1.3.2等比数列的前n项和（第2课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等比数列前n项和性质，通过复习通项公式与前n项和公式导入，搭建旧知到新知的学习支架，系统呈现Sₙ=Aqⁿ+B（q≠1）时A+B=0、用Sₙ求通项、连续等间隔和的关系等核心内容。 其亮点在于融合数学史（如欧几里得、阿基米德等），采用“新知-典例-练习”结构，结合例1求参数、例3用性质求S₄₀等实例，培养学生推理能力与运算能力，帮助学生构建知识体系，也为教师提供清晰教学思路，提升教学效率。

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 数列 第3节 等比数列 3.2 等比数列的前n项和 第2课时（共3课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、理解等比数列前n项和Sn的性质。 2、会用等比数列前n项和Sn的性质解决问题。 1、会用等比数列前n项和Sn的性质解决问题。 1、理解等比数列前n项和Sn的性质。 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 1、等比数列的通项公式是什么？ 2、等比数列的前n项和公式是什么？ 本节课我们来研究等比数列前n项和Sn的性质. an=a1qn-1 Sn = 3 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 等比数列{an}的公比为q,且q≠1, 则 Sn= =_______________________ - qn+ 等比数列前n项和Sn=Aqn+B(q≠1),则A+B=0. 4 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、（1）已知等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+a，则a=______ （2）数列{an}是等比数列，前n项和为Tn=2n+1-k，则实数k=_____． 解：∵1+a=0 ∴a = -1 解：Tn= 2n+1-k = 2×2n -k ∴2+(-k)=0 ∴k=2 5 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、（1）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=5×3n-1+t，则t=___________. 解：Sn= 5×3n-1+t = ×3n+t ∴ + t =0 ∴ t= - (2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn=m·2n-1+ ,则 m=__________． 解：Sn= m·2n-1+ = ·2n+ ∴ + =0 ∴ m= - 6 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 若等比数列{an}的前n项和为Sn，则 an = 7 典 例 引 路 柯 西 例2、记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1，则a6=_____. 解：当n=1时， S1=2a1+1，即a1=2a1+1,得a1=-1 当n≥2时， ∵Sn=2an+1 ∴Sn-1=2an-1+1 两式相减得Sn-Sn-1=2an-2an-1 即an=2an-2an-1 即an=2an-1 ∴数列{an}是公比为2的等比数列 ∴ a6 = a1×25 =-32 8 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=2,an+1=2Sn+1.则 an=________. 解：当n≥2时， ∵ an+1=2Sn+1 ∴ an=2Sn-1+1 两式相减得 an+1-an=2Sn-2Sn-1=2an 即an+1=3an ∴数列{an}从第2项开始是等比数列 当n=1时，a2=2S1+1=2a1+1=5 ∴数列{an}从第2项开始的通项公式为an=5×3n-2 又∵当n=1时，5×31-2 = ≠ 2 ∴n=1时，不适合 ∴ an= 9 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 等比数列{an}（q≠-1)的前n项和记为Sn, 则 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，……仍成等比数列. 证明： 记bn=Snm-S(n-1)m ，则 bn+1=S(n+1)m-Snm ∴ = = = = = qm 10 典 例 引 路 牛 顿 例3、已知等比数列{an}的前n项和Sn，S10=5,S20=15,，则 S40=__________. 解∵Sn是等比数列{an}的前n项和 ∴S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30仍成等比数列. ∵S10=5,S20=15 ∴S20-S10=15-5=10. ∴S30-S20=(S20-S10)× = 10× = 20，则 S30=35 ∴S40-S30=(S30-S20)× = 20× = 40，则 S40=75 11 同 步 练 习 黎 曼 练3、记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9,S6=12则S9的 值为______. 解:由等比数列前n项和的性质，S3,S6-S3,S9-S6成等比数列， 即9,3,S9-12成等比数列， ∴ 9(S9-12)=32=9 解得S9=13． 12 典 例 引 路 狄利克雷 例4、设等比数列{an}的前n项和为Sn，若 =6,则 =______ 解:∵{an}为等比数列，且S4≠0， ∴S4,S8-S4,S12-S8成等比数列． ∴(S8-S4)2=(S12-S8)S4 设 S4=λ，则 S8 = 6λ． ∴ 25λ2=(S12-6λ)λ， ∴ S12=31λ． ∴ = 31 13 同 步 练 习 庞加莱 练4、已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若 = ，则 = ____ 解:设等比数列的公比为q， ∵ = ∴q≠1 ∵数列{an}为等比数列 ∴ S3 , S6-S3 , S9-S6 , S12-S9 成等比数列 设S3=k,则S6=3k, ∴S6-S3=2k 则S9-S6=4k,S9=7k 则S12-S9=8k,S12=15k ∴ = 14 学 习 新 知 拉格朗日 ①若数列{an}的项数为2k,k∈N*，则 = q ; ②若数列{an}的项数为2k+1，k∈N*,则 = q. 等比数列{an}的公比为q, 证明： ① = = = q 同理可证 =q 15 典 例 引 路 皮 亚 诺 例5、等比数列{an}共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q=______. 解：设等比数列{an}的奇数项的和、偶数项的和分别为S奇，S偶. 由题意可得 解得：S奇=160，S偶=80 ∴ q = = = 16 同 步 练 习 莱布尼兹 练5、若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为______． 解：依题意得 解得 S奇=100，S偶=200 所以所有项之和为 S奇+S偶=300 17 典 例 引 路 华罗庚 例6、等比数列{an}中，a1=4，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比q=_______ 解：∵S奇= S偶= ∴q = = = 18 同 步 练 习 陈景润 练6、若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为____，项数为___． 解：∵ = q ∴ q = = 2 ∴ 170+341 = = ∴ n = 9 19 学 习 新 知 布 丰 数列求和一定要注意项数！ 20 典 例 引 路 傅里叶 例7、设f(n)=2+24+27+210+…+23n+1 （n∈N），则f(n)等于 （ ） A. (8n-1) B.(8n+1-1) C.(8n-1-1) D.(8n+1+1) 解：f(n)= 2+24+27+210+…+23n+1 = 23×0+1+23×1+1+23×2+1+23×3+1+…+23n+1 = = (8n+1-1) B 21 同 步 练 习 洛必达 练7、一个球从32m的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半．当它第5次着地时，共经过的路程是_____m． 解:依题意，5次落地的路程分别为： 32，2×16，2×8，2×4，2×2， 第2项至第5项是首项为32，公比为，的等比数列， 所以总路程 S = 32+(32+16+8+4) = 32+ = 92 22 全 课 总 结 一、等比数列前n项和Sn=Aqn+B(q≠1),则A+B=0. 二、若等比数列{an}的前n项和为Sn，则an = 三、等比数列{an}（q≠-1)的前n项和记为Sn, 则 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，……仍成等比数列. 四、等比数列{an}的公比为q, 项数为2n，则 = q ;项数为2n+1，则 = q. 23 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 24 $