精品解析：天津市滨海新区大港第一中学2025届高三上学期第三次形成性检测数学试卷

大港一中 2025 届高三（上）第三次形成性检测卷（数学） 12 月 19 日 一、单选题（共 9 小题， 每小题 5 分） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的运算先求，再求即可. 【详解】因为，，故，故. 故选:A. 2. 已知数列是无穷数列，则 “，”是“数列 为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的定义及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，，则， 由的任意性可知，数列从第二项起每一项与前一项的差是固定的常数， 所以数列为等差数列，故充分性成立； 若数列为等差数列，则， 即，，故必要性成立； 所以“，”是“数列为等差数列”的充要条件. 故选：C 3. 设，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用指数函数和对数函数的性质比较每一个数与中间量“0”，“1”的大小，即可得结论 【详解】解：因为在上为减函数，且， 所以，即， 因为在上为增函数，且， 所以，即， 因为在上为减函数，且， 所以，即， 所以， 故选：D 4. 某校为了了解高三学生的食堂状况，抽取了100名女生的体重.将所有的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图，则所抽取的女生中体重在的人数是（ ） A. 50 B. 40 C. 30 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】计算频率为，再计算人数得到答案. 【详解】女生中体重在的频率为，故人数为. 故选：. 【点睛】本题考查了频率分布直方图，意在考查学生的应用能力和计算能力. 5. 若为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的位置关键逐项判断即可 【详解】解：对于A，若，则或，故A不正确； 对于B，若，则或，故B不正确； 对于C，若，则或，故C不正确； 对于D，若，则，故D正确. 故选：D. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和值域即可判断. 【详解】 所以为偶函数，所以图象关于 轴对称，故排除B， 当 时， 故排除 A，当 时， 故排除 D 故选：C . 7. 已知函数 ，其中正确的是 （ ） A. 的最小正周期为 ； B. 的图象关于直线 对称； C. 的图象关于点 对称； D. 在区间上单调递增. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数万能恒等变换化简，然后结合三角函数图象的性质逐项判断. 【详解】根据三角函数万能变换公式，, 选项A：的最小正周期为 ； 选项B：令 所以 的图象关于点 对称； 选项C：令所以的图象关于直线 对称； 选项D：，根据正弦函数的图象性质，在区间上单调递增. 故选：D. 8. 已知、分别是中心在原点的双曲线C的左、右焦点，斜率为的直线过点，交C的右支于点B，交y轴于点A，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先根据双曲线的定义，确定的长，再构造三角形相似，利用对应边成比例求出离心率的值. 【详解】如图： 设双曲线C的标准方程为（，），由题可知.又因为，所以. 因为直线的斜率为，所以，. 设M为的中点，连接，易知，所以. 则，解得，所以双曲线C的离心率为. 故选：C 9. 图①是底面边长为2的正四棱柱，直线经过其上，下底面中心，将其上底面绕直线顺时针旋转，得图②，若为正三角形，则图②所示几何体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形，由题意过点作于点，得到直角梯形，求出该几何体的高,再借助于求出该几何体的外接球半径,即得其表面积. 【详解】 如图，设正四棱柱的上下底面中心分别为点,过点作于点，连接， 依题意，易得直角梯形,因为边长为2的正三角形,则，且, 又，则. 设该几何体外接球球心为点,半径为,则点为的中点，则, 在中，, 于是该几何体外接球的表面积为. 故选：A. 二、填空题（共 6 小题， 每小题 5 分） 10. 设复数 满足 ( 为虚数单位)，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法法则即可得结果. 【详解】由复数的运算法则得 故答案为： 11. 的二项展开式中的常数项为______. 【答案】 【解析】 【分析】由二项式定理得展开式的通项公式，代入可求出结果. 【详解】因为的展开式通项为， 展开式中常数项，必有，即， 所以展开式中常数项为. 故答案为： 12. 已知抛物线的准线为，若以此抛物线上一点为圆心的圆既与相切，又与轴相切，则所得圆的半径为_____________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题设及抛物线定义得到轴，设结合所得圆的半径，即可求结果. 【详解】由题意，到准线的距离与到轴的距离相等， 而抛物线上一点到准线距离等于其到焦点距离，且焦点， 所以轴，令，则， 所以所得圆的半径. 故答案为：2 13. “青年大学习”是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答.某期学习中假设同学小华答对第一､二个问题的概率分别为，，且两题是否答对互不影响.则小华至少答对一个问题的概率为___________；恰好答对一个问题的概率为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】小华要回答两个问题，以及两题是否答对互不影响，那么根据题意即可列出式子求解，注意对“至少答对一个”以及“恰好答对一个”的理解. 【详解】小华至少答对一个问题的对立事件为，小华一个问题也没有答对， 其概率为 ，故小华至少答对一个问题的概率为 ； 小华恰好答对一个题有两种情况，第一个问题答对第二个答错，或者第一个问题答错第二个问题答对，其概率为 . 故答案为：； 14. 在平行四边形中，，，点在边上，满足，则向量在向量上的投影向量为__________（请用表示）；若，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由向量在向量上的投影向量为，根据向量的线性运算和数量积的运算法则，求解即可；以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，用含的式子表示出点和点的坐标，再根据向量的数量积的坐标运算法则，求解即可. 【详解】由，知， 因为，， 所以 ， 所以向量在向量上的投影向量为 ； 若，则， 以为原点建立平面直角坐标系，则， 设，则，， 所以，， 所以，， 所以， 是关于的开口向上，对称轴为的二次函数， 当时，取得最小值. 故答案为：； 15. 已知函数，上有两个不同的零点，则的取值范围__________ ； 【答案】 【解析】 【分析】函数在上有两个不同的零点可化为与在上有两个不同的交点，作函数图象求解. 【详解】函数在上有两个不同的零点可化为与在上有两个不同的交点， 作函数 与 的图象如下， 结合图象可知，函数 的右半部分与函数相交于两个不同交点，而左半部分不能与函数相交； 当直线与相切时为一个临界值， 设切点为，此时，则； 解得； 故斜率；故 当直线与相切时为另一个临界值， 设切点为，此时，则； 解得； 故斜率 故 故答案为： 【点睛】本题考查分段函数相切问题，考查转化与化归思想，将函数零点问题转化成交点问题，考查数形结合思想，综合性较强，属于难题. 三、解答题（共 5 小题） 16. 在 中，角 所对的边分别为 .已知 （1）求 的值； （2）求 的值； （3）求 的值. 【答案】（1）; （2）; （3）; 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求解； （2）由求出，再由正弦定理即可求得； （3）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可. 【小问1详解】 由，根据余弦定理得： . 【小问2详解】 由，解得： 根据正弦定理，， 代入解得：. 【小问3详解】 由知角为锐角，由，可得 进而， 所以 17. 如图，四边形 为梯形， ，四边形 为矩形， 平面 为 的中点， ， （1）求证：平面 ； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离； 【答案】（1） 证明： 设,连接，因为四边形  为矩形，所以为的中点， 由为的中点，又平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明. （2）建立空间直角坐标系，利用两个平面的夹角即可求得结果. （3）利用点到面的距离公式，即可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意建立以为坐标原点的空间直角坐标系，如图所示， 因为，则， 设平面的法向量为，,取， 设平面的法向量为，,取 设平面与平面夹角的余弦值为，所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）得平面的法向量为，, ，所以点到平面的距离为 18. 已知为椭圆的左焦点，为椭圆上一点. （1）求椭圆的方程； （2）直线(不与x轴重合)经过并且交椭圆于，两点(点在点的右侧)，椭圆右顶点为，若N为线段的中点，过点作与轴垂直的直线交直线于，直线与椭圆相交于点，设直线与直线的斜率分别为，请问是否为定值? 若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）为定值，0 【解析】 【分析】（1）由题意列方程求解，即可求得答案； （2）设直线l方程为，联立椭圆方程，即可表示出的坐标，进而求出AE方程，联立椭圆方程，求出B点坐标，即可得的表达式，化简即可推出结论. 【小问1详解】 由为椭圆的左焦点，为椭圆上一点.， 可得，解得， 故椭圆方程为； 【小问2详解】 由（1）知，且直线l的斜率存在不为0， 设其方程为，联立，则， 即，则，则，即， 则; 又直线的方程为， 联立，则， 由于该方程有一根为2，故， 则，即 故， ， 故， 由于 ， 故为定值. 【点睛】难点点睛：解答此类圆锥曲线的定值问题，难点在于复杂的运算，解答思路并不是十分困难，而是在于基本都是字母参数的运算，并且计算量较大，需要十分细心. 19. 定义集合与实数间的运算符号*，设 为集合， 为正整数， 且 ，例如 ，.已知 以此类推，令 ，例如 . （1）求 ； （2）若 ，求 的通项公式； （3）设 的前 项和为，试证明 . 【答案】（1），. （2） （3） 由（2）可知，， 当为偶数时， ， 设，为偶数， ， 两式相减， 得， 所以，此时，为偶数， 单调递增，当时，取得最小值2， 所以当为偶数时，， 当为奇数时， ， 设 ， 两式相减得 所以， 此时，单调递增，当时，取得最小值2， 所以为奇数时， 综上可知，. 【解析】 【分析】（1）首先求和，再根据新定义，求和； （2）首先利用等差数列的通项公式和求和公式，得到，再根据新定义，以及为正整数，求得通项； （2）根据（2）的结果求数列的通项公式，再分为奇数和偶数，利用错位相减法求，结合数列的单调性，即可证明不等式. 【小问1详解】 由题意可知，，， 所以，. 【小问2详解】 显然数列的通项公式为，集合中有1个元素，中有2个元素，…，中有个元素， 前个集合中的元素个数为，所以集合中的第一个数是数列的第项，为，集合中共有项， 即, 因为，且 且， 设中的元素为中的第项，则，即， 则， 当为奇数时，，， 当为偶数时，，， 即. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解新定义，理解与的关系，第二问求是本题的关键. 20. 已知函数. （1）求的单调区间和极值； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，，记的极小值点为存在唯一零点，求证：. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，的极小值为，无极大值 （2） （3） 证明：， 令，所以是上增函数， 而 又的极小值点为，所以， 且时，单调递减，时，单调递增， 又且时，，， 又存在唯一零点，所以， 所以， 又， 因为，所以， 记函数， 则， 当单调增， 当单调减， 所以当时，取最大值， 所以， 即，又时，单调递增， 所以． 【解析】 【分析】（1）求出，分别令解不等式即可求出单调区间与极值； （2）将等价变形为，转化为求； （3）通过对性质研究，得到时，单调递减，时，单调递增，又存在唯一零点，得到，，通过即可证明． 【小问1详解】 由题：， 令，所以在上单调递增； 令，所以在上单调递减； 的极小值为，无极大值． 【小问2详解】 当时, 令 当时, 在单调递增,成立； 当时，，所以在单调递减，在单调递增， ，不符合题目条件， 综上：． 【小问3详解】 略 【点睛】第（3）问的关键是通过对性质研究，得到，从而，通过函数的单调性，利用函数值的大小关系来证明的大小关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大港一中 2025 届高三（上）第三次形成性检测卷（数学） 12 月 19 日 一、单选题（共 9 小题， 每小题 5 分） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列是无穷数列，则 “，”是“数列 为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，则有（ ） A. B. C. D. 4. 某校为了了解高三学生的食堂状况，抽取了100名女生的体重.将所有的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图，则所抽取的女生中体重在的人数是（ ） A. 50 B. 40 C. 30 D. 10 5. 若为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数 ，其中正确的是 （ ） A. 的最小正周期为 ； B. 的图象关于直线 对称； C. 的图象关于点 对称； D. 在区间上单调递增. 8. 已知、分别是中心在原点的双曲线C的左、右焦点，斜率为的直线过点，交C的右支于点B，交y轴于点A，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 9. 图①是底面边长为2的正四棱柱，直线经过其上，下底面中心，将其上底面绕直线顺时针旋转，得图②，若为正三角形，则图②所示几何体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共 6 小题， 每小题 5 分） 10. 设复数 满足 ( 为虚数单位)，则 _____. 11. 的二项展开式中的常数项为______. 12. 已知抛物线的准线为，若以此抛物线上一点为圆心的圆既与相切，又与轴相切，则所得圆的半径为_____________. 13. “青年大学习”是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答.某期学习中假设同学小华答对第一､二个问题的概率分别为，，且两题是否答对互不影响.则小华至少答对一个问题的概率为___________；恰好答对一个问题的概率为___________. 14. 在平行四边形中，，，点在边上，满足，则向量在向量上的投影向量为__________（请用表示）；若，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为__________． 15. 已知函数，上有两个不同的零点，则的取值范围__________ ； 三、解答题（共 5 小题） 16. 在 中，角 所对的边分别为 .已知 （1）求 的值； （2）求 的值； （3）求 的值. 17. 如图，四边形 为梯形， ，四边形 为矩形， 平面 为 的中点， ， （1）求证：平面 ； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离； 18. 已知为椭圆的左焦点，为椭圆上一点. （1）求椭圆的方程； （2）直线(不与x轴重合)经过并且交椭圆于，两点(点在点的右侧)，椭圆右顶点为，若N为线段的中点，过点作与轴垂直的直线交直线于，直线与椭圆相交于点，设直线与直线的斜率分别为，请问是否为定值? 若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 19. 定义集合与实数间的运算符号*，设 为集合， 为正整数， 且 ，例如 ，.已知 以此类推，令 ，例如 . （1）求 ； （2）若 ，求 的通项公式； （3）设 的前 项和为，试证明 . 20. 已知函数. （1）求的单调区间和极值； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，，记的极小值点为存在唯一零点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $