精品解析：江西省赣州市石城县2024-2025学年九年级上学期期末质量监测数学试题

石城县2024-2025学年度第一学期期末质量监测 九年级数学试题卷 （说明：本卷共有六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：A． 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 打开电视机正在播放新闻联播 B. 任意一个一元二次方程都有实数根 C. 买一注彩票中500万 D. 一个三角形的三个内角和是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，熟知必然事件、不可能事件、随机事件的概念：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、打开电视机正在播放新闻联播是随机事件，该选项不符合题意； B、任意一个一元二次方程都有实数根是随机事件，该选项不符合题意； C、买一注彩票中500万是随机事件，该选项不符合题意； D、一个三角形的三个内角和是是必然事件，该选项符合题意； 故选：D． 3. 如图，是的直径，点、在上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，由是的直径，则，又，最后根据直角三角形的两锐角互余即可求解，掌握圆周角定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故选：． 4. 如果将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位，那么所得的新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：由抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位，根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是， 故选：． 5. 如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，过点作轴，取中点，点在轴上，连接、，的面积为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与三角形的综合，比例系数的几何意义，连接，由轴，则，故有，又为中点，则，所以，再根据比例系数的几何意义即可求解，掌握反比例函数图象的性质，三角形的面积计算方法是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵点在函数的图象上， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 6. 正方形中，将沿折叠，使得点B在上为点F，折痕为，连接、，给出下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）四边形为菱形；（5）若，则正方形的面积为．其中正确的结论是（ ） A. （1）（4） B. （1）（2）（5） C. （1）（3）（4） D. （1）（4）（5） 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质，根据正方形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，故（）正确； 由折叠的性质可得：，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴，故（）错误； ∵平分， ∴点到的距离相等， 设点到的距离为， ∴，， ∵， ∴，故（）错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故（）正确； ∴与平行， ∴， ∵正方形中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积为，故（）正确． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知点与点关于原点对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征、代数式求值，根据关于原点对称的点的坐标的横、纵坐标都互为相反数求得m、n值，再代值求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 8. 若一个圆的内接多边形的中心角为，则这个正多边形的边数是______． 【答案】八##8 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，根据圆内接正多边形的中心角为求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵圆内接正多边形的中心角是， ∴这个正多边形的边数为， ∴这个正多边形是正八边形， 故答案为：八． 9. 在一个不透明的袋子中放有20个球，其中有个白球，这些球除颜色外完全相同．若每次把球充分搅匀后，任意摸出一球记下颜色后再放回袋子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，则的值约为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是用频率估计概率，以及概率公式；根据用频率估计概率可知：摸到白球的概率为0.2，再根据概率公式列出方程，求解即可． 【详解】解：由题知，摸到白球的概率为0.2， ， 解得， 故答案为：4． 10. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为和， ∴，， ∴， ∴ ， ， ， 故答案为：． 11. 如图，正三角形，点，将三角形沿轴的正方向翻转次，点以此落在点，，，……的位置，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，点坐标的规律运算，理解等边三角形的性质，图形翻转规律，找出点不同位置的坐标规律是解题的关键． 分别算出，，，，，，得到每翻转次点的纵坐标位置与初始位置相同，长度为6个单位，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， 翻转第一次：，， 翻转第二次：，， 翻转第三次：，， ∴每翻转次点的纵坐标位置与初始位置相同，长度为6个单位， ∴， 即翻转了次点的纵坐标位置与初始位置相同， ∴点的纵坐标为， 横坐标的长度为， ∵起始位置点对应的是， ∴横坐标为， ∴点， 故答案为： ． 12. 如图，在矩形中，，以为直径在矩形内作半圆，点P为半圆上的一动点（不与A，D重合），连接，当为锐角等腰三角形时，的长为________． 【答案】6或或 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、垂径定理等知识点，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键． 分、、三种情况，分别画出图形、运用垂径定理、切线性质、勾股定理进行解答即可． 【详解】解：由题意可得：． ①当时，是等腰三角形，此时； ②如图：当时，是等腰三角形． 此时是的切线，连接交于F． ∴ ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴； ③当时，是等腰三角形． 如图：作于H，交⊙O于，作． ∴， 在中，， ∴ ∴（为钝角三角形，不符合题意），； 综上所述，的长为6或或． 故答案为6或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程： （2）如图，直角三角形中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接、，求的度数． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程和旋转的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识． （1）把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解再利用积为0的特点解出方程的根． （2）由绕点逆时针旋转，得到，推导出，是解题的关键． 【详解】（1）解方程： 解： 或 ，． （2）解：，， ． 绕点顺时针旋转得 ，，． ． ． 14. 如图，点在轴上，，点，求经过点、、的抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，先求得，再利用待定系数法求函数解析式的方法求解即可． 【详解】解：，， 设经过点、、的抛物线的解析式为， 把，代入中， 得，解得． 经过点、、的抛物线的解析式为． 15. 春节是中华民族的盛大节日，蕴含着中华民族深厚的历史文化内涵，北京时间12月4日，我国申报的“春节”申遗成功，表明国际社会对春节承载的文化价值的认可．春节意味辞旧迎新、阖家欢乐、祈求吉祥，有贴春联、赏烟花、拜年等众多的习俗，表达人们对美好生活的期盼．小东将写有“新”、“年”、“快”、“乐”的卡片反面朝上放在桌上，反面没有任何差别． （1）王明随机翻开一张卡片，是“新”字的概率是 ； （2）用列表法或画树状图，求王明随机翻开两张卡片，刚好能组成一个词语的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）直接利用概率公式进行计算即可； （）画出树状图，利用概率公式计算即可； 本题考查了列表法或画树状图求概率，熟练掌握列表法或画树状图求概率是解题的关键． 【小问1详解】 解：王明随机翻开一张卡片，是“新”字的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图， 一共有种等可能的结果，刚好能组成一个词语有种， ∴刚好能组成一个词语的概率为． 16. 如图，四边形为平行四边形，为圆的直径，请仅用无刻度的直尺按要求画图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中作出圆心． （2）在图2中，画出，使得． 【答案】（1）如图： （2）如图： 【解析】 【分析】本题考查无刻度直尺作图，涉及圆的性质、平行四边形的性质及圆周角定理等知识，熟知相关性质是正确解决本题的关键． （1）延长，与圆交于点H，连接，与的交点即为所求的圆心O； （2）设与交于点G，连接并延长交于点E，连接，交于点K，即为所求． 【小问1详解】 解：延长，与圆交于点H，连接，与的交点即为所求的圆心O； 理由：平行四边形中，， 又， ， ， ， 为圆的直径， 为圆的直径， 点O即为圆心； 【小问2详解】 解：设与交于点G，连接并延长交于点E，连接，交于点K，即为所求． 理由：由作图可知：为的直径， ， ， ， ． 17. 老旧小区改造是对建成年代较早、失养失修失管、配套设备等不完善的小区进行综合改造，以提升居民生活质量．如图是县城某小区的一块闲置空地，长，宽的矩形，现在空地上修如图的三条宽度相等的小路，剩余部分种植花草，使得种花草的面积为，求小路的宽． 【答案】小路的宽为米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意，设小路的宽为米，由题意得根据题意得，然后解方程，并检验即可，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设小路的宽为米， 根据题意得：， ， 解得，（舍去）， 答：小路的宽为米． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，一次函数和反比例函数的图象交于点与点． （1）求的值与反比例函数关系式； （2）连接、，求； （3）若，请结合图象直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）把点代入一次函数求得的值，然后利用待定系数法即可求得反比例函数关系式； （2）解析式联立成方程组，解方程组即可求得、的坐标，设一次函数与轴交于点，利用三角形面积公式，根据求得即可； （3）根据图象即可求解． 【小问1详解】 解；将代入中，得， 解得； ∴ 将代入中，得， ∴反比例函数关系式； 【小问2详解】 解：由， 解得 或， 所以，， 设一次函数与轴交于点， 如图，连接、，  ∴； 【小问3详解】 解：观察图象，若，则或． 19. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围． （2）若方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次根的判别式和根与系数关系等知识． （1）根据关于的一元二次方程有实数根得到，即可求出的取值范围； （2）由根与系数关系和得到，解方程得到，又由（1）中求得的即可得到答案． 【小问1详解】 ∵关于的一元二次方程有实数根． ∴ ． 【小问2详解】 由题意可得，，． 解得 ∵ ． 20. 如图，是⊙O的直径，是延长线上的一点，点在⊙O上，，与⊙O于点，且点是弧的中点． （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，，求⊙O的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， 点为弧的中点， ， ， ． ，即为的切线； （2）2.5 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线性质是解答的关键． （1）连接，先由等腰三角形的性质得到，结合圆周角定理得到．进而证，则，然后根据切线的判定可得结论； （2）设半径，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得为直角三角形，设半径 在，，， ． 解得， ⊙O的半径为2.5． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 春联一般是用对仗工整、简洁精致的文字描绘美好形象，贴春联是人们对新年的美好愿望．春节临近，某商店发现商机，已知一种春联的成本价每副元，市场调查发现，春节期间，该种春联每天的销售量（副）与销售单价（元）．当售价为元时，一天能卖副，每涨价元，少卖1副．设这种春联每天的销售利润为元． （1）写出销售量与销售单价的函数关系式； （2）求销售利润与的函数关系式； （3）该种春联的销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2） （3）当销售单价为元时，每天销售利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用，掌握二次函数性质是解题的关键． （）根据题意列出函数关系式即可； （）根据题意列出函数关系式即可； （）根据函数关系式，然后根据二次函数的性质即可求解； 【小问1详解】 解：∵当售价为元时，一天能卖副，每涨价元，少卖副， ∴， ∴销售量与销售单价的函数关系式为； 【小问2详解】 解：， ∴销售利润与的函数关系式为； 【小问3详解】 解：由（）得： ∴， ∵， ∴当销售单价元时，最大，最大利润（元）， 答：当销售单价为元时，每天销售利润最大，最大利润是元． 22. 如图1是一种装饰物件的摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，． （1）在旋转过程中． ①当、、三点在同一直线上时，的长为 ； ②当、、三点是同一个直角三角形的三个顶点时，求的长． （2）若摆动臂由三角形外顺时针旋转到三角形内，点的位置由外的点转到其内的点处，连接，如图2，此时，，求的长． 【答案】（1）或；或； （2）． 【解析】 【分析】（）分当在上时和当在延长线上时两种情况，由线段和差即可求解； 当为直角顶点时，当直角顶点时，当为直角顶点时三种情况，然后根据勾股定理即可求解； （）连接，由旋转性质可知：，，证明，再根据“”证明，则，再通过勾股定理求出即可； 本题考查了线段和差，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵、、三点在同一直线上， ∴由题意可知，当在上时，， 当在延长线上时，， 故答案为：或； 当为直角顶点时，； 当直角顶点时，； 当为直角顶点时，不存在； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由旋转性质可知：，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 如图（1），在菱形中，，点在边上，且．点是上一个动点，以为边在的左侧作正方形；设，正方形的面积为，是关于的函数图象是抛物线如图（2）所示． （1）的长为 ，自变量的取值范围是 ； （2）求关于的函数解析式； （3）当正方形的面积为时，试判断点是否落在上？并说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）当时，点在上；当时，点不在上． 当正方形的面积为时，解得，， 如解图，过点作的垂线， 由（）得，， 当时，， ∴， ∴， 由正方形的对称性可知，此时点在上； 当时，正方形在上方，此时点不在上， ∴当时，点在上；当时，点不在上． 【解析】 【分析】（）由图象可知，当取最大值时，此时点和点重合，正方形的面积为，求出正方形边长，从而求出的长，根据解直角三角形即可求出自变量的取值范围； （）当时，最小，即正方形的面积最小，求出函数的顶点，然后利用待定系数法即可求解； （）过点作的垂线，当正方形的面积为时，解得，，然后分别代入即可求解； 本题考查了二次函数的应用和解直角三角形，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图象可知，当取最大值时，此时点和点重合，正方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴自变量的取值范围为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：当时，最小，即正方形的面积最小， ∵，， 此时，， 由（）可知， ∴此时， ∴时，正方形的面积为， ∴点是函数的顶点， ∴可设函数解析式为， 又点在函数图象上，即，解得， ∴关于的函数解析式； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石城县2024-2025学年度第一学期期末质量监测 九年级数学试题卷 （说明：本卷共有六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 打开电视机正在播放新闻联播 B. 任意一个一元二次方程都有实数根 C. 买一注彩票中500万 D. 一个三角形的三个内角和是 3. 如图，是的直径，点、在上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 如果将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位，那么所得的新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，过点作轴，取中点，点在轴上，连接、，的面积为，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 正方形中，将沿折叠，使得点B在上为点F，折痕为，连接、，给出下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）四边形为菱形；（5）若，则正方形的面积为．其中正确的结论是（ ） A. （1）（4） B. （1）（2）（5） C. （1）（3）（4） D. （1）（4）（5） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知点与点关于原点对称，则______． 8. 若一个圆的内接多边形的中心角为，则这个正多边形的边数是______． 9. 在一个不透明的袋子中放有20个球，其中有个白球，这些球除颜色外完全相同．若每次把球充分搅匀后，任意摸出一球记下颜色后再放回袋子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，则的值约为______． 10. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为______． 11. 如图，正三角形，点，将三角形沿轴的正方向翻转次，点以此落在点，，，……的位置，则点的坐标为______． 12. 如图，在矩形中，，以为直径在矩形内作半圆，点P为半圆上的一动点（不与A，D重合），连接，当为锐角等腰三角形时，的长为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程： （2）如图，直角三角形中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接、，求的度数． 14. 如图，点在轴上，，点，求经过点、、的抛物线的解析式． 15. 春节是中华民族的盛大节日，蕴含着中华民族深厚的历史文化内涵，北京时间12月4日，我国申报的“春节”申遗成功，表明国际社会对春节承载的文化价值的认可．春节意味辞旧迎新、阖家欢乐、祈求吉祥，有贴春联、赏烟花、拜年等众多的习俗，表达人们对美好生活的期盼．小东将写有“新”、“年”、“快”、“乐”的卡片反面朝上放在桌上，反面没有任何差别． （1）王明随机翻开一张卡片，是“新”字的概率是 ； （2）用列表法或画树状图，求王明随机翻开两张卡片，刚好能组成一个词语的概率． 16. 如图，四边形为平行四边形，为圆的直径，请仅用无刻度的直尺按要求画图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中作出圆心． （2）在图2中，画出，使得． 17. 老旧小区改造是对建成年代较早、失养失修失管、配套设备等不完善的小区进行综合改造，以提升居民生活质量．如图是县城某小区的一块闲置空地，长，宽的矩形，现在空地上修如图的三条宽度相等的小路，剩余部分种植花草，使得种花草的面积为，求小路的宽． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，一次函数和反比例函数的图象交于点与点． （1）求的值与反比例函数关系式； （2）连接、，求； （3）若，请结合图象直接写出的取值范围． 19. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围． （2）若方程的两个实数根为，且，求的值． 20. 如图，是⊙O的直径，是延长线上的一点，点在⊙O上，，与⊙O于点，且点是弧的中点． （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，，求⊙O的半径． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 春联一般是用对仗工整、简洁精致的文字描绘美好形象，贴春联是人们对新年的美好愿望．春节临近，某商店发现商机，已知一种春联的成本价每副元，市场调查发现，春节期间，该种春联每天的销售量（副）与销售单价（元）．当售价为元时，一天能卖副，每涨价元，少卖1副．设这种春联每天的销售利润为元． （1）写出销售量与销售单价的函数关系式； （2）求销售利润与的函数关系式； （3）该种春联的销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ 22. 如图1是一种装饰物件的摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，． （1）在旋转过程中． ①当、、三点在同一直线上时，的长为 ； ②当、、三点是同一个直角三角形的三个顶点时，求的长． （2）若摆动臂由三角形外顺时针旋转到三角形内，点的位置由外的点转到其内的点处，连接，如图2，此时，，求的长． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 如图（1），在菱形中，，点在边上，且．点是上一个动点，以为边在的左侧作正方形；设，正方形的面积为，是关于的函数图象是抛物线如图（2）所示． （1）的长为 ，自变量的取值范围是 ； （2）求关于的函数解析式； （3）当正方形的面积为时，试判断点是否落在上？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $