4.3.2 等比数列的前n项和公式(第2课时)（同步课件）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

人教版2019高一数学（选修二） 第四章　数列 4.3.2等比数列的前n项和公式(第2课时) 目录/CONTENTS 新知探究 例题导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 学习目标 掌握等比数列的前n项和公式及其应用． 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 等比数列前n项和性质 片段和 性质 奇偶项和间关系 前n项和间的关系 复习导入 课本例题 例10 如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E, F, G, H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I, J, K, L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去. (1) 求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和; (2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少? 例10 如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E, F, G, H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I, J, K, L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去. (1) 求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和; (2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少? 例11： 分析 由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列．因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算． 课本例题 解： 例12： 分析 课本例题 新知探究 一：分组转化法求和 1.已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； 解(1)：设数列的公差为，则由 得解得 ∴的通项公式为. 1.已知等差数列满足，. (2)若()，求数列的前项和. 解(2)：由得. 当且时， 当时，则 ∴数列的前项和则 方法技巧： 分组转化法求和的常见类型 求 的和 为等差或等比数列 为等差或等比数列 分组 求和 二：裂项相消法求和 2.已知等比数列各项均为正数，且，. (1)求的通项公式； 解(1)：设数列的公比为，由得，∴ 由条件可知，故. 由得∴. 故数列的通项公式为. 2.已知等比数列各项均为正数，且，. (2)若，求数列的前项和. 解(2)：∵设∴ ∴ ∴ 方法技巧： 裂项相消法的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项或若干项，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后正负相消，进而求出数列的前项和.使用此方法时必须弄清消去了哪些项，保留了哪些项，一般未倍消去的项有前后对称的特点. 三：错位相减法求和 3.已知数列的前项和，是等差数列，且 (1)求数列的通项公式； 解(1)：∵，当时， 当时， 当时，也符合上式，∴ 设数列的公差为.则即解得 ∴ (2)令，求数列的前项和. 解(2)：∵，∴， 则 ， 两式作差，得 ∴ 方法技巧： 一般地，若数列的通项公式为，其中是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，我们可以用错位相减法求的前项和. 错位相减法求和的注意点： 1.在写“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式. 2.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 概念归纳 分组转化法求和的常见类型 求 的和 为等差或等比数列 为等差或等比数列 分组 求和 概念归纳 一般地，若数列的通项公式为，其中是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，我们可以用错位相减法求的前项和. 错位相减法求和的注意点： 1.在写“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式. 2.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 课堂练习 1. 一个乒乓球从1 m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的0.61倍. (1) 当它第6次着地时，经过的总路程是多少(精确到1 cm)? (2) 至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到400 cm? 2. 某牛奶厂2015 年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%. 每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入再生产.这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标(精确到1万元)? 3. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn =2an+1，求Sn . 题型归纳 素养点睛：考查数学运算的核心素养． 【答案】C　 概念归纳 在等比数列{an}的五个基本量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以列方程组求解． 题型2　等比数列前n项和的性质 (1)一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64，求此数列的通项公式； (2)在等比数列{an}中，若前10项的和S10＝10，前20项的和S20＝30，求前30项的和S30． 素养点睛：考查数学运算和逻辑推理核心素养． 概念归纳 等比数列前n项和性质的应用 等比数列前n项和的性质是在等比数列的通项公式、前n项和公式及等比数列的性质的基础上推得的，因而利用有关性质可以简化计算，但通项公式、前n项和公式仍是解答等比数列问题最基本的方法． 题型3　等比数列求和公式的实际应用 借贷10 000元，月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051) 素养点睛：考查数学建模的核心素养． 解：方法一：设每个月还贷a元，第1个月欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a， a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，… a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a． 方法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为 S1＝104×(1＋0.01)6＝104×1.016(元)． 另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为 概念归纳 解数列应用题的具体方法步骤 1．认真审题，准确理解题意，达到如下要求： ①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推公式的数列问题？是求an，还是求Sn？特别要注意项数是多少． ②弄清题目中主要的已知事项． 概念归纳 2．抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达． 3．将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式． 素养点睛：考查数学运算和逻辑推理的核心素养． 概念归纳 等比数列的定义、通项公式及前n项和公式经常融进各类题型中，应熟练掌握，灵活应用． 易错警示　忽视等比数列求和公式的特征易错 设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，求此数列的公比q． 【错因分析】忽视q＝1这一情况，从而得出错解． 课堂小结 （1）掌握用等比数列知识解决增长率等问题的数学模型，尤其要注意公比与项数的选取； （2）根据实际问题，先分清等比数列与等差数列, 再建立不同的数学模型； （3）通过实际问题，发现等差数列与等比数列的不同特点. 首项为,公比为的等比数列,其奇数项的和记为,偶数项 的和记为,①前2n项和中,;②前项和中,. 等比数列的前n项和中的，与满足． 等比数列的公比，前项和为，则，，成等比数列，公比为． 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理， 6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时， 通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．为了确定处理生活垃圾的 预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式， 并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）． 所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨． (1)可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和 “每年年底卖出100头”建立与的关系； (2) 这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中 的递推公式的形式，通过比较系数，得到方程组； (3)利用(2)的结论可得出解答． 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%， 且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数 依次为，，，…． (1)写出一个递推公式，表示与之间的关系； (2)将(1)中的递推公式表示成的形式，其中,为常数； (3)求的值(精确到1)． 解：(1)由题意，得 ，并且 —— ① (2)将 化成 —— ② 比较①的系数，可得 ,解这个方程组,得 ． 所以，(1)中的递推公式可以化为： ． 解： 由(2)可知，数列 是以 为首项， 1.08为公比的等比数列， 则 ． 所以 ． 题型1　等比数列前n项和的基本运算 　　　　已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－eq \f(4,3)，则{an}的前10项和等于 (　　) A．－6×(1－3－10)　　 B．eq \f(1,9)×(1－3－10) C．3×(1－3－10)　　 D．3×(1＋3－10) 【解析】　∵3an＋1＋an＝0，∴eq \f(an＋1,an)＝－eq \f(1,3)．∴数列{an}是以－eq \f(1,3)为公比的等比数列．∵a2＝－eq \f(4,3)，∴a1＝4．∴S10＝eq \f(4×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))10)),1＋\f(1,3))＝3×(1－ 3－10)． 解：(1)设此数列{an}的公比为q． 由题意知S奇＋S偶＝4S偶，∴S奇＝3S偶．∴q＝eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(1,3)． 又a1a2a3＝64，即a1(a1q)(a1q2)＝aeq \o\al(3,1)q3＝64，∴a1q＝4． 又q＝eq \f(1,3)，∴a1＝12． ∴an＝a1qn－1＝12×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1． (2)方法一：设数列{an}的首项为a1，公比为q，显然q≠1，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a11－q10,1－q)＝10，,\f(a11－q20,1－q)＝30.)) 两式相除，得1＋q10＝3，∴q10＝2． ∴S30＝eq \f(a11－q30,1－q)＝eq \f(a11－q10,1－q)(1＋q10＋q20)＝10×(1＋2＋4)＝70． 方法二：∵S10，S20－S10，S30－S20仍成等比数列，S10＝10，S20＝30， ∴S30－30＝eq \f(30－102,10)，即S30＝70． 由题意，可知a6＝0， 即1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a＝0，a＝eq \f(1.016×102,1.016－1)． ∵1.016≈1.061， ∴a≈eq \f(1.061×102,1.061－1)≈1 739．故每月应支付1 739元． S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝eq \f(a[1＋0.016－1],1.01－1)＝a(1.016－1)×102(元)． 由S1＝S2，得a＝eq \f(1.016×102,1.016－1)． 以下解法同方法一，得a≈1 739，故每月应支付1 739元． 题型4　前n项和公式的综合应用 　　　　设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等比数列，Sn是{an}的前n项和，a1＝1，a2a3a4＝64． (1)求数列{an}的通项； (2)当数列{Sn＋λ}也是等比数列时，求λ的值． 解：(1)∵数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等比数列， ∴数列{an}也是等比数列． 设数列{an}的公比为q，由a2a3a4＝aeq \o\al(3,3)＝64，解得a3＝4． ∴q2＝eq \f(a3,a1)＝4，解得q＝±2． 当q＝2时，an＝2n－1；当q＝－2时，an＝(－2)n－1． (2)当q＝2时，Sn＋λ＝eq \f(1－2n,1－2)＋λ＝2·2n－1＋λ－1， 当且仅当λ－1＝0，即λ＝1时，数列{Sn＋λ}是首项为2，公比为2的等比数列； 当q＝－2时，Sn＋λ＝eq \f(1－－2n,1－－2)＋λ＝eq \f(2,3)·(－2)n－1＋λ＋eq \f(1,3)，当且仅当λ＋eq \f(1,3)＝0，即λ＝－eq \f(1,3)时，数列{Sn＋λ}是首项为eq \f(2,3)，公比为－2的等比数列． ∴λ的值为1或－eq \f(1,3)． 【错解】由S3＝3a3，得eq \f(a11－q3,1－q)＝3a1q2． 因为a1≠0，所以1＋q＋q2＝3q2，即2q2－q－1＝0，解得q＝－eq \f(1,2)． 所以公比q的值是－eq \f(1,2)． 【正解】当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，符合题目条件； 当q≠1时，eq \f(a11－q3,1－q)＝3a1q2． 因为a1≠0，所以1＋q＋q2＝3q2，即2q2－q－1＝0，解得q＝－eq \f(1,2)． 综上，公比q的值是1或－eq \f(1,2)． $$