精品解析：广东省河源市连平县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年第一学期期末教学质量检测 九年级数学试题 （满分120分 考试用时120分钟） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．一元二次方程的一般形式为： (、、是常数，)．其中，是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据定义作答即可． 【详解】解：方程的二次项系数、一次项系数和常数项是，，． 故选：A． 2. 若关于一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程中根的判别式等于零，即可求解． 【详解】解：根据题意得，，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式判断根的情况，掌握根的判别式的知识是解题的关键． 3. 如图，在中，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据，再根据平行线分线段成比例定理可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了行线分线段成比例定理，正确得到是解题的关键． 4. 如图，与位似，点为位似中心，若的周长等于周长的．，则的长度为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质，由位似的性质得出，结合的周长等于周长的，得出相似比为，计算即可得出答案． 【详解】解： 与位似， ∴， ∵的周长等于周长的， ∴相似比为， ∵， ， 故选：C． 5. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得． 【详解】解：卯的俯视图是 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键． 6. 反比例函数的图象过点，下列各点中，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值，即是解题的关键． 先根据题意求出的值，得出，再对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ， ， A、∵，∴点不函数图象上，不符合题意； B、∵，∴点不在函数图象上，不符合题意； C、∵，∴点在函数图象上，符合题意； D、∵，∴点不在函数图象上，不符合题意． 故选：C． 7. 文房四宝是我国传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒，盲盒外观和重量完全相同，内含对应文房四宝之一的卡片．若从一套四个盲盒（笔墨纸砚盲盒各一个）机选两个，则恰好抽中笔和纸的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法求概率，正确画图解题的关键．画出树状图，用符合情况的情况数除以等可能发生的情况数即可． 详解】解：画树状图如下： 一共有12种等可能性，其中恰好抽中内含纸和笔的可能性有2种， 故恰好抽中纸和笔的盲盒的概率是， 故选：A． 8. 如图是小明设计利用光线来测量某古城墙高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离米，镜子P与小明的距离米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，小明的眼睛距地面的高度米，解决本题应用了什么光学知识，该古城墙的高度是（ ） A. 光的反射，米 B. 光的折射，米 C. 光沿直线传播，米 D. 光的反射，米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据题意得到，由光的反射定律可知，则可证明，得到，据此代入数值计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 由光的反射定律可知， ∴， ∴，即，∴米， 故选：A． 9. 在一幅长为、宽为的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据矩形面积公式的列一元二次方程解决实际问题．根据金色纸边的宽度为，则挂图的，宽就为，根据题目条件列出方程整理即可． 【详解】解：根据金色纸边的宽度为，则挂图的长为，宽就为， 由题意得：， 整理得出：． 故选：A． 10. 如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】C 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得，在中，利用勾股定理即可求解. 【详解】解：∵矩形中， ∴， ∵F为的中点，， ∴， 在中，， 故选：C. 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，点A在双曲线上，轴于B，若的面积为5，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，由的面积利用反比例函数系数k的几何意义可求出k值，结合反比例函数在第二、四象限有图象，即可确定k的值，此题得解． 【详解】∵点A在双曲线上，轴于， ∴， 解得． ∵反比例函数在第二、四象限有图象， ∴． 故答案为． 12. 如图，在矩形中，，对角线相交于点O，则的周长是__________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得OA=OB=2.5，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=CO，AC=BD=5，OB=OD， ∴OA=OB=2.5， ∵AB=3， ∴的周长是AB+OB+OA=3+2.5+2.5=8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 13. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了整体代入的思想． 把代入方程，整理得，把所求的代数式变形为，再整体代入计算即可． 【详解】∵是一元二次方程的一个根， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，则点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的坐标是，可得的长，再根据菱形的四条边都相等即可得点的坐标． 【详解】解：点的坐标是， ， 四边形为菱形， ，， 则点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、坐标与图形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 15. 如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意证明，，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握这些性质是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题6分，第17、18题各8分，共22分． 16. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，运用因式分解法求解即可（方法不唯一） 【详解】解：， ∴， ∴， ∴，． 17. 如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解题的关键． （1）由正方形的性质得出，，，得出，再由，即可得出结论； （2）由勾股定理求出，可求出，由得出比例式，即可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 18. 尺规作图并按要求完成： 已知，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，分别以、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点．做射线，交于点．连接． （1）填空：则是的________； （2）判断四边形的形状，并证明你的结论； （3）已知，，求四边形的面积． 【答案】（1）平分线 （2）四边形是菱形，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，掌握平行四边形的性质，菱形的判定与性质是解决本题的关键． （1）根据作图可知是的平分线； （2）根据作图的过程可知是的平分线，根据平行四边形的性质可得，根据作图可知，得，证明四边形是平行四边形，进而可得四边形是菱形； （3）连接交于点，利用菱形的性质结合勾股定理求得菱形的对角线的长，利用菱形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：根据作图可知是的平分线； 故答案为：平分线； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据作图可知， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； 【小问3详解】 解：连接交于点， ， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． （1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】（1） （2）树状图见解析，该游戏对双方公平 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同， ∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种， ∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为， ∴小明和小红获胜的概率相同， ∴该游戏对双方公平． 20. 如图①，矩形的边，，将矩形绕点逆时针旋转角得到矩形，与交于点． 数学思考：（1）填空：图①中__________；（用含的代数式表示） 深入探究：（2）如图②，当点在对角线的垂直平分线上时，连接，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据旋转得到，结合矩形对边平行即可得到答案； （2）证明即可得到答案． 【详解】解：（1）∵矩形绕点逆时针旋转角得到矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵点在对角线的垂直平分线上，边经过点， ， ∵四边形是矩形， ，， 由旋转得：， ，， 在与中， ∵， ， ． 21. 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在店庆期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次降价后，调至每千克32.4元． （1）若该商场两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； （2）现在店庆结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克每涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么现在的售价应定为每千克多少元？ 【答案】（1）每次降价的百分率 （2）现在的售价应定为每千克37.4元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，读懂题意，找准数量关系，正确列出一元二次方程是解答关键． （1）设每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程求解； （2）设每千克应涨价元，则每天可售出千克，根据总利润＝每千克的利润×销售数量，列出方程求出，再用原定价减去降价即可求解． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为， 根据题意得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：每次降价的百分率． 【小问2详解】 解：设每千克应涨价元，则每天可售出千克， 根据题意得 ， 整理得， 解得，． 要使顾客得到实惠， ， 即每千克应涨价5元，定价为（元）． 答：现在的售价应定价37.4元． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题13分，共26分． 22. 综合与实践 主题：X型晒衣架稳固性检测 步骤：如图甲是晒衣架的实物图，图乙是晒衣架侧面示意图，经测量得到立杆，，现将晒衣架完全稳固张开，横扣链成一条线段，测得． 证明与计算： （1）连接，证明：； （2）利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】（1）见解析 （2）晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，即可证明； （2）过点作于点，过点作，在中，根据勾股定理，求得．证明，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵立杆相交于点， ． 又， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点作， ，由（1）已证， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴是边上的中线， ∴， 在中，根据勾股定理，得 ． ∴，即， 解得， 答：晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 23. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； （3）如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）点． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可； （3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， 【小问2详解】 解：如图，设点，那么点， 由可得， 所以， 解得（舍）， ; 【小问3详解】 解：如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点， ， 点绕点顺时针旋转， ， ， ， ， 设点， 点， ， 解得， 点或（舍），此时点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期期末教学质量检测 九年级数学试题 （满分120分 考试用时120分钟） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 若关于一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与位似，点为位似中心，若的周长等于周长的．，则的长度为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 反比例函数图象过点，下列各点中，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 7. 文房四宝是我国传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒，盲盒外观和重量完全相同，内含对应文房四宝之一的卡片．若从一套四个盲盒（笔墨纸砚盲盒各一个）机选两个，则恰好抽中笔和纸的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是小明设计利用光线来测量某古城墙高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离米，镜子P与小明的距离米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，小明的眼睛距地面的高度米，解决本题应用了什么光学知识，该古城墙的高度是（ ） A. 光的反射，米 B. 光的折射，米 C. 光沿直线传播，米 D. 光的反射，米 9. 在一幅长为、宽为的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，点A在双曲线上，轴于B，若面积为5，则_______． 12. 如图，在矩形中，，对角线相交于点O，则的周长是__________． 13. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，则点的坐标为_________． 15. 如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题6分，第17、18题各8分，共22分． 16 解方程： 17. 如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求长． 18. 尺规作图并按要求完成： 已知，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，分别以、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点．做射线，交于点．连接． （1）填空：则是的________； （2）判断四边形的形状，并证明你的结论； （3）已知，，求四边形的面积． 四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． （1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 20. 如图①，矩形的边，，将矩形绕点逆时针旋转角得到矩形，与交于点． 数学思考：（1）填空：图①中__________；（用含的代数式表示） 深入探究：（2）如图②，当点在对角线的垂直平分线上时，连接，求证：． 21. 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在店庆期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次降价后，调至每千克32.4元． （1）若该商场两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； （2）现在店庆结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克每涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么现在的售价应定为每千克多少元？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题13分，共26分． 22. 综合与实践 主题：X型晒衣架稳固性检测 步骤：如图甲是晒衣架的实物图，图乙是晒衣架侧面示意图，经测量得到立杆，，现将晒衣架完全稳固张开，横扣链成一条线段，测得． 证明与计算： （1）连接，证明：； （2）利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 23. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； （3）如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$