湖南省长沙市宁乡市2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年湖南省长沙市宁乡市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）一元二次方程4x2﹣x﹣3＝0的常数项是（　　） A．4 B．﹣1 C．﹣3 D．3 3．（3分）下列事件中是随机事件的是（　　） A．两个奇数之和为偶数 B．三条线段围成一个三角形 C．一年有367天 D．直径所对的圆周角为直角 4．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝50°，则∠AOB的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 5．（3分）小勇抛一枚质地均匀的硬币，第一次抛时反面向上，他第二次抛这枚硬币时，反面向上的概率是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）已知反比例函数的图象经过点P（1，﹣2），则这个函数的图象位于（　　） A．第二、第三象限 B．第一、第三象限 C．第三、第四象限 D．第二、第四象限 7．（3分）已知，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（b2﹣4ac，abc）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（3分）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（　　） A．4cm B．8cm C．5cm D．10cm 9．（3分）农特产品展销推荐会在杨凌举行．某农户销售一种商品，每千克成本价为40元．已知每千克售价不低于成本价，不超过80元．经调查，当每千克售价为50元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每上涨1元，每天的销量就减少2千克．为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为（　　） A．20 B．60 C．70 D．80 10．（3分）如图，点D在半圆O上，半径OA＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，且∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）将抛物线y＝3（x﹣4）2+2向右平移1个单位长度后抛物线的顶点坐标是 　 　． 12．（3分）如果一个扇形的圆心角为120°，半径为6，那么该扇形的弧长是 　 　． 13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（3，0），连接AB．若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A′BO′，则点A′的坐标为 　 　． 14．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣3）x2+4x+a2﹣4a+3＝0有一个根为0，则a＝ 　 　． 15．（3分）两圆的圆心距d＝4，两圆的半径分别是方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则两圆的位置关系是　 　． 16．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是序号是 　 　． 三、本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.（解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（6分）解方程： （1）x2﹣6x+8＝0； （2）2x（x﹣3）+（3﹣x）＝0． 18．（6分）如图，△ABO的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，2），B（3，0）． （1）画出△ABO关于点O成中心对称的△A1B1O； （2）写出坐标：A1　 　，B1　 　． 19．（6分）在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达50%，那么每轮传播中平均一人传播了多少人？ 20．（8分）如图，一次函数y＝x+b与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象在第一象限内交于点A（1，2），且与x轴、y轴分别交于B，C两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点P在x轴上，且△BCP的面积等于3，求点P的坐标． 21．（8分）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 　 　； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 22．（9分）如图：利用一面墙（墙的长度不限），用20m的篱笆围成一个矩形场地ABCD．设矩形与墙垂直的一边AB为x m，矩形的面积为S m2． （1）若面积S＝48m2，求AB的长； （2）能围成面积为58m2的矩形吗？说明理由． 23．（9分）如图，在△ABC中，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，BE． （1）判断△ABD的形状； （2）求证：BE平分∠ABD． 24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，＝，DE⊥AC于点E，DE交BF于点F，交AB于点G，∠BOD＝2∠F，连接BD． （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）判断△DGB的形状，并说明理由； （3）当FG＝8时，求BC的长． 25．（10分）如图1，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A（﹣3，0）和B，与y轴交于点C（0，3）． （1）求该抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）如图2，若P是线段OA上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交AC于点N，设点P的横坐标为t，△ACH的面积为S．求S关于t的函数关系式；当t取何值时，S有最大值，求出S的最大值； （3）若P是x轴上一个动点，过P作直线PQ∥BC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在x轴上是否存在这样的点P，使以B，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 2024-2025学年湖南省长沙市宁乡市九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B B D D A D C D 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的概念和各图的特点求解． 【解答】解：选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 故选：D． 【点评】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2．（3分）一元二次方程4x2﹣x﹣3＝0的常数项是（　　） A．4 B．﹣1 C．﹣3 D．3 【分析】根据一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0），其中a，b，c分别为二次项、一次项、常数项，进行判断即可． 【解答】解：一元二次方程4x2﹣x﹣3＝0的常数项是﹣3． 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程的一般形式，能够区分一元二次方程的二次项、一次项以及常数项是解题的关键． 3．（3分）下列事件中是随机事件的是（　　） A．两个奇数之和为偶数 B．三条线段围成一个三角形 C．一年有367天 D．直径所对的圆周角为直角 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：A、两个奇数之和为偶数是必然事件，不符合题意； B、三条线段围成一个三角形是随机事件，符合题意； C、一年有367天是不可能事件，不符合题意； D、直径所对的圆周角为直角是必然事件，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝50°，则∠AOB的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 【分析】∠C＝50°，根据圆周角定理即可直接得出答案． 【解答】解：∵点A，B，C在⊙O上，∠C＝50°， ∴， ∴∠AOB＝2∠C＝2×50°＝100°， 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 5．（3分）小勇抛一枚质地均匀的硬币，第一次抛时反面向上，他第二次抛这枚硬币时，反面向上的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】抛一枚质地均匀的硬币，有两种结果，正面或反面朝上，每种结果等可能出现，利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：∵抛掷一枚质地均匀的硬币，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现， ∴他第二次再抛这枚硬币时，反面向上的概率是． 故选：D． 【点评】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键． 6．（3分）已知反比例函数的图象经过点P（1，﹣2），则这个函数的图象位于（　　） A．第二、第三象限 B．第一、第三象限 C．第三、第四象限 D．第二、第四象限 【分析】根据反比例函数的性质，可得答案． 【解答】解：∵反比例函数的图象经过点P（1，﹣2）， ∴k＝1×（﹣2）＝﹣2， ∵k＝﹣2＜0， ∴该反比例函数图象在第二、第四象限， 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比函数的性质是解题关键． 7．（3分）已知，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（b2﹣4ac，abc）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】先利用抛物线与x轴的交点个数和根的判别式的意义得到Δ＝b2﹣4ac＞0，再根据二次函数的性质得到a＞0，b＜0，c＜0，所以abc＞0，然后根据各象限内点的坐标特征进行判断． 【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有2个不相等的实数解， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴a、b异号，即b＜0， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴c＜0， ∴abc＞0， ∴点P（b2﹣4ac，abc）在第一象限． 故选：A． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质． 8．（3分）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（　　） A．4cm B．8cm C．5cm D．10cm 【分析】连接AB、CD交于点D，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：将该铁球放入工件槽内，如图，连接AB、CD交于点D， ∴OC⊥AB，AB＝8cm， ∴， 设圆的半径为R cm，则OD＝（R﹣2）cm， 在Rt△AOD中，由勾股定理得：OA2＝AD2+OD2， 即R2＝42+（R﹣2）2， 解得：R＝5， 则该铁球的直径为10cm， 故选：D． 【点评】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 9．（3分）农特产品展销推荐会在杨凌举行．某农户销售一种商品，每千克成本价为40元．已知每千克售价不低于成本价，不超过80元．经调查，当每千克售价为50元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每上涨1元，每天的销量就减少2千克．为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为（　　） A．20 B．60 C．70 D．80 【分析】设每千克的售价应定为x千克，每天的销售利润为y元，根据题意得，y＝﹣2（x﹣70）2+1800，根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：设每千克的售价应定为x千克，每天的销售利润为y元， 根据题意得，y＝（x﹣40）[100﹣2（x﹣50）]＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800， 答：当为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为70元， 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质． 10．（3分）如图，点D在半圆O上，半径OA＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，且∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小． 【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM． ∵DH⊥AC， ∴∠AHD＝90°， ∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上， ∴当M、H、B共线时，BH的值最小， ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴BD＝＝12， ∴BM＝＝13， ∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8． 故选：D． 【点评】本题考查点与圆的位置关系、三角形三边关系、圆周角定理，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）将抛物线y＝3（x﹣4）2+2向右平移1个单位长度后抛物线的顶点坐标是 　（5，2）　． 【分析】按照“左加右减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式，即可求出顶点坐标． 【解答】解：将抛物线y＝3（x﹣4）2+2向右平移1个单位长度后得到解析式：y＝3（x﹣4﹣1）2+2，即y＝3（x﹣5）2+2， 故所得抛物线的顶点坐标为（5，2）． 故答案为：（5，2）． 【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，解决本题的关键是熟记“左加右减，上加下减”． 12．（3分）如果一个扇形的圆心角为120°，半径为6，那么该扇形的弧长是 　4π　． 【分析】根据弧长的公式l＝进行解答． 【解答】解：根据弧长的公式l＝知，该扇形的弧长为： l＝＝4π； 故答案为：4π． 【点评】本题考查了弧长的计算．熟记弧长公式是解题的关键． 13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（3，0），连接AB．若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A′BO′，则点A′的坐标为 　（5，3）　． 【分析】由旋转得，O'A'＝OA＝2，O'B＝OB＝3，则可得点A'的横坐标为3+2＝5，纵坐标为3，即可得出答案． 【解答】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（3，0）， ∴OA＝2，OB＝3． 由旋转得，O'A'＝OA＝2，O'B＝OB＝3， ∴点A'的横坐标为3+2＝5，纵坐标为3， ∴点A′的坐标为（5，3）． 故答案为：（5，3）． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 14．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣3）x2+4x+a2﹣4a+3＝0有一个根为0，则a＝ 　1　． 【分析】根据方程的根满足方程代入求解，同时满足二次项系数不为0求解即可得到答案； 【解答】解：∵一元二次方程（a﹣3）x2+4x+a2﹣4a+3＝0有一个根为0， ∴a2﹣4a+3＝0，且a﹣3≠0， 解得：a＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的解是关键． 15．（3分）两圆的圆心距d＝4，两圆的半径分别是方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则两圆的位置关系是　相交　． 【分析】根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可求解． 【解答】解：∵两圆的半径分别是方程x2﹣5x+6＝0的两个根2和3， ∴两圆的半径之和为5，而5＞d＞1， ∴两圆的位置关系是相交． 【点评】解决本题的关键根据根与系数关系得到两圆半径之和． 用到的知识点为：圆心距大于半径之和，两圆相离．圆心距等于半径之和，两圆相切．圆心距小于半径之和，两圆相交． 16．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是序号是 　①②④　． 【分析】根据二次函数的图象的开口方向，对称轴，与x轴的交点，与y轴的交点，顶点情况，逐一判断各结论，即可得到结果． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象开口向下，与y轴的正半轴相交， ∴a＜0，c＞0， ∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a， ∴b＞0， ∴abc＜0， 故说法①正确，符合题意； ∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1， ∴， ∴2a+b＝0， 故说法②正确，符合题意； ∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴为直线x＝1， ∴函数图象与x轴的另一个交点在（0，0）和（﹣1，0）之间， ∴x＝﹣1时，y＜0， 即a﹣b+c＜0， ∵b＝﹣2a， ∴3a+c＜0， 故说法③不正确，不符合题意； ∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1， ∴当x＝1时，y有最大值为a+b+c， 当x＝m时，y为am2+bm+c， ∴a+b+c≥am2+bm+c， 即a+b≥am2+bm， ∴a+b≥m（am+b）， 故说法④正确，符合题意； ∵设函数图象与x轴的交点坐标为x1，x2， ∴当﹣1＜x＜x1时，y＜0；当x1＜x＜x2时，y＞0；当x2＜x＜3时，y＜0， 故说法④不正确，不符合题意， ∴正确的序号为①②④， 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 三、本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.（解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（6分）解方程： （1）x2﹣6x+8＝0； （2）2x（x﹣3）+（3﹣x）＝0． 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝0， （x﹣2）（x﹣4）＝0， x﹣2＝0或x﹣4＝0， x1＝2，x2＝4； （2）2x（x﹣3）+（3﹣x）＝0， （x﹣3）（2x﹣1）＝0， x﹣3＝0或2x﹣1＝0， x1＝3，x2＝． 【点评】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解方程． 18．（6分）如图，△ABO的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，2），B（3，0）． （1）画出△ABO关于点O成中心对称的△A1B1O； （2）写出坐标：A1　（﹣3，﹣2）　，B1　（﹣3，0）　． 【分析】（1）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置，连线即可得出答案； （2）根据关于原点对称的性质得出对应点坐标即可． 【解答】解：（1）△ABO关于点O成中心对称的△A1B1O，如图即为所求； （2）∵△ABO关于点O成中心对称的△A1B1O，A（3，2），B（3，0）， ∴A1（﹣3，﹣2），B1（﹣3，0）． 【点评】本题主要考查了中心对称，正确得出对应点位置是解题关键． 19．（6分）在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达50%，那么每轮传播中平均一人传播了多少人？ 【分析】设每轮传播中平均一人传播了x人，根据第一轮只有3人知道喜讯而第三轮有432人知道喜讯，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可． 【解答】解：设每轮传播中平均一人传播了x人， 根据题意得：3+3x+（3+3x）x＝864×50%， 整理得：x2+2x﹣143＝0， 解得：x＝11或x＝﹣13（舍去）． 答：每轮传播中平均一人传播了11人． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据人数的变化找出关于x的一元二次方程是解题的关键． 20．（8分）如图，一次函数y＝x+b与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象在第一象限内交于点A（1，2），且与x轴、y轴分别交于B，C两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点P在x轴上，且△BCP的面积等于3，求点P的坐标． 【分析】（1）把两函数的交点A的坐标分别代入y＝x+b和y＝中求出b、k可得到两函数解析式； （2）先利用一次函数解析式确定B、C的坐标，设P（t，0），利用三角形面积公式得到×1×|t+1|＝3，然后求出t得到P点坐标． 【解答】解：（1）把A（1，2）代入y＝x+b得1+b＝2，解得b＝1， ∴一次函数解析式为y＝x+1； 把A（1，2）代入y＝得k＝1×2＝2， ∴反比例函数解析式为y＝； （2）设P（t，0）， 针对于直线y＝x+1， 当x＝0时，y＝x+1＝1，则C（0，1）， 当y＝0时，x+1＝0，解得x＝﹣1，则B（﹣1，0）， ∵△BCP的面积等于3， ∴×1×|t+1|＝3， 解得t＝5或t＝﹣7， ∴点P的坐标为（5，0）或（﹣7，0）． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：待定系数法，三角形的面积的计算方法，求出点B，C坐标是解本题的关键． 21．（8分）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 　　； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：（1）∵共有4张卡片， ∴从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为； 故答案为：； （2）解：根据题意画图如下： 共有16种等可能的结果数，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为4， 所以抽取到的两张卡片内容一致的概率为． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 22．（9分）如图：利用一面墙（墙的长度不限），用20m的篱笆围成一个矩形场地ABCD．设矩形与墙垂直的一边AB为x m，矩形的面积为S m2． （1）若面积S＝48m2，求AB的长； （2）能围成面积为58m2的矩形吗？说明理由． 【分析】（1）设矩形与墙垂直的一边AB＝x m，矩形的面积为S m2，则长为（20﹣2x）m，根据矩形面积公式列方程，解方程即可； （2）利用根的判别式判断即可． 【解答】解：（1）矩形与墙垂直的一边AB＝x m，矩形的面积为S m2，则BC为（20﹣2x）m，则S＝x（20﹣2x）， 当S＝48m2时， x（20﹣2x）＝48， 解得x1＝4，x2＝6， 答：AB的长为4m或6m． （2）不能围成S＝58m2的矩形，理由如下： 根据题意可得：x（20﹣2x）＝58， 即x2﹣10x+29＝0， ∵Δ＝102﹣4×1×29＝﹣16＜0， ∴方程无实数解， 故矩形场地的面积不能达到58m2． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． 23．（9分）如图，在△ABC中，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，BE． （1）判断△ABD的形状； （2）求证：BE平分∠ABD． 【分析】（1）根据旋转的性质得到AB＝AD，∠BAD＝60°，则根据等边三角形的判定方法可得到△ABD为等边三角形； （2）根据旋转的性质得到AE＝AC，DE＝BC，则可证明AE＝DE，加上BA＝BD，于是可判断BE垂直平分AD，然后根据等腰三角形的性质得到BE平分∠ABD． 【解答】（1）解：∵△ABC绕点A逆时针旋转60°， ∴AB＝AD，∠BAD＝60°， ∴△ABD为等边三角形； （2）证明：∵△ABC绕点A逆时针旋转60°， ∴AE＝AC，DE＝BC， ∵AC＝BC， ∴AE＝DE， ∵△ABD为等边三角形， ∴BA＝BD， ∴BE垂直平分AD， ∴BE平分∠ABD． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质． 24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，＝，DE⊥AC于点E，DE交BF于点F，交AB于点G，∠BOD＝2∠F，连接BD． （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）判断△DGB的形状，并说明理由； （3）当FG＝8时，求BC的长． 【分析】（1）连接OC，由圆周角定理得出∠BOD＝∠BOC，由等腰三角形的性质证出∠GBF＝90°，由切线的判定可得出结论； （2）由垂径定理得出DB＝BC，DC⊥AB，证出∠DCB＝∠CDB，由直角三角形的性质得出∠DGB＝∠DBG，则可得出结论； （3）由（2）可知，DB＝DG，∠F＝∠DBF，则可得出答案． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵， ∴∠BOD＝∠BOC， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠BOC＝2∠A， 又∵∠BOD＝2∠F， ∴∠A＝∠F， 又∵∠AGE＝∠BGF， ∴∠AEG＝∠GBF， ∵DE⊥AC， ∴∠AEG＝90°， ∴∠GBF＝90°， ∴OB⊥BF， ∵OB为半径， ∴BF是⊙O的切线； （2）解：△DGB为等腰三角形， 理由：∵＝， ∴DB＝BC，DC⊥AB， ∴∠DCB＝∠CDB， ∵OB⊥BF， ∴DC∥BF， ∴∠BDC＝∠DBF， 又∵∠BDC＝∠A， ∴∠DBF＝∠A， 又∵∠A＝∠F， ∴∠DBF＝∠F， ∵∠GBF＝90°， ∴∠F+∠DGB＝90°，∠DBG+∠DBF＝90°， ∴∠DGB＝∠DBG， ∴DB＝DG， 即△DBG为等腰三角形； （3）解：由（2）可知，DB＝DG，∠F＝∠DBF， ∴DF＝DB， ∴DF＝DG＝DB＝BC， ∴BC＝FG＝4． 【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判定与性质，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 25．（10分）如图1，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A（﹣3，0）和B，与y轴交于点C（0，3）． （1）求该抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）如图2，若P是线段OA上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交AC于点N，设点P的横坐标为t，△ACH的面积为S．求S关于t的函数关系式；当t取何值时，S有最大值，求出S的最大值； （3）若P是x轴上一个动点，过P作直线PQ∥BC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在x轴上是否存在这样的点P，使以B，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式转化为顶点式可得到顶点的坐标； （2）求出直线AC的函数解析式，用含t的式子表示出点N、H的坐标，得出NH，再根据求出S关于t的函数关系式，最后根据二次函数的性质解答即可求解； （3）求出B点坐标，得到OB的长，再分CQ∥BP、点P在点A的左侧，CP∥BQ和当点P点A的右侧，CP∥BQ三种情况，画出图形解答即可求解． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A（﹣3，0）和B，与y轴交于点C（0，3），把点A，点C的坐标代入代入y＝ax2﹣2x+c得： ， 解得， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴该抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）； （2）设直线AC的函数解析式为y＝kx+b，把点A，点C的坐标代入得： ， 解得， ∴直线AC的函数解析式为y＝x+3， 把x＝t代入y＝x+3得：y＝t+3， ∴点N的坐标为（t，t+3）， ∵点P的横坐标为t， ∴PH∥y轴， ∴点H的横坐标为t， ∴点H的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3）， ∴HN＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为； （3）在x轴上存在这样的点P，使以B，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形；理由如下： 把y＝0代入y＝﹣x2﹣2x+3得，0＝﹣x2﹣2x+3， 解得x1＝﹣3，x2＝1， ∴B（1，0）， ∴OB＝1， 如图1，当CQ∥BP时，四边形BCQP为平行四边形， ∴CQ＝PB， 把y＝3代入y＝﹣x2﹣2x+3得，﹣x2﹣2x+3＝3， 解得x1＝0，x2＝﹣2， ∴Q（﹣2，3）， ∴CQ＝2， ∴BP＝2， ∴OP＝2﹣1＝1， ∴P（﹣1，0）； 如图2，当点P在点A的左侧，CP∥BQ时，四边形BCPQ是平行四边形， 过点Q作QM⊥x轴于M，则∠QMP＝∠COB＝90°， ∵四边形BCPQ是平行四边形， ∴PQ＝BC，PQ∥BC， ∴∠QPM＝∠CBO， ∴△QPM≌△CBO（AAS）， ∴MP＝OB＝1，MQ＝OC＝3， ∴点Q的纵坐标为﹣3， 把y＝﹣3代入y＝﹣x2﹣2x+3得，﹣3＝﹣x2﹣2x+3， 解得，（不符合，舍去）， ∴点P的横坐标为， ∴； 如图3，当点P在点A的右侧，CP∥BQ时，四边形BCPQ是平行四边形， 过点Q作QN⊥x轴于N，则∠QNP＝∠COB＝90°， 同理可得； 综上，点P的坐标为（﹣1，0）或或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$