2)过P画． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查画平行线： （1）借助三角板和直尺画平行线即可； （2）借助三角板和直尺画平行线即可． 【解析】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，直线即为所求； 【变式1-1】．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺完成以下操作． (1)过点作的平行线． (2)过点作的平行线，与（1）中的平行线交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作平行线．熟练掌握作平行线是解题的关键． （1）过作水平线即可； （2）格点向上2个格点，向左2个格点为，连接即可． 【解析】（1）解：过作水平线，如图1，，即为所作；              图1 （2）解：如图2，格点向上2个格点，向左2个格点为，连接，，点即为所作；              图2 【变式1-2】．如图，是直线外一点，过点的直线与交于点，过点画直线，使得． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画平行线，用直尺和三角形板结合画平行线的方法作图即可． 【解析】解：如图所示，直线即为所求． 【变式1-3】．如图，在三角形外求作一点D，使，且的长最短． 【答案】见解析 【分析】先过点B作线段的平行线，再过点A作，垂足为点D，此时的长最短． 【解析】解∶如图，点 D 即为所求． 题型2:判断过直线外一点的平行线的作图步骤 【典例2】．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【答案】B 【分析】本题考查了画平行线，根据同位角相等两直线平行判断即可． 【解析】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是④②③①， 故选：B． 【变式2-1】．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤： ①沿三角尺的边作出直线CD； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB； ④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是： ． 【答案】③②④① 【分析】根据同位角相等两直线平行判断即可． 【解析】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是③②④①， 故答案我③②④①． 【点睛】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握同位角相等，两直线平行． 题型3:平行线、平行公理及其应用 【典例3】．经过直线外一点，有且只有 条直线与已知直线平行． 【答案】一/1 【分析】利用平行公理进行分析即可． 【解析】解：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； 故答案为：一． 【点睛】本题考查了平行公理，能熟记知识点的内容是解此题的关键． 【变式3-1】．在木条转动过程中，存在一条直线a与直线b不相交的情形，这时我们说直线a与b互相 ．记作“a b”． 在同一平面内，不相交的两条直线叫做 ． 注意：平行线的定义包含三层意思： （1）“在同一 ”是前提条件； （2）“不相交”就是说两条直线没有 ； （3）平行线指的是“两条 ”而不是两条射线或两条线段． 【答案】 平行 ∥ 平行线 平面内 交点 直线 【解析】略 【变式3-2】．如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了 ．    【答案】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】根据平行公理可得答案． 【解析】解：由图可得，过直线外一点，能且只能画出一条平行线， 这反映了：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】本题考查平行公里，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． 【变式3-3】0．如图，已知直线，则A，B，C三点在同一直线上，理由是 ． 【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】该题主要考查了“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”，正确理解题意即可解答； 根据“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”，即可解答； 【解析】解：∵直线，都过点A，且， 又∵经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴A，B，C三点在同一直线上． 故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 题型4:平行线、平行公理的有关概念综合辨析 【典例4】．下列说法中正确的是（   ） A．画已知直线的垂线只有一条 B．画已知直线的平行线只能有一条 C．与已知直线垂直的直线必经过已知点 D．在平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的定义和公理和垂线的相关知识，根据平行线的定义及平行公理，垂直的定义进行判断． 【解析】解：．在同一平面内过一点画已知直线的垂线只有一条，原说法错误，故该选项不符合题意； ．过直线外一点画已知直线的平行线有且只有一条，原说法错误，故该选项不符合题意； ．与已知直线垂直的直线不一定经过已知点，原说法错误，故该选项不符合题意； ．在平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式4-1】．下列说法不正确的是（    ） A．同一平面内不相交的两条直线互相平行 B．经过一点能作一条直线与已知直线平行 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．同一平面内经过一点只能作一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【分析】由题意直接根据平行线的判定与性质、平行公理及推论依次进行分析即可判断． 【解析】解：A．同一平面内不相交的两条直线互相平行， 所以A选项正确，不符合题意； B．经过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行， 所以B选项错误，符合题意； C．平行于同一条直线的两条直线平行， 所以C选项正确，不符合题意； D．同一平面内经过一点只能作一条直线与已知直线垂直， 所以D选项正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质、平行公理及推论． 【变式4-2】．下列说法中，正确的个数为(   ) （1）过一点有无数条直线与已知直线平行 （2）如果，那么 （3）如果两线段不相交，那么它们就平行 （4）如果两直线不相交，那么它们就平行 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据平行线的概念、公理及推论判断． 【解析】（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误； （2）根据平行公理的推论，正确； （3）线段的长度是有限的，不相交也不一定平行，故错误； （4）应该是“在同一平面内”，故错误． 正确的只有一个， 故选A 【点睛】掌握平行线的定义、公理及推论，并具有一定的判断能力，举反例也是一种方法． 【变式4-3】．下列说法中：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；②直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；③过一点有且只有一条直线平行于已知直线；④过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查平行公理及其推论，点到直线的距离的定义，垂直的性质，熟练掌握这些性质和定义是解题的关键．分别利用平行公理推论、点到直线的距离的定义、垂直的性质、平行公理判断即可． 【解析】解：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故①正确； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故②不正确； 过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，故③不正确； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故④不正确； 所以正确的有①，共个． 故选：A． 题型5：平行公理等数学语言判断（“∥或⊥”） 【典例5】．下面推理正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了平行公理的推论，根据“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”逐项判断即可，掌握平行公理的推论是解题关键． 【解析】解：A、，都和平行，应该推出的是，而非，故错误，不符合题意； B、，与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误，不符合题意； C、，都和平行，根据“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”可推出是，故正确，符合题意； D、，与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误，不符合题意； 故选：C． 【变式5-1】．下列推理正确的是 （ ） A．因为，，所以 B．因为，，所以 C．因为，，所以 D．因为，，所以 【答案】C 【分析】本题考查了平行公理的推论，属于基础题型，熟练掌握基本知识是关键．根据平行公理的推论逐项判断即得答案． 【解析】解：A、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意； B、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意； C、由，，能推出，所以本选项推理正确，符合题意； D、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意． 故选：C． 【变式5-2】．是直线，下列说法正确的是(　　) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理以及平行线的性质判断即可． 【解析】解：A、在同一平面内，若，则，原说法错误，不符合题意； B、在同一平面内，若，则，原说法错误，不符合题意； C、在同一平面内，若，则，原说法错误，不符合题意； D、若，则，正确，符合题意． 故选：D 【变式5-3】．下列说法正确的是（　　） A．a、b、c是直线，若，则 B．a、b、c是直线，若，则 C．a、b、c是直线，若，则 D．a、b、c是直线，若，则 【答案】D 【分析】根据平行线的性质和判定逐个判断即可． 【解析】解：A．当时，，故本选项错误，不符合题意； B．在同一平面内，当时，，故本选项错误，不符合题意； C．当时，，故本选项错误，不符合题意； D．当时，，故选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行公理和推论，平行线的性质和判定等知识点，能灵活运用定理进行判断是解此题的关键，此题比较好，但是比较容易出错． 题型6：平行公理的拓展 【典例6】．在同一平面内有四条直线a、b、c、d，已知：，，，则a和c的位置关系是 . 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行公理的推论：平行于同一直线的两条直线平行，即可求解． 【解析】解：，， ， 又， ， 故答案为：． 【变式6-1】．规律探究：同一平面内有直线、、，，，若，，，，，按此规律，与的位置关系是 ． 【答案】互相垂直． 【分析】依据，，，，，可得，即可得到与的位置关系是互相垂直． 【解析】解：，，， ， 按此规律，， 又，， ， 以此类推， ， ， 故答案为互相垂直． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是根据已知条件得出规律：． 题型7：三线八角构建的有关概念（如判断第三条直线等） 【典例7】．如图，直线上有一点和是直线被直线 所截形成的 角；和是直线和被直线 所截形成的 角；和是直线 和 被直线 所截形成的 角． 【答案】 同位 内错 同旁内 【分析】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．根据同位角、内错角、同旁内角的定义解答即可． 【解析】解：直线上有一点和是直线被直线所截形成的同位角；和是直线和被直线所截形成的内错角；和是直线和被直线所截形成的同旁内角． 故答案为：，同位；，内错；，，，同旁内． 【变式7-1】．如图， （1）∠1和∠ABC是直线AB、CE被直线 所截得的 角； （2）∠2和∠BAC是直线CE、AB被直线 所截得的 角； （3）∠3和∠ABC是直线 、 被直线 所截得的 角； （4）∠ABC和∠ACD是直线 、 被直线 所截得的 角； （5）∠ABC和∠BCE是直线 、 被直线 所截得的 角． 【答案】 BD（BC） 同位 AC 内错 AB AC BC 同旁内 AB AC BC 同位 AB CE BC 同旁内 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的性质判断即可； 【解析】（1）∠1和∠ABC是直线AB、CE被直线BD（BC）所截得的同位角； （2）∠2和∠BAC是直线CE、AB被直线AC所截得的内错角； （3）∠3和∠ABC是直线AB、AC被直线BC所截得的同旁内角； （4）∠ABC和∠ACD是直线AB、AC被直线BC所截得的同位角； （5）∠ABC和∠BCE是直线AB、CE被直线BC所截得的同旁内角． 故答案是：BD（BC）；同位；AC；内错；AB；AC；BC；同旁内；AB；AC；BC；同位；AB；CE；BC；同旁内． 【点睛】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角的判断，准确分析判断是解题的关键． 题型8：同位角 【典例8】．下列图中，不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查识别同位角，熟练掌握同位角的定义是解决本题的关键, 在被截线同一侧，截线的同一方位的两个角互为同位角． 根据同位角的定义逐一判断，解决此题． 【解析】解：A．由图可知：，是同位角，A故不合题意； B．由图可知：，是同位角，故B不合题意； C．由图可知：，是同位角，故C不合题意； D．由图可知：，不是同位角，故D符合题意． 故本题选：D． 【变式8-1】．下列图形中，和不是同位角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是同位角的定义，掌握同位角的定义是解题的关键．利用同位角定义，即同位角是指两条直线与第三条直线相交，在第三条直线的同旁，两条直线同一侧的角．进行解答即可． 【解析】解：A、和是同位角，故此选项不合题意； B、和是同位角，故此选项不合题意； C、和不是同位角，故此选项符合题意； D、和是同位角，故此选项不合题意； 故选：C． 题型9：内错角 【典例9】．如图，直线AB，CD被AE所截，则∠A的内错角是 ． 【答案】/ 【分析】利用内错角定义进行解答即可． 【解析】解：直线、被直线截，则和是内错角角， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了内错角，解题的关键是掌握内错角的边构成“”形． 【变式9-1】．如图所示，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了内错角的定义，两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．根据内错角的定义，即可求解． 【解析】解：根据内错角的定义，与是内错角的是． 故选：B． 【变式9-2】．如图当中的内错角一共有（   ）对 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了内错角的定义，正确记忆内错角的定义是解决本题的关键． 根据内错角是在截线两旁，被截线之内的两角，内错角的边构成“Z ”形作答． 【解析】解：和是内错角，和是内错角，和是内错角，和是内错角， ∴内错角一共有4对． 故选：C． 题型10：同旁内角 【典例10】．如图，与∠B是同旁内角有 个 【答案】3 【分析】根据同旁内角的定义即可得． 【解析】解：直线BC、AD被直线BE所截，与互为同旁内角， 直线BC、AC被直线BE所截，与互为同旁内角， 直线AB、AC被直线BC所截，与互为同旁内角， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了同旁内角，解题的关键是掌握同旁内角的定义． 【变式10-1】．如图，平行直线，与相交直线，相交，图中的同旁内角共有 对． 【答案】16 【分析】此题考查了同旁内角的知识，属于基础题，掌握定义是关键．根据同旁内角的定义：两直线被第三条直线所截，在截线的同一侧，被截线的内部的两个角是同旁内角，注意每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图形进行分解入手即可求得答案． 【解析】解：直线，被所截有2对同旁内角； 直线，被所截有2对同旁内角； 直线、被所截有2对同旁内角； 直线、被所截有2对同旁内角； 直线、被所截有2对同旁内角； 直线、被所截有2对同旁内角； 直线、被所截有2对同旁内角； 直线、被所截有2对同旁内角． ∴共有16对同旁内角． 故答案为：16． 题型11：同位角、内错角、同旁内角的综合判断 【典例11】．如图，下列结论正确的是（   ） A．与互为内错角 B．与互为内错角 C．与互为同旁内角 D．与互为同位角 【答案】D 【分析】本题考查了同位角，内错角，同旁内角和邻补角，根据同位角，内错角，同旁内角和邻补角的概念判断即可． 【解析】解：A、和是同位角，故A不符合题意； B、与不是内错角，故B不符合题意； C、与不是同旁内角，故C不符合题意； D、与互为同位角，故D符合题意； 故选：D． 【变式11-1】．下列说法不正确的是（　　） A．和是同旁内角 B．和是内错角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【答案】D 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，熟练掌握同位角，内错角，同旁内角的定义是解题的关键．根据同位角，内错角，同旁内角的定义逐一判断即可． 【解析】解：A. 和是同旁内角，说法正确，选项不符合题意； B. 和是内错角，说法正确，选项不符合题意； C. 和是同位角，说法正确，选项不符合题意； D. 和互为补角，说法错误，选项符合题意； 故选：D． 【变式11-2】．如图，直线L截直线a，b所得的同位角有 对；内错角有 对，它们是 ；同旁内角有 对，它们是 ；对顶角 对，它们是 ． 【答案】 4 2 与，与 2 与，与 4 与，与，与，与 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角，对顶角的定义解答． 【解析】解：直线l截直线a，b所得的同位角有4对，分别是与，与，与，与； 内错角有2对，它们是与∠8，与； 同旁内角有2对，它们是与，与； 对顶角有4对，它们是与，与，与，与． 故答案为：4；2；与，与；2；与，与；4；与，与，与，与 【点睛】本题主要考查了“三线八角”，正确掌握各角之间的关系是解答本题的关键． 【变式11-3】．如图，直线a、b、c分别与直线d、e相交，与∠1构成同位角的角共有 个，和∠l构成内错角的角共有 个，与∠1构成同旁内角的角共有 个． 【答案】 3 2 2 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义判断即可； 【解析】如图，与∠1是同位角的是：∠2, ∠3,∠4；与∠1是内错角的是：∠5, ∠6；与∠1是同旁内角的是：∠7，∠8． 【点睛】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角的判断，准确分析是解题的关键． 【变式11-4】．如图，在用数字表示的角中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？ 【答案】同位角：和和；内错角：和和；同旁内角：和和和和． 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．依此即可得出答案． 【解析】解：同位角：和，和； 内错角：和，和； 同旁内角：和，和，和，和． 题型12：同位角、内错角、同旁内角的有关规律题 【典例12】．（1）如图：①所示，两条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有 对，内错角有 对，同旁内角有 对； （2）如图②所示，三条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有 对，内错角有 对，同旁内角有 对； （3）根据以上探究的结果，（为大于的整数）条水平直线被一条倾斜的直线所截，同位角有 对，内错角有 对，同旁内角有 对（用含的式子表示）． 【答案】 4 2 2 12 6 6 【分析】根据同位角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，内错角是两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，根据同旁内角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，可得答案． 【解析】（1）如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有4对，内错角有2对，同旁内角有2对． 故答案为：4，2，2； （2）如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有12对，内错角有6对，同旁内角有6对． 故答案为：12，6，6； （3）列表如下： 条数           角 同位角（对数） 内错角（对数） 同旁内角（对数） 2 4 2 2 3 12 6 6 4 24 12 12 ．．． ．．． ．．． ．．． n 2n(n-1) n(n-1) n(n-1) 根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有2n(n-1)对，内错角有n(n-1)对，同旁内角有n(n-1)对， 故答案为：2n(n-1)，n(n-1)，n(n-1)． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义． 【变式12-1】．复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常见的数学解题思想． （1）如图①，直线，被直线所截，在这个基本图形中，形成了 对同旁内角． （2）如图②，平面内三条直线，，两两相交，交点分别为A，B，C，图中一共有 对同旁内角． （3）平面内四条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角． （4）平面内n条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角． 【答案】 2 6 24 【分析】（1）根据同旁内角的概念找出所有的同旁内角，即可得出答案； （2）根据同旁内角的概念找出所有的同旁内角，即可得出答案； （3）画出四条直线两两相交的图形，然后根据同旁内角的概念找出所有的同旁内角，即可得出答案； （4）根据同旁内角的概念结合前3问的答案找出规律即可得出答案． 【解析】（1）如图 其中同旁内角有与，与，共2对； 故答案是：2； （2）如图 其中同旁内角有与，与，与，与，与，与，共6对，， 故答案是：6； （3）如图 其中的同位角有与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与， 与，与，与，与，与，与，与，与共24对，， 故答案是：24； （4）根据以上规律，平面内条直线两两相交，最多可以形成对同旁内角， 故答案是：． 【点睛】本题主要结合同旁内角探索规律，掌握同旁内角的概念并找出规律是解题的关键． 一、单选题 1．下列四个图形中，和是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据内错角的概念：处于两条被截直线之间，截线的两侧，再逐一判断即可． 【解析】解：A、∠1与∠2不是内错角，选项不符合题意； B、∠1与∠2是内错角，选项符合题意； C、∠1与∠2不是内错角，选项不符合题意； D、∠1和∠2不是内错角，选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了内错角，关键是根据内错角的概念解答．注意：内错角的边构成“Z”形． 2．如图，直线AB、CD被直线EF所截，则∠3的同旁内角是（ ）． A．∠1 B．∠2 C．∠4 D．∠5 【答案】B 【分析】根据同旁内角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线之间位置的角解答即可． 【解析】根据同旁内角的定义可得∠3的内错角是∠2. 故答案选：B 【点睛】本题考查的知识点是同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是熟练的掌握同位角、内错角、同旁内角. 3．下列说法： ①已知直线a，b，c，若a与c相交，则a与b相交； ②若直线，直线，那么直线； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种． 其中错误的有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、相交线等知识点．掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键． 利用同一个平面内，两条直线的位置关系解答即可． 【解析】解：①已知直线a，b，c，若a与c相交，则a与b不一定相交，故原说法错误； ②若直线，直线，那么直线，故原说法正确； ③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故原说法错误； ④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交两种，故原说法错误． 错误的有3个， 故选：A． 4．如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（　　） A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4 【答案】B 【分析】同位角：两条直线a，b被第三条直线c所截（或说a，b相交c），在截线c的同旁，被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．根据此定义即可得出答案． 【解析】解：∵直线AD，BE被直线BF和AC所截， ∴∠1与∠2是同位角，∠5与∠6是内错角， 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是同位角和内错角的概念，解题的关键是熟记内错角和同位角的定义． 5．、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么与（   ） A．一定不平行 B．一定平行 C．一定互相垂直 D．可能相交或平行 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线的位置关系，在同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交． 根据关键语句“若与不平行， 与不平行，”画出图形，图形有两种情况，根据图形可得答案． 【解析】根据题意可得图形： 根据图形可知：若与不平行，与不平行，则与可能相交或平行， 故选：D． 6．如图，AB和CD相交于点O，则下列结论错误的是（    ） A．∠1与∠2互为对顶角 B．∠B与∠1互为同位角 C．∠A与∠C互为内错角 D．∠B与∠C互为同旁内角 【答案】C 【分析】根据对顶角、同位角、内错角、同旁内角定义判断求解即可． 【解析】解：∠1与∠2互为对顶角， 故A正确，不符合题意； ∠B与∠1互为同位角， 故B正确，不符合题意； ∠A 与∠C不是内错角， 故C错误，符合题意； ∠B与∠C互为同旁内角， 故D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了对顶角、同位角、内错角、同旁内角，熟记对顶角、同位角、内错角、同旁内角定义是解题的关键． 7．如图，在∠1、∠2、∠3、∠4中，内错角是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据内错角的定义找出即可． 【解析】解：根据内错角的定义，∠2与∠3是内错角， 故选:D． 【点睛】本题考查“三线八角”问题，确定三线八角的关键是从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义． 8．如图，下列判断正确的是（ ） A．与是同旁内角 B．与是同位角 C．与是对顶角 D．与是内错角 【答案】A 【分析】根据同位角、同旁内角、内错角和对顶角的概念解答即可． 【解析】解：A、与是同旁内角，故本选项符合题意； B、与不是同位角，故本选项不合题意； C、与不是对顶角，故本选项不合题意； D、与不是内错角，故本选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的两旁，则这样一对角叫做内错角． 9．中国滑雪天才少女谷爱凌在2022年北京冬奥会的赛场上斩获“自由式滑雪大跳台”首金，这是她获得的首个冬奥会奖牌，也是中国运动员第一次参加冬奥会大跳台的比赛．项目图标如下图；则在下列判断中①∠1与∠2是对顶角；②∠3与∠4是同旁内角；③∠5与∠6是同旁内角；④∠1与∠4是内错角，其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用对顶角、同旁内角、内错角的定义逐个判断即可． 【解析】解：∠1与∠2有公共顶点且两条边都互为反向延长线，因此是对顶角，故①正确； 两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角，因此∠3与∠4是同旁内角，故②正确； ∠5与∠6是邻补角，不是同旁内角，故③错误； 两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫作内错角，因此∠1与∠4是内错角，故④正确； 综上，正确的有①②④． 故选C． 【点睛】本题考查对顶角、同旁内角、内错角的判断，熟练掌握定义是解题的关键． 10．若平面上5条直线两两相交，且无三线共点，无四线共点，则一共有多少对同旁内角（      ） A．59 B．60 C．61 D．62 【答案】B 【分析】每条直线都与另4条直线相交，且没有3条直线交于一点，共有30条线段．每条线段两侧各有一对同旁内角内角，可知同旁内角的总对数． 【解析】解：如图， ∵平面上5条直线两两相交，且无三线共点，无四线共点， ∴共有5×6=30条线段． 又∵每条线段两侧各有一对同旁内角内角， ∴共有同旁内角30×2=60对． 故选：B 【点睛】本题考查了同旁内角的定义．注意在截线的同旁找同旁内角．要结合图形，熟记同旁内角的位置特点．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有两对同旁内角．注意按顺序一个点一个点的数，不要重复也不要遗漏． 二、填空题 11．如图，过点画直线的平行线，能画 条，依据是： ． 【答案】 1, 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】根据经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解答． 【解析】解：过点A画直线l的平行线，能画一条， 依据是经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：1；经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【点睛】本题考查的是平行公理，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行是解题的关键． 12．如图，∠2与∠3是直线 、 被第三条直线 所截形成的 ． 【答案】 AB AC BD 同旁内角 【分析】根据同旁内角的定义即可判断． 【解析】由同旁内角的概念可知： 如图所示，∠2与∠3是直线AB，AC被直线BD所截而成的同旁内角； 故答案为：AB；AC；BD；同旁内角； 【点睛】本题考查了同旁内角的定义，熟悉掌握同旁内角的定义是解题的关键． 13．如图所示，直线AB，CD是一条河的两岸，并且AB∥CD，点E为直线AB，CD外一点，现想过点E作河岸CD的平行线，只需过点E作AB的平行线即可，其理由 【答案】平行于同一条直线的两条直线平行． 【分析】根据平行线的传递性即可解答． 【解析】解：∵AB∥CD，点E为直线AB，CD外的一点， ∴为了过E作河岸CD的平行线，只需作岸AB的平行线即可． 其理由是：平行于同一条直线的两条直线平行． 【点睛】本题比较简单，考查的是学生对平行线具有传递性这一性质的了解． 14．如图所示的四个图形中，和是同位角的是 ．（填序号）    【答案】①②④ 【分析】根据同位角的定义，逐一判断选项，即可得到答案． 【解析】解：①∠1和∠2在两条直线的同侧，也在第三条直线的同侧，故它们是同位角； ②∠1和∠2在两条直线的同侧，也在第三条直线的同侧，故它们是同位角； ③∠1与∠2分别是四条直线中的两对直线的夹角，不符合同位角的定义，故它们不是同位角； ④∠1和∠2在两条直线的同侧，也在第三条直线的同侧，故它们是同位角． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查同位角的定义，掌握同位角的定义：“两条直线被第三条直线所截，在两条直线的同侧，在第三条直线的同旁的两个角，叫做同位角”，是解题的关键． 15．如图是一个风车，当风车的一片叶子AB旋转到与地面MN平行时，叶子CD与地面MN (填“平行”或“不平行”)，理由是 ． 【答案】 不平行 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案． 【解析】AB与CD有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得AB不能同时与地面EF平行． 故答案是：不平行, 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 【点睛】考查的是平行线的判定与性质，熟知平行公理是解答此题的关键． 16．如图所示，在标注的个角中，同旁内角有 对 【答案】4 【分析】根据同旁内角的定义判断即可，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． 【解析】解：和是同旁内角， 和是同旁内角， 和是同旁内角， 和是同旁内角， 故在标注的个角中，同旁内角有对． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同旁内角的定义，掌握同旁内角的定义是解题的关键． 17．如图，在∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，是同位角的有 对，它们是 ；是内错角的有 对，它们是 ；是同旁内角的有 对，它们是 ． 【答案】 2 ∠1和∠4、∠3和∠5 2 ∠1与∠5、∠2与∠3 3 ∠2和∠5、∠3和∠4、∠4和∠5 【分析】根据同位角、内错角和同旁内角的概念进行解答. 【解析】解：如图，由题意可得： 同位角有：2对，分别是：∠1和∠4、∠3和∠5； 内错角有：2对，分别是：∠1与∠5、∠2与∠3； 同旁内角有：3对，分别是：∠2和∠5、∠3和∠4、∠4和∠5. 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握相应的概念. 18．如图：与成内错角的是 ；与成同旁内角的是 ． 【答案】 、和 、、和 【分析】准确识别内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线． 【解析】解：如图，与成内错角的是、和，与成同旁内角的是：、、和． 故答案分别是：、和，、、和． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，应当沿着角的边将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到三线八角的基本图形，进而确定这两个角的位置关系． 三、解答题 19．如图，过上任意一点P画的平行线，交于点T，过点C画．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画平行线的作图方法，根据平移的方法画平行线即可． 【解析】解：如图所示，即为所求．    20．如图，内有一点； (1)过点画的垂线； (2)过点画交于点，画交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点画的垂线即可； （2）过点画交于点，画交于点． 【解析】（1）解：如图即为所求， （2）如图：，， 【点睛】本题考查了作垂线和过直线外一点作平行线，掌握基本作图方法是解答本题的关键． 21．如图，按要求画图． (1)经过上一点画的平行线，交于； (2)过画MNAB． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的定义画出图形； （2）根据平行线的定义画出图形； 【解析】（1）解；如图所示： （2）解：如图所示： 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．读语句，画图形： （1）在图（1）中，画交于点，画交于点； （2）在图（2）中，画交于点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用过直线外一点作已知直线的平行线作法得出即可； （2）利用过直线外一点作已知直线的平行线作法得出即可． 【解析】（1）如图（1）所示：，即为所求； （2）如图（2）所示：即为所求． 【点睛】此题主要考查了基本作图，利用过直线外一点作已知直线的平行线作法得出是解题关键． 23．根据图形填空： （1）若直线被直线所截，则和_____是同位角； （2）若直线被直线所截，则和_____是内错角； （3）和是直线被直线______所截构成的内错角； （4）和是直线，______被直线所截构成的_____角． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），同位 【分析】（1）根据图形及同位角的概念可直接进行求解； （2）根据图形及内错角的概念可直接进行求解； （3）根据图形及内错角的概念可直接进行求解； （4）根据图形及同位角的概念可直接进行求解． 【解析】解：由图可得： （1）若直线被直线所截，则和是同位角； 故答案为； （2）若直线被直线所截，则和是内错角； 故答案为； （3）和是直线被直线所截构成的内错角； 故答案为； （4）和是直线，被直线所截构成的同位角； 故答案为，同位． 【点睛】本题主要考查内错角及同位角的概念，熟练掌握同位角及内错角的概念是解题的关键． 24．如果把图看成是直线AB，EF被直线CD所截，那么 （1）∠1与∠2是一对什么角？ （2）∠3与∠4呢？∠2与∠4呢？ 【答案】（1）∠1与∠2是一对同位角；（2）∠3与∠4是一对内错角，∠2与∠4是一对同旁内角 【分析】同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截直线之间的两角，叫做同旁内角；由以上概念进行判断即可． 【解析】解：直线AB，EF被直线CD所截， （1）∠1与∠2是一对同位角； （2）∠3与∠4是一对内错角，∠2与∠4是一对同旁内角． 【点睛】本题考查同位角、内错角以及同旁内角的识别，掌握这几种角的基本定义是解题关键． 25．如图，说出与，与，与与分别是哪两条直线被哪一条直线所截得的，各是什么角？ 【答案】与是直线和直线被直线所截得的同位角；与是直线和直线被直线所截得的内错角；与是直线和直线被直线所截得的同旁内角；与是直线和直线被直线所截得的同旁内角 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义．内错角定义：在两被切直线内侧，在切线异侧的两个角叫作内错角；同旁内角定义：在两被切直线内侧，在切线同侧的两个角叫作同旁内角；同位角定义：在被切直线同侧，且在切线同侧的两个角叫作同位角．据此即可求解． 【解析】解：与是直线和直线被直线所截得的同位角； 与是直线和直线被直线所截得的内错角； 与是直线和直线被直线所截得的同旁内角； 与是直线和直线被直线所截得的同旁内角 26．已知：如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上例如：从起始位置跳到终点位置有两种不同路径，路径1：；路径2：. 试一试：（1）写出从起始位置跳到终点位置的一种路径； （2）从起始位置依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点位置？ 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）能跳到终点位置.其路径为 （答案不唯一） 【分析】（1）根据同旁内角、内错角和同位角的定义进行选择路径即可； （2）先判断能够到达终点位置，在根据定义给出具体路径即可. 【解析】（1）可以是这样的路径：.（答案不唯一） （2）从起始位置依次按同位角内错角同旁内角的顺序跳，能跳到终点位置.其路径为 （答案不唯一）. 【点睛】本题考查的是同位角、内错角和同旁内角的定义，熟知这些角的特征是解题的关键. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$