第十七章 勾股定理（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（江西专用，人教版）

第十七章 勾股定理（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、单选题（每题3分，共18分） 1．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（    ） A．2，3，4 B．1，， C．，， D．，，8 2．点到原点的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．以上都不对 3．在中， ，，，则点C 到斜边的距离是（    ） A． B． C．9 D．6 4．如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何东西只要移至该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？(　　) A．4米 B．3米 C．5米 D．7米 5．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，则（   ） A．76 B．54 C．62 D．81 6．如图1，在中，，，将放置在平面直角坐标系中，使点A与原点重合，点C在x轴正半轴上．将按如图2方式顺时针滚动（无滑动），则滚动次后，点B的横坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 7．如图所示，已知，，数轴上点表示的数的值是 ． 8．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，那么原处还有 尺高的竹子． 9．中，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交、于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点D，已知，的面积为40，则 ． 10．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ． 11．如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为 ． 12．如图，中，，，，点和点在上，且．点从点出发，以的速度向点运动，到达点后停止，当的边和平行时，点F的运动时间是 秒． 三、解答题（13-17每题6分，18-20每题8分，21-22题9分，23题12分，共18分） 13．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点.求的度数.    14．作图 (1)在图中作出关于轴对称的图形； (2)在图中第四象限作出，使得其三边长度分别为、、． 15．如图，等腰三角形中，，且，． (1)求的长； (2)求的面积． 16．如图，在一条笔直的公路l旁边有A，B两个村庄，A村庄到公路l的距离，B村庄到公路l的距离，现要在之间建一个加油站E，使得A，B两村庄到加油站E的距离相等．    (1)若，试说明：； (2)若C，D两点间的距离为，求C，E两点间的距离． 17．某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 18．如图①，圆柱的底面直径为，高，蚂蚁在圆柱侧面爬行，探究蚂蚁从点爬到点的最短路径长多少厘米： (1)图②是将圆柱侧面沿裁剪后展开形成的四边形，点在线段上，求的长（取3）； (2)在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径，并求出最短路径的长度． 19．立德朝阳中学的小花，准备假期和父母出去旅游，于是在网上购买了一个行旅拉杆箱，如图，图分别是拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆、箱长、拉杆的长度都相等，即，点在线段上，点在上，支杆．    (1)当与点重合，时，是什么三角形． (2)当时，求的长． 20．如图①，直角三角形的两条直角边长分别是a，，斜边长为c．                (1)探究：用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）． ①小正方形的边长为c，大正方形的边长为____________________________________； ②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式________________________，整理得__________________，从而验证勾股定理； (2)应用：将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理． 21．如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米． (1)求A、C之间的距离； (2)求这块四边形空地的面积； (3)若种植草皮费用为5元/平米，则种植草皮的总费用为 元． ， 22．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A、B、C三点的坐标分别为，，，且有．一动点P从点B出发，以每秒2单位长度的速度沿射线方向匀速运动，设点P运动的时间为t秒． (1)求A，C两点的坐标； (2)连接，若为等腰三角形，求点P的坐标； (3)当点P在线段上运动时，在y轴的正半轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，请求出t的值并直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 23．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； 【深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长(注：长方形的对边平行且相等)； 【拓展延伸】 (3)如图3，在长方形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长(注：长方形的对边平行且相等)． 试卷第22页，共23页 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 勾股定理（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、单选题（每题3分，共18分） 1．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（    ） A．2，3，4 B．1，， C．，， D．，，8 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算分析，从而得到答案． 本题考查了勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形． 【详解】A．因为，不符合勾股定理的逆定理，不符合题意； B．，符合勾股定理的逆定理，符合题意； C．，不符合勾股定理的逆定理，不符合题意； D．，不符合勾股定理的逆定理，不符合题意； 故选B． 2．点到原点的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．以上都不对 【答案】C 【分析】在平面直角坐标系里构造直角三角形,根据勾股定理可得坐标系里任意一点到原点的距离公式,运用公式计算即可. 【详解】解:点到原点的距离. 【点睛】本题主要考查在平面直角坐标系里用勾股定理求任意一点到原点的距离,构造直角三角形并灵活运用勾股定理是解答关键. 3．在中， ，，，则点C 到斜边的距离是（    ） A． B． C．9 D．6 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，等积法求线段的长度．熟练掌握勾股定理，是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，等积法求出点C到斜边的距离即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 设点C到斜边的距离是， 则：，即：， ∴； ∴点C到斜边的距离是． 故选B． 4．如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何东西只要移至该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？(　　) A．4米 B．3米 C．5米 D．7米 【答案】A 【分析】根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理解答． 【详解】由题意可知，BE＝CD＝1.5 m，AE＝AB－BE＝4.5－1.5＝3  m，AC＝5  m， 由勾股定理，得CE＝＝4 m， 故离门4米远的地方，灯刚好发光， 故选A. 【点睛】本题考查勾股定理的应用. 5．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，则（   ） A．76 B．54 C．62 D．81 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，连接，根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：连接，则由勾股定理，得：， ∴， ∴， 故选C． 6．如图1，在中，，，将放置在平面直角坐标系中，使点A与原点重合，点C在x轴正半轴上．将按如图2方式顺时针滚动（无滑动），则滚动次后，点B的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，点坐标的规律探究．根据题意确定点坐标的规律是解题的关键． 由勾股定理得，，则的周长为，由题意知，滚动第1次，点的横坐标增加2，滚动第2次，点的横坐标不变，滚动第3次，点的横坐标增加，且每滚动3次，点的横坐标增加，由，可知滚动次后，点B的横坐标为，计算求解即可． 【详解】解：∵，， 由勾股定理得，， ∴的周长为， 由题意知，滚动第1次，点的横坐标增加2，滚动第2次，点的横坐标不变，滚动第3次，点的横坐标增加，且每滚动3次，点的横坐标增加， ∵， ∴滚动次后，点B的横坐标为， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共18分） 7．如图所示，已知，，数轴上点表示的数的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，根据勾股定理求出长度即可，正确理解实数与数轴是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知， ∵， ∴， ∴， ∴数轴上点表示的数的值是， 故答案为：． 8．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，那么原处还有 尺高的竹子． 【答案】 【分析】设AC=x尺，则AB=(10-x)尺，根据勾股定理得，即，计算即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 由题意得BC=3尺，AB+AC=10尺， 设AC=x尺，则AB=(10-x)尺， ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，， ∴， 解得x=， ∴原处还有尺高的竹子． 故答案为：． 【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解图形中各线段的长度构建等式是解题的关键． 9．中，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交、于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点D，已知，的面积为40，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了角平分线的性质、勾股定理，根据作法得平分，进而可得，再利用勾股定理得，进而可求解，熟练掌握角平分线的作法是解题的关键． 【详解】解：过点作，如图： 根据作法得：平分， ，即：， ， 在中，，，， ， ， 的面积为40， ， 解得：， 故答案为：16． 10．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ． 【答案】76 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个即风车的外围周长． 【详解】解：依题意，可得“数学风车”中的四个大直角三角形的两条直角边长分别为5和12， “数学风车”中的四个大直角三角形的斜边长为：， 这个风车的外围周长是， 故答案为：76． 11．如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为 ． 【答案】// 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理的逆定理即勾股定理的应用，连接，先证明是直角三角形，且，再证明是的垂直平分线，得到，设，则，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接， ，，， ，，， ， 是直角三角形，且， 由折叠的性质得：， 顶点B恰好与点A重合， ， 是的垂直平分线， ， 设，则， 在中， ， , ， 故答案为：． 12．如图，中，，，，点和点在上，且．点从点出发，以的速度向点运动，到达点后停止，当的边和平行时，点F的运动时间是 秒． 【答案】4或20 【分析】本题考查了由运动形成的直角三角形，解直角三角形．解题的关键是分两种情况讨论，针对每种情况画出图形、求解． 过点和点作垂线，分别交于点、点，易得当点运动到点或点时，的边和平行，即可求出点F的运动时间． 【详解】 解：如图，过点和点作垂线，分别交于点、点， 则点运动到点或点时，的边和平行， 、为角直角三角形， ， 则， ，， 点F的运动时间，， 答：点F的运动时间为4或20秒． 三、解答题（13-17每题6分，18-20每题8分，21-22题9分，23题12分，共18分） 13．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点.求的度数.    【答案】 【分析】本题考查勾股定理在网格中的应用，根据勾股定理算出、、，得到，，再结合勾股定理逆定理判断为直角三角形，最后利用等腰三角形性质，即可解题． 【详解】解：由题知，， ， ， ，， ，为直角三角形，即， ． 14．作图 (1)在图中作出关于轴对称的图形； (2)在图中第四象限作出，使得其三边长度分别为、、． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查作轴对称图形及勾股定理与网格； （1）分别得出点A、B、C关于y轴的对称点，然后连线即可； （2）作出直角边分别为1和2的两个直角三角形，以及一个直角边为1和3的直角三角形，即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，即为所作． 15．如图，等腰三角形中，，且，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是勾股定理，本题关键在于设出未知数，借助勾股定理列方程求解． （1）在中，设，，由勾股定理列方程，解出x，即可求出； （2）根据三角形的面积公式即可求出结论． 【详解】（1）解：在中，设，， 则， 解得：， ∴． （2）解：． 16．如图，在一条笔直的公路l旁边有A，B两个村庄，A村庄到公路l的距离，B村庄到公路l的距离，现要在之间建一个加油站E，使得A，B两村庄到加油站E的距离相等．    (1)若，试说明：； (2)若C，D两点间的距离为，求C，E两点间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定，以及勾股定理的应用，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）先根据余角的性质证明，然后根据可证； （2）设，则，根据，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ 又∵ ∴ 在在中： ∴ （2）解：设，则 ∵  ， ∴   解得 ∴ 17．某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 【答案】(1) (2)未超速 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中进行解决． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据小汽车用行驶的路程和时间，可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，, 由勾股定理，得， ∴， 故的长为． （2）解：， ∵， ∴这辆小汽车未超速． 18．如图①，圆柱的底面直径为，高，蚂蚁在圆柱侧面爬行，探究蚂蚁从点爬到点的最短路径长多少厘米： (1)图②是将圆柱侧面沿裁剪后展开形成的四边形，点在线段上，求的长（取3）； (2)在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径，并求出最短路径的长度． 【答案】(1)； (2)，图见解析 【分析】本题考查蚂蚁在圆柱侧面爬行最短路径问题，涉及圆柱侧面展开图、圆周长公式、两点之间线段最短及勾股定理求线段长，根据问题，作出图形求解是解决问题的关键． （1）根据的长为圆柱底面圆的周长，利用圆周长公式代值求解即可得到答案； （2）由两点之间线段最短即可得到最短路径为线段，作出图形，再利用勾股定理求解即可得到最短路径的长度． 【详解】（1）解：由圆柱的侧面展开图可知，的长为圆柱底面圆的周长， 圆柱的底面直径为， ； （2）解：如图所示： 由两点之间线段最短即可得到最短路径为线段， 由（1）知，高， ， 在中，由勾股定理可得． 19．立德朝阳中学的小花，准备假期和父母出去旅游，于是在网上购买了一个行旅拉杆箱，如图，图分别是拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆、箱长、拉杆的长度都相等，即，点在线段上，点在上，支杆．    (1)当与点重合，时，是什么三角形． (2)当时，求的长． 【答案】(1)是直角三角形； (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）过点作，垂足为，根据题意可得，然后在中，利用勾股定理求出，的长，再在中，利用勾股定理求出的长，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵与点重合， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：过点作，垂足为，    ∵， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴, ∴， ∵即， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴的长为（． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 20．如图①，直角三角形的两条直角边长分别是a，，斜边长为c．                (1)探究：用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）． ①小正方形的边长为c，大正方形的边长为____________________________________； ②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式________________________，整理得__________________，从而验证勾股定理； (2)应用：将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理． 【答案】(1)①；②， (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握利用数形结合的思想，证明勾股定理． （1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可； （2）利用等积法进行证明即可． 【详解】（1）解：①由图和题意可知：大正方形的边长为； 故答案为：； ②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式，整理得； 故答案为：，； （2）用两种不同的方法表示出梯形的面积，可得：， ∴， ∴． 21．如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米． (1)求A、C之间的距离； (2)求这块四边形空地的面积； (3)若种植草皮费用为5元/平米，则种植草皮的总费用为 元． 【答案】(1)米 (2)种植草皮的面积为96平方米 (3)480 【分析】本题考查勾股定理实际应用，勾股定理逆定理，三角形面积公式，有理数乘法等． （1）根据题意连接，继而利用勾股定理列式计算即可得到本题答案； （2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，继而利用三角形面积公式即可得到答案； （3）利用有理数乘法即可得到本题答案． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ∵， ∴， ∴米； （2）解：在中，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴种植草皮的面积为：（平方米）， ∴种植草皮的面积为96平方米； （3）解：∵种植草皮费用为5元/平米， ∴种植此块草皮的费用为：（元）， 故答案为：． 22．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A、B、C三点的坐标分别为，，，且有．一动点P从点B出发，以每秒2单位长度的速度沿射线方向匀速运动，设点P运动的时间为t秒． (1)求A，C两点的坐标； (2)连接，若为等腰三角形，求点P的坐标； (3)当点P在线段上运动时，在y轴的正半轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，请求出t的值并直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为，点C的坐标为 (2)为等腰三角形，点P的坐标为或或或 (3)秒，点的坐标为；秒，点的坐标为 【分析】（1）根据非负数的性质求出m、n的值，然后再求出点A、C的坐标； （2）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别求出点P的坐标即可； （3）分两种情况：当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴点A的坐标为，点C的坐标为； （2）解：由勾股定理得，， 当时，∵， ∴， ∴此时点的坐标为； 当时，点的坐标或； 当时（点在原点左侧），设，则， 在中，， 即， 解得，， 则， ∴点的坐标为； 综上所述，为等腰三角形，点P的坐标为或或或； （3）解：当时，，， ∴， 则秒，点的坐标为； 当时，，， ∴， 则秒，点的坐标为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、非负数的性质等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 23．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； 【深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长(注：长方形的对边平行且相等)； 【拓展延伸】 (3)如图3，在长方形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长(注：长方形的对边平行且相等)． 【答案】(1；(2；(3)的长为或10 【分析】（1）求出，再由折叠的性质得，然后由勾股定理求出的长即可； （2）由长方形的性质得，，，再证，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）分两种情况，①当点在长方形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； ②当点在长方形外部时，折叠的性质得，，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1），， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即的长为； （2）四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； （3）解：四边形是长方形， ，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 则， 分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 同①得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或． 【点评】本题是四边形综合题，考查了长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 试卷第22页，共23页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$