第十七章 勾股定理（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（江西专用，人教版）

第十七章 勾股定理（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、单选题（每题3分，共18分） 1．五根小棒，其长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为2．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的边长是（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 3．如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（　　）cm． A．14 B．15 C．16 D．17 4．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是2，3，4，5，6，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　） A．2，4，6 B．2，3，5 C．3，3，6 D．2，2，4 5．如图，在边长为4的等边中，D 是的中点，点E在线段上，连接，在的下方作等边，连接，当最小时，的长度为（     ）． A． B．2 C． D．3 6．如图，把平面内一条数轴x绕点O逆时针旋转角（）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P是平面斜坐标系中任意一点，过点P作y轴的平行线交x轴于点A，过点P作x轴的平行线交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对为点P的斜坐标．在平面斜坐标系中，若，点P的斜坐标为，点G的斜坐标为，连接，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 7．如图，正方形OABC的边OC落在数轴上，点C表示的数为1，点P表示的数为﹣1，以P点为圆心，PB长为半径作圆弧与数轴交于点D，则点D表示的数为 ． 8．《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是 尺． 9．如图，某风景区的沿湖公路AB=3千米，BC=4千米，CD=12千米，AD=13千米，其中AB^BC，图中阴影是草地，其余是水面．那么乘游艇游点C出发，行进速度为每小时11千米，到达对岸AD最少要用 小时． 10．将一副三角板和如图（1）放置，其中，，，与共线，将沿方向平移，当经过的中点时，直线交于点[如图（2）]，若，则此时线段的长度为 ．    11．如图，在中，，，，现将拓展为等腰，且使得点在射线上，则的长为 ． 12．如图，在中，已知：，，，动点从点出发，沿射线以4cm/s的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当为等腰三角形时，的值为 ． 三、解答题（13-17每题6分，18-20每题8分，21-22题9分，23题12分，共18分） 13．如图，已知，且，，，求A、F两点间的距离． 14．某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图    测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为15米． ②根据手中剩余线的长度计算出了风筝拉线的长为17米． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米． 数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务： (1)根据上述信息，求风筝离地面的垂直高度． (2)如果小明想要风筝沿方向再上升12米，BC长度不变，则他应该再放出多少米风筝拉线？ 15．在中，，的对边长分别为a，b，c，设的面积为S，周长为l． a，b，c 3，4，5 2 5，12，13 4 p 8，15，17 6 q (1)填表：表格中的＿＿＿＿，＿＿＿＿； (2)设，观察上表猜想：＿＿＿＿（用含有m的代数式表示）； (3)说出（2）中结论成立的理由． 16．如图，点O是等边三角形内一点，将绕点C顺时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 17．如图，某船以每小时海里的速度向正东方向航行，在点测得某岛在北偏东方向上，且距点海里，航行半小时后到达点，此时测得该岛在北偏东方向上，已知该岛周围海里内有暗礁． (1)问点是否在暗礁区域外？ (2)若继续向正东航行，有无触礁危险？请说明理由． 18．【原题再现】在学习“图形的平移和旋转”时，教材上有这样一道题，如图1，点D在等边三角形的边上，将绕点A旋转，使得旋转后点B的对应点为点C．小明是这样做的：过点C画的平行线l，在l上截取，连接，则即为旋转后的图形． （1）请你根据小明的思路，①求证：；②求的度数； 【方法应用】 （2）如图2，点D为等边三角形的边下方一点，连接，，，若，，求面积的最小值． 19．（1）如图，三个正方形围成了一个直角三角形，三个正方形的面积分别为，若，则___________   （2）如图，在中，，分别以为边在外侧作等边三角形，则之间的关系为___________ （3）①如图，在中，，分别以为边在外侧作等腰直角三角形，则（2）中的关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由． ②如图，在五边形中，，连接．求五边形的面积． 20．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： （1）【提出问题】已知，求的最小值 （2）【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】    ①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段__________线段__________； ②在（1）的条件下，已知，求的最小值； （3）【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值． 21．如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙．他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作. （1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽______米； （2）当盼盼在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽； （3）当盼盼在丙房间时，测得米，且，. ①求的度数； ②求丙房间的宽. 22．我们定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”． 如图1，四边形中，，，则四边形叫做“等补四边形”． 【概念理解】 （1）①在等补四边形中，若，则______； ②在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是______． A．平行四边形    B．菱形    C．矩形    D．正方形 【性质探究】 （2）如图1，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． 【知识运用】 （3）如图2，在四边形中，平分，，． 求证：四边形是等补四边形． 【拓展应用】 （4）将斜边相等的两块三角板按如图3放置，其中含角的三角板的斜边与含角的三角板的斜边重合，、位于的两侧，其中，若，连接，则的长为______． 23．综合与实践 问题情境 数学活动课上，老师发给每名同学一个等腰三角形纸片，，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论． 问题发现 奋进小组在边上取一点D，连接，将这个纸片沿翻折，点A的对应点为E，如图1所示． 如图2，小明发现，当点E落在边上时，． 如图3，小红发现，当点D是的中点时，连接，若已知和的长，则可求的长． … 问题提出与解决 奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1，请你解答． 问题1：在中，，点D是边上的一点，将沿翻折得到． （1）如图2，当点E在边上时，，图中的度数为 ． （2）如图2，当点E在边上时，求证：． （3）如图3，当点D是的中点时，连接，若，求的长． 拓展延伸 小刚受到探究过程的启发，将等腰三角形的顶角改为锐角，尝试画图，请你解答． 问题2：如图4，点D是外一点，，求的长．    试卷第2页，共34页 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 勾股定理（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、单选题（每题3分，共18分） 1．五根小棒，其长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是注意是判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方． 根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方，每一个图判断两次即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴C正确， ，A错误， ，B错误， D错误． 故选：C． 2．如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为2．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的边长是（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的性质，根据题意找出边长之间的数量关系是解题关键．根据正方形①的面积，得到，再根据勾股定理，分别求出，，即可求解． 【详解】解：如图标记各点， 正方形①的面积为16， ， 、是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ， 即正方形③的边长是2， 故选：A    3．如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（　　）cm． A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】在侧面展开图中，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可． 【详解】解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH， 过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则 AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， ∵AE＝A′E，A′P＝AP， ∴AP+PC＝A′P+PC＝A′C， ∵CQ＝×18cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm+4cm＝12cm， 在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝＝15cm， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆柱的最短路径问题，掌握圆柱的侧面展开图、勾股定理是解题的关键． 4．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是2，3，4，5，6，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　） A．2，4，6 B．2，3，5 C．3，3，6 D．2，2，4 【答案】C 【分析】根据题意可知，三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，再根据三角形的面积，分别计算出各个选项中围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题． 【详解】解：当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是； 当选取的三块纸片的面积分别是2，4，6时，围成的直角三角形的面积是； 当选取的三块纸片的面积分别是3，3，6时，围成的三角形面积是； 当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是， ∵， 因为当选取2，3，4；2，3，6；3，4，5；4，5，6；四种情况时，都不能构成直角三角形， ∴要使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是3，3，6． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答． 5．如图，在边长为4的等边中，D 是的中点，点E在线段上，连接，在的下方作等边，连接，当最小时，的长度为（     ）． A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】连接，证得，通过全等的性质，再利用点到线的距离垂线段最短以及勾股定理进行计算即可得出答案． 【详解】解：连接 等边边长为4，D 是的中点，， ，，， 在和中， ， ，， 当最小时，， 此时， 在中， 故选：C 【点睛】本题考查了等边三角形、全等三角形的判定和性质，以及直角三角形角的性质和勾股定理，牢固掌握这些性质是解题的关键． 6．如图，把平面内一条数轴x绕点O逆时针旋转角（）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P是平面斜坐标系中任意一点，过点P作y轴的平行线交x轴于点A，过点P作x轴的平行线交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对为点P的斜坐标．在平面斜坐标系中，若，点P的斜坐标为，点G的斜坐标为，连接，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，PA∥y轴交x轴于A，作GM∥x轴交PA的延长线于M，PN⊥MG交MG于N，连接PG．根据题意得到PA＝2，OA＝1，MG＝8－1＝7， AM＝3，再根据勾股定理求出MN的值，即可再根据勾股定理得到线段PG的长度． 【详解】如图，PA∥y轴交x轴于A，作GM∥x轴交PA的延长线于M，PN⊥MG交MG于N，连接PG． 由题意可知，点P的斜坐标为，点G的斜坐标为， ∴PA＝2，OA＝1，MG＝8－1＝7， AM＝3， ∴PM＝2＋3＝5， ∵PA∥y轴，GM∥x轴 ∴∠PMN＝∠1＝∠ROA＝， 又∵PN⊥MG ∴， ∴，即， 解得或（舍去） ∴ ∴ ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，理解题意，找准线段的长是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共18分） 7．如图，正方形OABC的边OC落在数轴上，点C表示的数为1，点P表示的数为﹣1，以P点为圆心，PB长为半径作圆弧与数轴交于点D，则点D表示的数为 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出PB的长，即PD的长，再根据两点间的距离公式求出点D对应的数． 【详解】由勾股定理知：PB＝ ＝＝， ∴PD＝, ∴点D表示的数为﹣1. 故答案是：﹣1. 【点睛】此题考查勾股定理及圆的半径、数轴等知识，结合各知识点熟练运用是解题关键. 8．《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是 尺． 【答案】12 【分析】本题考查勾股定理的应用，能够在实际问题中找到直角三角形并应用勾股定理是解决本题的关键． 将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知尺，设水深尺，则芦苇长尺，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【详解】解：设水深x尺，则芦苇长尺， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故水深12尺，芦苇长13尺， 故答案为：12． 9．如图，某风景区的沿湖公路AB=3千米，BC=4千米，CD=12千米，AD=13千米，其中AB^BC，图中阴影是草地，其余是水面．那么乘游艇游点C出发，行进速度为每小时11千米，到达对岸AD最少要用 小时． 【答案】0.4 【分析】连接AC，在直角△ABC中，已知AB，BC可以求AC，根据AC，CD，AD的长度符合勾股定理确定AC⊥CD，则可计算△ACD的面积，又因为△ACD的面积可以根据AD边和AD边上的高求得，故根据△ACD的面积可以求得C到AD的最短距离，即△ACD中AD边上的高． 【详解】解：连接AC， 在直角△ABC中，AB=3km，BC=4km，则AC==5km， ∵CD=12km，AD=13km，故存在AD2=AC2+CD2 ∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°， ∴△ACD的面积为×AC×CD=30km2， ∵AD=13km，∴AD边上的高，即C到AD的最短距离为km， 游艇的速度为11km/小时， 需要时间为小时=0.4小时． 故答案为 0.4． 点睛： 本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了直角三角形面积计算公式，本题中证明△ACD是直角三角形是解题的关键． 10．将一副三角板和如图（1）放置，其中，，，与共线，将沿方向平移，当经过的中点时，直线交于点[如图（2）]，若，则此时线段的长度为 ．    【答案】 【分析】过 作 于 ，，，，得出，根据所对直角边等于斜边的一半得出，由点是的中点，得出，再根据勾股定理即可得； 【详解】∵， 点是的中点， 过 作 于 ，    故答案为： 【点睛】该题主要考查了直角三角形所对直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识点，解答的关键是掌握这些知识点并能够熟练运用 11．如图，在中，，，，现将拓展为等腰，且使得点在射线上，则的长为 ． 【答案】或或 【分析】是直角三角形，要把拓展成等腰，因为等腰三角形是有两条边相等的三角形，所以本题需要分三种情况考虑：当时，当时，当时． 【详解】解：在中，，，， ， 若将拓展为等腰， 当时，如下图所示， 则有， 又， ； 当时，如下图所示， 在和中 ， ， ； 当时，如下图所示， ， ， ， 两边同时平方得：， 解得：． 故答案为：或或 【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握利用方程根据勾股定理建立方程求解以及进行全面思考、分类讨论是解题的关键. 12．如图，在中，已知：，，，动点从点出发，沿射线以4cm/s的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当为等腰三角形时，的值为 ． 【答案】或或4 【分析】根据勾股定理先求出的长，再分三种情况：当时，当时，当时，分别进行讨论即可得到答案． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， 为等腰三角形， 当时，如图所示， 则， 即， 当时，如图所示， 则， 当时，如图所示，设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ∴， 综上所述：的值为或或， 故答案为：或或4． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，运用分类讨论的思想是解题的关键． 三、解答题（13-17每题6分，18-20每题8分，21-22题9分，23题12分，共18分） 13．如图，已知，且，，，求A、F两点间的距离． 【答案】20 【分析】过点F作FG⊥AB，交延长线于点G，分别求出的两条直角边的长，再根据勾股定理解答即可． 【详解】过点F作FG⊥AB，交AB的延长线于点G，如下图所示， ∵，且，， ∴， ∵， ∴， ∵FG⊥AB， ∴ 在中， ． ∴A、F两点间的距离为20． 【点睛】本题考查了构造直角三角形运用勾股定理计算线段的长度，作辅助线构造直角三角形是本题的关键． 14．某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图    测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为15米． ②根据手中剩余线的长度计算出了风筝拉线的长为17米． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米． 数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务： (1)根据上述信息，求风筝离地面的垂直高度． (2)如果小明想要风筝沿方向再上升12米，BC长度不变，则他应该再放出多少米风筝拉线？ 【答案】(1)9.7米； (2)8米 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ， 又米，米， 米， 答：线段的长为9.7米； （2）∵风筝沿方向再上升12米后，米， ∴此时风筝线的长为：（米）， ∴风筝应该放出线的长度为：米， 答：他应该再放出8米线． 15．在中，，的对边长分别为a，b，c，设的面积为S，周长为l． a，b，c 3，4，5 2 5，12，13 4 p 8，15，17 6 q (1)填表：表格中的＿＿＿＿，＿＿＿＿； (2)设，观察上表猜想：＿＿＿＿（用含有m的代数式表示）； (3)说出（2）中结论成立的理由． 【答案】(1)1， (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，数字类的规律探索： （1）分别计算出对应三角形的面积和周长即可得到答案； （2）观察所给的三组数据可知，据此可得答案； （3）根据三角形周长公式得到，进而可得，由勾股定理可得，则，再由三角形面积公式即可证明结论． 【详解】（1）解：由题意得，， ， 故答案为：1，； （2）解：时，， 时， 时，， ……， 以此类推可得，，即， 故答案为：； （3）证明：，， ， ∵在中，， ， ， 又∵在中，， ， ， ． 16．如图，点O是等边三角形内一点，将绕点C顺时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质就可以证明； （2）先证出是等边三角形，又根据，得出，再根据勾股定理的逆定理得出，等量代换得出． 【详解】（1）∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，，... 在和中， ，，， ∴， ∴.. （2）∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键． 17．如图，某船以每小时海里的速度向正东方向航行，在点测得某岛在北偏东方向上，且距点海里，航行半小时后到达点，此时测得该岛在北偏东方向上，已知该岛周围海里内有暗礁． (1)问点是否在暗礁区域外？ (2)若继续向正东航行，有无触礁危险？请说明理由． 【答案】(1)点在暗礁区域外 (2)有触礁危险，理由见解析 【分析】（1）过点作，垂足为，设，利用含角的直角三角形特征及勾股定理表示出，，，再结合某岛在北偏东方向上，且距点海里，即可求出的值，比较即可得到结果； （2）求出的长，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为，设， 在中，， ，， 在中，， ， ， ， 点在暗礁区域外； （2）， ， 若继续向正东航行，有触礁危险． 【点睛】本题考查的是方向角问题，勾股定理，正确标注方向角、熟记含角的直角三角形特征是解题的关键． 18．【原题再现】在学习“图形的平移和旋转”时，教材上有这样一道题，如图1，点D在等边三角形的边上，将绕点A旋转，使得旋转后点B的对应点为点C．小明是这样做的：过点C画的平行线l，在l上截取，连接，则即为旋转后的图形． （1）请你根据小明的思路，①求证：；②求的度数； 【方法应用】 （2）如图2，点D为等边三角形的边下方一点，连接，，，若，，求面积的最小值． 【答案】（1）①见解析；②；（2） 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质： （1）①由等边三角形的性质得到，，由平行线的性质得到，据此即可证明；②由全等三角形的性质得到，据此根据角之间的关系求解即可； （2）延长到点，使，可证明，进一步证明是等边三角形，要使的面积最小，即等边三角形的边长最短时面积最小，即当为等边的高线时才会最短，从而可得出结论； 【详解】解：（1）①三角形是等边三角形， ，， ， ， ， ， ②由①得：， ， ； （2）如图，延长到点，使．   是等边三角形， ，． ， ， ． ， ， ∴， ， ∵ ， 是等边三角形． 要使的面积最小，即等边三角形的边长最短时面积最小， 即当为等边的高线时才会最短， 由题意可知等边的高线最短为， ∴ 的面积最小值是． 19．（1）如图，三个正方形围成了一个直角三角形，三个正方形的面积分别为，若，则___________   （2）如图，在中，，分别以为边在外侧作等边三角形，则之间的关系为___________ （3）①如图，在中，，分别以为边在外侧作等腰直角三角形，则（2）中的关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由． ②如图，在五边形中，，连接．求五边形的面积． 【答案】（1）625；（2）；（3）①成立，见解析，②19 【分析】（1）根据勾股定理，即可求解； （2）分别过点A，E，F作，垂足分别为M，H，N，设，根据勾股定理，可得，再由等边三角形和勾股定理可得，，即可求解； （3）在上截取，连接，可得，根据勾股定理，可得，再由，可得，，，再由勾股定理，可得，进而得到，再分别求出，，即可求解． 【详解】解：（1）如图， ∵三个正方形围成了一个直角三角形， ∴， ∵， ∴； 故答案为： （2）如图，分别过点A，E，F作，垂足分别为M，H，N， 设， ∵， ∴，即， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （3）如图，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴五边形的面积为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，等边三角形的性质，二次根式的乘法，熟练掌握勾股定理的应用，等边三角形的性质是解题的关键． 20．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： （1）【提出问题】已知，求的最小值 （2）【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】    ①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段__________线段__________； ②在（1）的条件下，已知，求的最小值； （3）【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值． 【答案】[解决问题]①、；②；[应用拓展] 【分析】[解决问题]①根据题意，设，则．将和转化为、，即可求解； ②如图，作点关于的对称点，连接交于点P，最小，根据勾股定理求得的长，即可求解； [应用拓展] 在矩形的基础上，构建，连接、，设，，，，勾股定理分别求得，进而根据当、、共线时，最大，勾股定理，即可求解． 【详解】[解决问题]①解：由题意得，， 故答案为：、；      ②如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P，    此时，最小，即和最小， 由题意得：，， 则， 即的最小值为：；      [应用拓展] 如图，在矩形的基础上，构建，连接、，设，，，，    则， ， 当、、共线时，最大，即最大， 且的最大值， 即的最大值为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，应用数形结合思想，熟练掌握勾股定理，将问题进行转化是解题的关键． 21．如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙．他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作. （1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽______米； （2）当盼盼在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽； （3）当盼盼在丙房间时，测得米，且，. ①求的度数； ②求丙房间的宽. 【答案】（1）3.2；（2）3.1米；（3）①60°；②2.8米． 【分析】（1）根据勾股定理求出MP，即可求出AB； （2）根据勾股定理求出AP，根据等角替换证明，即可求出乙房间的宽； （3））①根据平角的定义即可求出∠MPN=60°； ②根据PM=PN以及∠MPN的度数可得到△PMN为等边三角形．利用三角形全等即可求出丙房间的宽． 【详解】（1）∵，，∴， ∴BP=MP ∴米. （2）∵，，∴. ∵， ∴， ∵， ∴. 在与中，     ， ∴， ∴，， ∴米. （3）①； ②过点作的垂线，垂足为点，连接. ∵梯子的倾斜角，， ∴为等腰直角三角形， ∵，， ∴为等边三角形，. ∵， ∴. ， ∴， ∴米． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，解直角三角形的应用，根据PM=PN以及∠MPN的度数得到△PMN为等边三角形是解题的关键． 22．我们定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”． 如图1，四边形中，，，则四边形叫做“等补四边形”． 【概念理解】 （1）①在等补四边形中，若，则______； ②在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是______． A．平行四边形    B．菱形    C．矩形    D．正方形 【性质探究】 （2）如图1，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． 【知识运用】 （3）如图2，在四边形中，平分，，． 求证：四边形是等补四边形． 【拓展应用】 （4）将斜边相等的两块三角板按如图3放置，其中含角的三角板的斜边与含角的三角板的斜边重合，、位于的两侧，其中，若，连接，则的长为______． 【答案】（1）①130；②D；（2）平分，理由见解析；（3）证明见解析；（4） 【分析】（1）①由四边形等补四边形及等补四边形的定义得，因为，所以； ②在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，符合等补四边形的定义，即可得到问题的答案； （2）作于点E，交的延长线于点F，由四边形是等补四边形得，而，所以，可证明，得，再根据直角三角形全等的判定定理“”证明，得，所以平分； （3）在上截取，连接，证明，得，，而，所以，所以，则，即可证明四边形是等补四边形； （4）于点H，则，先证明四边形是等补四边形，由（2）得，则，，再证明，由得，根据勾股定理求出的长，即可求得的长． 【详解】解：（1）①∵四边形等补四边形，， ∴， ∴， 故答案为：130． ②在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，只有正方形的邻边相等且对角互补， ∴正方形是等补四边形， 故选：D． （2）平分， 理由：如图，作于点E，交的延长线于点F， ∵四边形是等补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． （3）证明：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是等补四边形． （4）作于点，则， ∵，， ∴， ∴四边形是等补四边形， 由（2）得，平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、同角或等角的补角相等、新定义问题的求解等知识与方法，正确地作添加辅助线是解题的关键． 23．综合与实践 问题情境 数学活动课上，老师发给每名同学一个等腰三角形纸片，，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论． 问题发现 奋进小组在边上取一点D，连接，将这个纸片沿翻折，点A的对应点为E，如图1所示． 如图2，小明发现，当点E落在边上时，． 如图3，小红发现，当点D是的中点时，连接，若已知和的长，则可求的长． … 问题提出与解决 奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1，请你解答． 问题1：在中，，点D是边上的一点，将沿翻折得到． （1）如图2，当点E在边上时，，图中的度数为 ． （2）如图2，当点E在边上时，求证：． （3）如图3，当点D是的中点时，连接，若，求的长． 拓展延伸 小刚受到探究过程的启发，将等腰三角形的顶角改为锐角，尝试画图，请你解答． 问题2：如图4，点D是外一点，，求的长．    【答案】问题1：（1）；（2）见解析；（3）；问题2： 【分析】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握折叠的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键． 问题1：（1）根据折叠的性质及平角的定义即可解答； （2）根据折叠的性质及等边对等角即可得证； （3）如图：作于G，作于F，根据折叠的性质，证明，利用勾股定理即可解答； 问题2：如图：连接，作于E，作交的延长线于F，证明四边形是矩形，再利用勾股定理即可解答． 【详解】问题1：（1）解：∵将沿翻折得到． ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （2）证明：∵将沿翻折得到． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，作于G，    ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴； 问题2：解：如图，连接，作，      ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 试卷第2页，共34页 2 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $$