吉林省吉林地区2024-2025学年高一上学期期末调研测试数学试题

( ★ 保密 · 启用前 ★ )吉林地区2024-2025学年度第一学期高一年级期末调研测试 数 学 试 题 说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码。 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2b铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上。字体工整，笔迹清楚。 3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．若，则 A． B． C． D． 3．函数的定义域是 A． B． C． D． 4．“角为第二象限角”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，，，则 A． B． C． D． 6．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 7．已知函数，且图象经过定点，若正数满足 ，则的最小值为 A． B． C． D． 8．莱洛三角形也叫圆弧三角形，它是由德国机械学家莱洛首先发现的． 其画法如下：先画等边三角形，再分别以三个顶点为圆心、 以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为莱洛 三角形．如图所示，若莱洛三角形的周长为，则其面积为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列命题为真命题的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则　 10．已知函数的部分 图象如图所示，则 A． B． C．函数的对称轴方程为 D．将的图象向左平移个单位长度得到一个偶函数的图象 11．切比雪夫多项式是以俄国著名数学家切比雪夫（，又译契贝雪夫等，）的名字命名的重要的特殊函数，第一类切比雪夫多项式和第二类切比雪夫多项式（简称切比雪夫多项式）源起于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式，是与棣莫弗定理有关、以递推方式定义的多项式序列，是计算数学中的一类特殊函数．有许多良好的结论，例如：①，，对于正整数时，有成立；②，成立．若函数在上有个不同的零点，分别记为，，，则 A． B． C．若，则 D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。其中第14题的第一个空填对得2分， 第二个空填对得3分。 12．已知命题，，写出命题的否定： ． 13．已知，，则的值为 ． 14．已知函数则关于的方程的解的个数为 ；若 关于的方程有个不相等实数根，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知函数． （Ⅰ）求的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）当时，求的最值以及取得最值时的集合． 16．（本小题满分15分） 如图，在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）将角的终边绕原点逆时针旋转角与单位圆交于点， 求的值. 17．（本小题满分15分） 吉林位于“冰雪黄金带”，拥有世界上顶级的“粉雪”资源，是冰雪运动的理想之地，吸引了无数滑雪爱好者．吉林市拥有两个优质的滑雪胜地：“北大湖滑雪场”“万科松花湖滑雪场”．北大湖滑雪场‌是符合国际标准的滑雪场，曾在这里举办过“中国第六届冬季运动会”“中国第二届青年冬季运动会”“中国跳台滑雪锦标赛”和省、市不同等级雪上项目的比赛．北大湖滑雪场接待了多届“中国∙吉林国际雾凇冰雪节”游客，并被国家体育总局评为冰雪旅游类“国家体育产业示范单位”．万科松花湖滑雪场是距离城市最近的大型滑雪场之一，曾获得“中国最佳滑雪旅游度假区”殊荣．这两个滑雪场多年以来在推动中国的滑雪运动和冰雪旅游方面，在带动城市周边农村经济发展方面都做出了重要贡献．近几年，这两个滑雪场接待总人次的年增长速度越来越快，经统计发现，至年的年接待总人次近似值如下表所示： 年份 年份代码 年接待总人次/万 根据以上数据，两个滑雪场的年接待总人次与年份代码有以下两种函数模型可供选择：①，②，，且． （Ⅰ）试判断哪种函数模型更适合刻画两个滑雪场的年接待总人次的增长趋势，请简述理由，并利用表格中后两组数据求出相应的函数解析式； （Ⅱ）根据（Ⅰ）中选择的函数模型，按表格中的数据增长趋势，预测在哪一年两个滑雪 　　　场的年接待总人次达到万？ 　　　（参考数据：，，，） 18．（本小题满分17分） 已知二次函数． （Ⅰ）若函数的图象如图所示，直接写出实数的值和不等式的解集，并写出集合的真子集； （Ⅱ）解关于的不等式； （Ⅲ）若函数，，，求实数的取值范围． 19．（本小题满分17分） 在物理学和几何学中，悬链线是指理想化的悬挂链条或电缆在均匀重力场中仅在其两端受到支撑时，在自身重量的作用下呈现的曲线．悬链线呈形，表面上看起来类似于抛物线，但实际上并不是．笛卡尔坐标系中的悬链线方程为 ．当时，是双曲余弦函数，类似地，也有双曲正弦函数． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）令． （ⅰ）证明函数的奇偶性，并求关于的不等式的解集； （ⅱ）若对恒成立，求实数的最大值． 命题、校对：高一数学核心组 高一数学试题 第 1 页 （共 8 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 吉林地区普通高中2024—2025学年度高一年级期末考试 数学试题参考答案 一、单项选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 B C C A B B C D 9 10 11 BD ABD ABD 二、多项选择题： 【11题解析】 A．法一： 法二：，，所以A正确； B．法一： 法二： ，所以B正确； C．，则，所以C错误； D．，， 法一：设，代入上述方程得，由C选项可知． 解得或，． 不妨取，，， 则． 法二：令， 则， 依据多项式系数对应相等得到 法三：则， ，所以D正确． 【11题变式教学】 0；0；0； ． （略解一） （略解二） 依据多项式系数对应相等得到． 三、填空题： 12． ． 注：1．若写成：．此次给分； 2．“”写成“存在”，此次也给分，但注意新教材的表述形式。 13． 14． 四 、解答题 15．【答案】（Ⅰ） (3分) ，(3分)；（Ⅱ），此时的集合为；，此时的集合为(7分). 【解析】 （Ⅰ） 3分 所以最小正周期． 4分 由，得， 所以的单调递增区间是． 7分 （Ⅱ），， 9分 当，即时，的最小值为，取得最小值时的集合为． 当，即时，的最大值为，取得最大值时的集合为． 13分 注：1．“”不写，扣1分，但不重复扣分；2．的集合没写成集合形式，扣1分；3．递增区间不写成区间形式，扣1分，但写成开区间，不扣分． 16．【答案】（Ⅰ） (3分) ，(4分)；（Ⅱ）(8分). 【解析】 （Ⅰ）角的终边与单位圆的交点为， ，即，，即， 由三角函数定义可知 ， 3分 ，.． 7分 （Ⅱ）法一：角的终边绕原点逆时针旋转与单位圆交于点 由三角函数定义可知 ， 9分 由（Ⅰ）知 ，， . 15分 法二：角的终边绕原点逆时针旋转与单位圆交于点 由三角函数定义可知 ，， 9分 由（Ⅰ）知 ，， 15分 17．【答案】（Ⅰ） (8分)；（Ⅱ）预测年两大滑雪场的年接待总人次达到万(7分). 【解析】 （Ⅰ）因为模型①的增长速度越来越慢，而这两大滑雪场接待总人次增长速度越来越快， 2分 故模型②更合适. 4分 由得， 6分 故模型②的函数解析式为 8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，令， 10分 13分 故预测年两大滑雪场的年接待总人次达到万． 15分 18．【答案】（Ⅰ） ，，集合的真子集为，，(5分) ；（Ⅱ）当时，原不等式的解集为或，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为或(4分)；（Ⅲ）(8分). 【解析】 （Ⅰ），，，集合的真子集为，，. 5分 （Ⅱ）， 6分 当时，； 当时，或； 当时，或； 综上：当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 9分 注：结果要写成集合或区间形式，未写成集合或区间形式扣1分；不写综上不扣分. （Ⅲ），， ，，，， 设，，则，，. 12分 ，，设函数，. 13分 函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 15分 又，. 17分 19．【答案】（Ⅰ）(2分)；（Ⅱ）(ⅰ)为奇函数(4分)，(4分)；（Ⅲ）(7分). 【解析】 （Ⅰ）. 2分 （Ⅱ）(ⅰ)证明：， 定义域为,对有.且， 4分 为奇函数. 6分 由得， 又，在上单调递增， 在上单调递增即， 8分 令，，得，， 故原不等式的解集为. 10分 (ⅱ)， 由得， 即， 即对恒成立， 12分 令，，在上单调递增， ， 则即对恒成立， 14分 令，， 在上单调递增，， ， 综上，的最大值为. 17分 高一数学试题答案 第 1 页 （共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$