广东省茂名市电白区2024-2025学年高二上学期期末质量监测数学试卷

2024-2025学年度第一学期期末质量监测 高二数学 (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1.已知点A(2,1D,B(-1,4),则直线AB的倾斜角为( A.30° B.45 C.60 D.135 2.直线1的一个方向向量为丽=(-4,2,2)，平面a的-个法向量为元=(2，一1，x),若 /平面a则x=(） A.-5 B.5 C.-1 D.1 3.若直线l1:ax-y十1=0与直线2：(a十2)x-ay-1=0平行，则l1与l2之间的距离 为() A号 D普 4.已知△ABC的顶点A(1,3),B(3,1D,C(-1,-1),则△ABC的面积是() A.4 B.5 C.6 D.7 5.今有水平相当的棋手甲和棋手乙进行某项围棋比赛，胜者可获得48000元奖金.比赛规 定下满五局，五局中获胜局数多者赢得比赛，比赛无平局，若比赛已进行三局，甲两胜 负，由于突发因素无法进行后面比赛，如何分配奖金最合理？() A.甲24000元，乙24000元 B.甲32000元，乙16000元 C.甲40000元，乙8000元 D.甲36000元，乙12000元 6.若圆x2+y2-4如r+2y一1=0的圆心到两坐标轴的距离相等，则a=() A.±1 B.1 c垃 ?.如图所示的几何体为两个正方体组成的正四棱柱，记集 合A=红|x=A店·A2,i=1,2,…,91,则集合A中 元素个数为( A.3 B.4 C.6 D.9 高工数学期末质量监测第1页（共4页） 8过双曲线C。一芳1(a>0,b>0)的右焦点F作直线1，且直线1与双曲线的一条渐 近线垂直，垂足为A,直线【与另一条渐近线交于点B(A、B均在y轴右侧).已知O为 坐标原点，者△OAB的内切圆的半径为。，则双鱼线C的离心率为( A.3 B.5 C23 3 D.9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分， y 9.已知方程+2+5=1(m为实数)表示的曲线C,则下列结论正确的是() A.曲线C不可能表示一个圆 B.曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆 C.曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆D.曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线 10.已知随机事件A,B,C,则下列说法正确的是() A.若P(AB)=P(A)P(B),则事件A与事件B相互独立 B.若P(A)十P(B)=1,则事件A与事件B互为对立事件 C.若事件A,B,C两两互斥，则P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C) D.若事件A,B,C两两独立，则P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 11.如图，曲线C的形状是一个斜椭圆，其方程为x2+y2一y=6,点P(mn)是曲线C上的 任意一点，点O为坐标原点，则下列说法正确的是() P(m,n) A.曲线C关于y=x对称 B,m十n的最大值为2√6 C.该解圆的离心率为号 D.n的最大值为22 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12若双曲线有一y1的实轴长为4，则正数m一 13.已知点A(1,一2)，B(2,1),若直线kx一y-1=0与线段AB有交点，则实数k的取值 范围是 14.“若点P为椭圆上的一点，F,F:为椭圆的两个焦点，则椭圆在点P处的切线平分 ∠R,PF,的外角”，这是椭圆的光学性质之一，已知椭圈C,+=1,点P是椭圆 上的点，在点P处的切线为直线l,过左焦点F1作L的垂线，垂足为M,则|MF:|的最 小值为 高二数学期末质量监测第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15。(本题满分13分)直线1经过两直线l1:3x十4y一2=0和2：2x十y+2=0的交点。 (1)若直线1与直线3x十y一1=0垂直，求直线1的方程 (2)若直线1与圆(x一3)2十(y一1)2=25相切，求直线1的方程. 16.(本题满分15分)流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气相对湿度过大或过小时，都 有利于一些病毒的繁殖和传播.科学测定，当空气相对湿度大于65%或小于40%时， 病毒繁殖滋生较快，当空气相对湿度在45%一55%时，病毒死亡较快.现随机抽取了 全国部分城市，获得了它们的空气月平均相对湿度共300个数据，整理得到数据分组 及频数分布表，其中为了记录方便，将空气相对湿度在a%~b%时记为区间[a,b). 组号 1 2 5 6 7 8 分组 [15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85)[85,95) 频数 2 3 15 30 50 75 120 5 (1)求上述数据中空气相对湿度使病毒死亡较快的频率； (2)从区间[15,35)的数据中任取两个数据，求恰有一个数据位于[25,35)内的概率， 17,(本题满分15分)如图，四棱锥P一ABCD的底面ABCD为直角梯形，AD/BC,AD =1,BC=3,CD=2,△PCD为等边三角形，平面PBC⊥平面PCD,PB=√13，M为 CD的中点. (1)证明：PM⊥平面ABCD: (2)求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值. 高二数学期末质量监测第3页（共4页） 18.(本题满分17分)已知圆Cx+y+ax-6y十12=0关于直线x-y+1=0对称. (1)求圆C的标准方程： (2)若直线3x十y-8=0与圆C相交于A、B两点，求|AB1: (3)在(2)的前提下，若点Q是圆(x十4)+(y一3)2=10上的点，求△QAB面积的最 大值 19.(本题满分17分)如图，已知抛物线C:y2=2pz(p>0),过点P(2,1)作斜率为k1,k: 的直线l1,l,分别交抛物线于A,B与M,N,当k1=2时，P为AB的中点 (1)求抛物线C的方程： (2)若1PM|·PN|=|PA|·PB|,证明：k1十k:=0: (3)若直线AM过点Q(一2,0)，证明，直线BM过定点，并求出该定点坐标， 高二数学期末质量监测第4页（共4页）高二数学期末质量监测参考答案 第 1 页 共 8 页 2024-2025 学年度第一学期期末质量监测 高二数学参考答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B D C D C A C 7.由已知得 1APAB  , 4APAB  , 7APAB  ，所以 1APAB  2APAB  03  APAB 、 2AP , 5AP , 8AP 在 AB上的投影都相同， 所以 2APAB  5APAB  8APAB  ，同理得 3APAB  6APAB  9APAB  ，所以集合A中元素个数为 3，选 A。 8．如图， 设 OAB△ 的内切圆的圆心为 M，则 M 在 AOB 的平分线 Ox 上， 过点 M 分别作MN OA 于N ，MT AB 于T ， 由 FA OA 得出四边形 MTAN 为正方形， 设� �, 0 ，直线OA： by x a  ，则 2 2 bc FA b a b    . 又因为 OF c ，所以 OA a . 高二数学期末质量监测参考答案 第 2 页 共 8 页 因为 3 1 2 NA MN a  ，所以 3 1 3 3 2 2 NO a a a    . 因为 3 1 32tan 33 3 2 aMNb AOF a NO a        ， 所以双曲线的离心率为 2 21 ( 3) 3 be a    . 故答案为： 2 3 3 . 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有 选错的得 0分. 题号 9 10 11 答案 ACD AC ABD 10.对于 A，根据事件独立性的定义可得 ,A B独立，故 A 正确； 对于 B，记事件 A：投掷一个骰子，骰子的点数为奇数， 事件 B：投掷一枚硬币，正面朝上，则     1 2 P A P B  ，满足     1P A P B  ， 但 ,A B不是对立事件，故 B 错误；. 对于 C：若 , ,A B C两两互斥， 根据互斥事件的概率性质可得        P A B C P A P B P C     ，故 C 正确 对于 D，考虑从 1，2，3，4 中随机选出一个数字， 记事件 A“取出的数字为 1 或 2”， B “取出的数字为 1 或 3”，C “取出的数 字为 1 或 4”， 则 AB AC BC ABC   “取出的数字为 1”， 显然 2 1( ) ( ) ( ) 4 2 P A P B P C    ， 1( ) ( ) ( ) ( ) 4 P AB P AC P BC P ABC    ， 满足      P AB P A P B ，      P AC P A P C ，      P BC P B P C ， 所以事件 A，B，C 两两独立，但是        P ABC P A P B P C  ，故 D 错误. 故选：AC 高二数学期末质量监测参考答案 第 3 页 共 8 页 11.由方程可以看出其关于 y x ， y x  对称，A 正确； 由题意知 2 2 6m n mn   ，   2 2 2 2 m n m n    ，   2 4 m n mn   ，  22 2 6 4 m n m n mn      ， 2 6m n  ，B 正确： 联立方程 2 2 6x y xy y x       ，解得顶点坐标为  6, 6 和  6, 6  ，所以椭圆长轴 长为 2 2 12 4 3a    2 3a  ；同理可得另外两个顶点坐标为  2, 2 和  2, 2 ，所以椭圆的短轴长为 2 2 4 4b    2b  ，所以 2 2 12 4 2 2c a b     ，所以该椭圆的离心率为： 2 2 6 32 3 ce a    ，C 错误； 2 2 6m n mn   看作关于m的一元二次方程，  2 24 6 0n n     ，解得 2 2 2 2n   ，D 正确， 故选：ABD． 三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 11. 3 ; 13.[-1,1]; 14. 324 14．因为椭圆 2 2 : 1 16 4 x yC   ，所以 4a  ， 2 16 4 12c    ，即 2 3c  ， 如图，延长 1FM、 2F P交于点N ，由题意可知 1F PM NPM   ， 又因为 1PM F N ，则M 为 1F N的中点，且 1PF PN ， 高二数学期末质量监测参考答案 第 4 页 共 8 页 所以 2 2 1 2 2 8F N PN PF PF PF a      ， 又因为O为 1 2F F 的中点，则 2 1 1 8 4 2 2 OM F N    ， 故点M 的轨迹 E为以O为原点， 4r  为半径的圆，圆的方程为 2 2 16x y  ， 易知点 1F 到圆心O的距离为 1 2 3OF c  ， 所以 1MF 的最小值为 1 4 2 3r OF   . 故答案为：4 2 3 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（1）联立两直线 1 : 3 4 2 0l x y   和 2 : 2 2 0l x y   ，解得 2, 2x y   ， 2 分 即交点坐标为  2,2 ， 。。。。。。。。。3 分 直线3 1 0x y   的斜率为 3 ，所以直线 l的斜率为 1 3 ， .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5 分 所以直线 l的方程为  12 2 3 y x   ，即 3 8 0x y   . 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6 分 （2）当直线 l的斜率不存在时，直线 l的方程为 2x   ，圆心到直线 l 的距离 5d r  ，符合题意； 。。。。。。。。。。。。8 分 当直线 l的斜率存在时，设直线方程为：  2 2y k x   ，即 2 2 0kx y k    ，。。。。 9 分 根据题意得：圆心到直线的距离 2 5 1 5 1 k d k     ，解得 12 5 k  ， 。。。。。。。。。11 分 所以直线 l的方程为：12 5 34 0x y   . 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12 分 综上：直线 l的方程为 2x   或12 5 34 0x y   .。 。。。。。。。。。。。。。。。。13 分 高二数学期末质量监测参考答案 第 5 页 共 8 页 16.（1）由已知，当空气相对湿度在 45%~55%时，病毒死亡较快. .。。。。。。。。。2 分 而样本在  45,55 上的频数为30， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4 分 所以所求频率为 30 1 300 10  ； 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6 分 （2）设事件A为“从区间  15,35 的数据中任取两个数据，恰有一个数据位于  25,35 内”， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7 分 设区间［15,25）中的两个数据为 1a 、 2a ，区间 25,35 中的三个数据为 1b 、 2b 、 3b ， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9 分 因此，从区间 15,35 的数据中任取两个数据， 包含  1 2,a a 、 1 1,a b 、 1 2,a b 、 1 3,a b 、 2 1,a b 、 2 2,a b 、 2 3,a b 、 1 2,b b 、 1 3,b b 、  2 3,b b ，共10个样本点， .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12 分 而事件A包含  1 1,a b 、 1 2,a b 、 1 3,a b 、 2 1,a b 、 2 2,a b 、 2 3,a b ，共6个样本点， 。14 分 所以   6 3 10 5 P A   . 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。15 分 17.（1）因为 PCD△ 为等边三角形，M 为CD的中点， 所以 PM CD ． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1 分 因为 3,13,2  BCBPCDCP ,由 222 BPBCCP  。。。。。。。。。2 分 得 CPBC  。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3 分 因为平面 PBC 平面 PCD，且平面 PBC平面 PCD PC ， BC 平面 PBC， 所以 BC 平面 PCD． .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5 分 因为 PM 平面 PCD，所以 BC PM ． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6 分 高二数学期末质量监测参考答案 第 6 页 共 8 页 又 BC CD C  ， ,BC CD 平面 ABCD，所以 PM 平面 ABCD． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7 分 （2）由（1）可知，BC，CD，PM 两两垂直，以M 为原点，过M 且平行于 BC 的直线为 x轴，MC，MP所在直线分别为 y轴、 z轴，建立如图所示的空间直角 坐标系，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8 分 则  0,0,0M ，  1, 1,0A  ，  3,1,0B ，  0,0, 3P ，  2,2,0AB   ，  1,1, 3AP   。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10 分 设平面 PAB的法向量为� = �, �, � ， 则 · 2 2 0 3 0 AB m x y AP m x y z                ，令 3x  ，则  3, 3,2m   ，。。。。。。。。。。。。12 分 由（1）可知， x轴⊥平面 PCD，不妨取平面 PCD的法向量为  1,0,0n  ， 13 分 则 3 30cos , 1010 m n m n m n            ， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。14 分 故平面 PAB与平面 PCD夹角的余弦值为 30 10 ． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。15 分 高二数学期末质量监测参考答案 第 7 页 共 8 页 18.（1）圆C的方程可化为 3 4 )3() 2 ( 2 22  ayax ，圆心为 )3, 2 ( a 。。。。2 分 因为圆 0126: 22  yaxyxC 关于直线 01 yx 对称， 所以 013 2  a ，得 4a 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4 分 所以圆 C 的标准方程为     2 22 3 1x y    ； 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5 分 （2）由（1）得圆心为  2,3C ，半径 1r ， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6 分 又直线��的方程为3 8 0x y   ， 则圆心 C 到直线��的距离 2 2 6 3 8 10 1 103 1 d       ，直线 AB 与圆相交， 。。8 分 所以 2 2 2 3 102 2 1 5 AB r d d     . 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10 分 （3）圆    2 24 3 10x y    的圆心为  4,3 ，半径长为 10 ， 。。。。。。。。。11 分 则点  4,3 到直线��：3 8 0x y   的距离为   2 2 3 4 3 8 17 10 103 1       ， 。13 分 所以点 Q 到直线��距离的最大值为17 10 27 1010 10 10   ， .。。。。。。。。。。16 分 所以 QAB 面积的最大值为 1 27 10 81 2 10 10 3 10 5    . 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。17 分 19.（1）当 1 2k  时，  : 2 2 1 2 3AB y x x     ， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1 分 联立 2 2y px 消去 y， 可得  24 12 2 9 0x p x    ， 。。。。。。。。。。。。。。。。2 分 设    1 1 2 2 1 2 12 2, , , , 4, 2 4 pA x y B x y x x p     ， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3 分 拋物线 C 方程为： 2 4y x . 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4 分 （2）由题知 1 2, 0k k  ，设    1 2: 1 2, : 1 2AB x n y MN x n y      ， 。。。。。5 分 高二数学期末质量监测参考答案 第 8 页 共 8 页 1 2 1 2 1 1,n n k k   ，代入抛物线可得 2 1 14 4 8 0y n y n    ， 1 2 1 1 2 14 , 4 8,y y n y y n     。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6 分       1 2 1 22 2 (1 1PA PB PA PB x x y y                  1 2 1 2 1 2 1 24 2 1x x x x y y y y         ， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7 分 又   21 2 1 1 2 1 1 12 4 4 2 4x x n y y n n n         ， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8 分  22 2 2 2 21 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 , 5 8 4 8 4 4 4 4 8 7 7 16 x x y y n PA PB n n n n n n n                   。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9 分 同理 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1 27 7, , , , 0PM PN n n n n n n n k k            . 。。。。。。。11 分 （3）因为  2 1 2 1 1 12 2 2 12 1 2 1 2 1 4 4, : 4 AB y y y yk AB y y x x y yx x y y y y            ， 所以  1 2 1 2: 4AB y y y x y y   ， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12 分 代入点  2,1 ,P 得 1 2 1 28y y y y   ①， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。13 分 设    3 3 4 4, , ,M x y N x y ，同理  1 3 1 3: 4AM y y y x y y   ， AM 过点   1 32,0 , 8Q y y   ②  2 3 2 3: 4BM y y y x y y   ， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。14 分 结合①②可得 22 3 3 88 8 ,yy y y     2 3 3 28 8 ,y y y y    。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。15 分 又因为  2 3 2 3: 4BM y y y x y y   所以    2 3 2 3: 4 8 8BM y y y x y y     ，整理得     2 3 8 4 2y y y x    16 分 所以直线 BM 过定点 (2,8) 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。17 分