第17章勾股定理暑期巩固提升训练题2024-2025学年人教版八年级数学下册

第17章勾股定理 暑期巩固提升训练题 一、单选题 1．在下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．4，5，6 2．在中，的对边分别为a，b，c，下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，、、，，点是四边形边上的一个动点，若点到的距离为，则点P的位置有(　　) A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 4．如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，梯子底端B到墙底部O的距离为，如果将梯子顶端A沿墙下滑到C处，梯子底端B将外移的距离为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，的垂直平分线分别交于点E、D，连接，、，的周长为16，则的周长为（   ） A． B．22 C． D．26 6．如图是由正方形和直角三角形组成的，若正方形B，C的面积都为4，则正方形A的边长是（   ） A．2 B．4 C． D．8 7．如图，在中，，，，是边上一动点，将沿折叠，点落在处，设，当落在的内部时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在等边中，延长到点，连接，若，若，，则的长为（    ） A． B． C． D．3 9．如图，中，已知，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧分别相交于两点，画直线分别与边相交于点，连接．则线段的长为（    ） A．1 B． C． D．3 10．如图，在中，，点在上，点在线段的延长线上，且，连接与相交于点．若，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 二、填空题 11．如图，在中，，，，则 ． 12．如图，分别以的三边为边长在直线的同侧作等边、等边、等边．若，，，四边形的面积是 ． 13．如图，中，，以的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别记作，若，则的值为 ． 14．如图，在中，，点D，E分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为，点刚好落在边上．图中与线段相等的线段是 ；若，，则的长为 ． 15．如图，已知为等边三角形，，D为中点，E为直线上一点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为 ． 三、解答题 16．如图，在中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为．已知，，，，求证：． 17．如图，在的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知点． (1)在平面直角坐标系中描出点； (2)填空：__________，__________； (3)判断的形状，并说明理由． 18．如图，在中，于E，且. (1)求证：； (2)若于D，F为中点，与分别交于点G，H． ①判断线段与相等吗？请说明理由； ②求证：． 19．如图，亮亮与洋洋分别住在M、Q两个不同的城市，他们约好一起去景区A地旅游，洋洋家在Q地，亮亮家所在的M地在Q地的南偏东方向的千米处，亮亮乘大巴从M地出发，导航显示大巴沿北偏东方向，以平均70千米/小时的速度行驶，10分钟后，洋洋乘出租车从Q地出发，导航显示沿北偏东的方向匀速行驶，亮亮与洋洋两同学同时到达景区A地． (1)亮亮同学从M地出发到达景区A地用了多长时间？ (2)求洋洋同学乘出租车的速度．（结果保留根号） 20．在 中， 点E在上，． (1)如图1， 求证： 是直角三角形； (2)如图2， 是 的角平分线，过点E 作的垂线，垂足为点G，交于点F，交延长线于点H，K是上一点， ，求证：； (3)如图3， 在（2）的条件下， M 是的中点，连接， 过C作交 的延长线于点 N， 求线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第17章勾股定理 暑期巩固提升训练题2024-2025学年人教版八年级数学下册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D A B C D B C A 1．C 【分析】本题考查了勾股数的知识，判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不是勾股数，故本选项不符合题意； B、，不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，是勾股数，故本选项符合题意； D、，不是勾股数，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理．根据角之间的关系和三角形内角和定理分别求出三角形的三个内角判断三角形是否直角三角形，或者根据三角形三边的关系利用勾股定理逆定理判断三角形是否直角三角形，即可求解． 【详解】解：A．时，，能判定为直角三角形； B．时，，不能判定为直角三角形； C．，，能判定为直角三角形； D．，则，能判定为直角三角形； 故选B． 3．D 【分析】本题考查勾股定理，解答本题的关键是求出满足条件的点所在的位置．根据勾股定理，可以求得、、和的长，然后即可得到点到的距离和点到的距离，从而可以得到满足条件的点有几处，本题得以解决． 【详解】解：，，， ，， 在中，斜边上的高是：， ，，， ， 在中，斜边上的高是：， ，点是四边形边上的一个动点，点到的距离为， 点的位置在、、、上都可以，即满足条件的点有处， 故选：D． 4．A 【分析】本题主要考查了勾股定理的利用，根据题意可知：，，，，先利用勾股定理求出，进而得出，再利用勾股定理得出，最后根据求解即可． 【详解】解：根据题意可知：，，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故选：A 5．B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理．根据线段垂直平分线的性质可得，，再由的周长为16，可得，再由直角三角形的性质可得，然后根据勾股定理可得，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交于点E、D， ∴，， ∵的周长为16， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：B 6．C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，化为最简二次根式，根据勾股定理得，再进一步计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵B，C的面积都为4， ∴正方形A的面积为， ∴正方形A的边长为， 故选：C． 7．D 【分析】当时，点落在上时，此时，当落在上时，得到解答即可． 本题考查了折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：过点C作于点E， ∵，，， ∴，， ∴当P与点E时重合时，点落在上时，此时， ∴当落在上时，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8．B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形，等腰直角三角形，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 先根据等边三角形的性质得出，即可证得是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求出，再在中利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得， 即， 解得， ∴， 故选：B． 9．C 【分析】本题考查勾股定理，垂直平分线的作法及性质，由作图知垂直平分，设，则，由勾股定理解即可． 【详解】解：中， ，，， ， 由作图知垂直平分， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 即线段的长为， 故选C． 10．A 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理的应用，掌握相关知识点是解题的关键．如图，过作于，证明，，可得，结合，可得，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过作于， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 11．4 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．在中，利用勾股定理，进行计算即可解答． 【详解】解：在中，，，， 故答案为：4 12．6 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，过点F作于M，可证明，则由勾股定理的逆定理可得，由等边三角形的性质可得，则可证明，得到，求出，得到；同理可证明，得到，再证明，得到四边形是平行四边形，则． 【详解】解；如图所示，过点F作于M， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理可证明， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：6． 13．25 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理定理可知：，结合，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵以的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别记作， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：25 14． 3 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．设，则，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知， 设，则， ∵，， ∴，即， 解得， 故答案为：；3． 15．/ 【分析】过点D作于点M，点F作于点N，分①点E在点B的左侧时，②点E在点B的右侧时，③点N与点D重合三种情况讨论，都可以得到，重合得到点F在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行，再根据垂线段最短可知：当点N与点A重合时，最小，重合得解． 【详解】解：过点D作于点M，过点F作于点N， ∵为等边三角形， ∴， 又∵， ∴ 又∵，D为中点， ∴， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ①当点E在点B的左侧时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵，，， ∴ ∴， ∴此时，点F在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行， ②当点E在点B的右侧时，作图如下： ∵，， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵，，， ∴ ∴， ∴此时，点F在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行， ③当点与点重合时，作图如下： 由图可知：， ∴此时，点F在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行， 综上所述：点F在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行． 根据垂线段最短可知：当点N与点A重合时，最小， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，推断出“点F在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行”是解题的关键． 16．见解析 【分析】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理求出，进而推出，据此即可得出结论． 【详解】证明：， ， ，， ， ，，，， ， 是直角三角形，且为直角， ． 17．(1)详见解析 (2)； (3)是等腰直角三角形，详见解析 【分析】本题考查坐标系中描点，勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理和逆定理，是解题的关键： （1）根据点的坐标，描点即可； （2）勾股定理进行求解即可； （3）利用勾股定理和逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，描点如下： （2）解：由勾股定理，得：； 故答案为：； （3）解：∵，由（2）知：，且   ∴，， ∴是等腰直角三角形． 18．(1)见解析 (2)①，理由见解析；②见解析 【分析】（1）利用证明即可； （2）①利用证明即可； ②连接，由①知，，F为的中点，则垂直平分，从而有； 由及（1）知，得；在中，由勾股定理即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴； 在与中，， ∴， ∴； （2）①解：，理由如下： ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在和中，， ∴， ∴； ②证明：如图，连接，由①知，； ∵F为的中点， ∴垂直平分， ∴； ∵，由（1）知 ∴； 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． 19．(1)1小时 (2)千米/小时 【分析】（1）由题意得千米， ．，由三角形内角和定理得出，过点M作，垂足为D，由等腰直角三角形的性质和含30度直角三角形的性质得出 ，，然后根据时间等于路程除以速度求解即可． （2）利用勾股定理求出，再求出，然后根据路程除以时间即可求出速速． 【详解】（1）解：由题意得千米， ．， ∴， 过点M作，垂足为D．如图∶ 则，， ∴， ∵，即， ∴千米， ∴千米， 则亮亮同学从M地出发到达景区A地用小时． （2）解：在中， 千米， ∴千米， ∴千米/小时， 则洋洋同学乘出租车的速度为千米/小时． 【点睛】本题主要考查了方向角的相关计算，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 20．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得，再利用三角形内角和定理即可求出，进而得到结论； （2）设，由（1）可得，再根据垂线的定义结合三角形内角和定理求出，即可求出，由三角形内角和定理求出，再结合点 ，求出，即可证明结论； （3）先证明，推出，求出，，利用勾股定理求出，进而求出，，；再证明，推出，，设，利用，求出，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； （2）证明：∵ 是 的角平分线， ∴， 设， ∴， 由（1）可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，过点F作，垂足为F，交于点T，连接， ∵， ∴， ∵， M 是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴，， ∴，； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形、等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理，有一定难度，通过作辅助线构建全等三角形与等腰三角形是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$