江西省吉安市2024-2025学年高二上学期期末教学质量检测数学试题

吉安市高二上学期期末教学质量检测 2025.1 数学试题 (测试时间：120分钟卷面总分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷 上无效， 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.直线l:x=cos 2025严的倾斜角为 4 A受 B.2025x c D.0 3y2 2.橢圆5十。玉=1《9)的焦点坐标为 A.(±8,0) B.(±4,0) C.(0,±8) D.(0,±4) 3.直线3x+2y一3=0与直线3x+2y=0之间的距离为 得 B得 c晋 D.3I3 13 4已知双曲线号-y=1与双曲线片-若=16>0)的离心率相同，则6 A.2 B.2 C.22 D.8 5.圆C1:x2十y2=4与圆C::(x-2)2+(y-3)2=9的公切线条数为 A.0 B.1 C.2 D.3 6.如图，正四面体ABCD中，E,F分别为BD,CD中点，G为线段EF上一动点，设AG= xAD+yAB+:AC,则x= A.1 B c n号 吉安市高二上学期期末教学质量检测数学试题 第1页共4页 7.春节档将有多部影片上映，小明一行五个人准备在大年初一各自从A,B,C,D四部影片中选 一部去观看.已知每部影片都有人选，且小明没有选影片A,则所有不同的选法种数为 A.72 B.96 C.180 D.288 8.如图，四边形ABCD,AB=BD=DA=2√3，BC=CD=2,现将△ABD沿BD折起，当二面 角ABD-C的值属于区间[子，]时，直线AB和CD所成角为a,则60s。的最大值为 A停 & C②+g 8 8 D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知点P(5,y)在抛物线C:y2=2px(p>0)上，且|PF|=6,其中F为抛物线C的焦点，则 A,抛物线C的准线为x=一1 B.点F的坐标为(2,0) C.lyol=23 D.过点P作PQ⊥x轴于点Q,则△FPQ的面积为45 1已知2：-司) 展开式中二项式系数之和为64，则 A.n=5 B.展开式的各项系数之和是1 C.展开式中第4项的二项式系数最大 D.展开式中常数项为240 11.已知点M(a-3,2),N(a,2),且点P在直线l:x十y+1=0上，下列说法正确的是 A.IIPM一IPN|I的最大值为3 B.若线段MN与直线l有交点，则一3≤a≤0 C.当a=3时，存在点P,使得PM⊥PN D.当a=1时，△PMN周长的最小值为/I7+3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知空间向量a=(2,1,一3)，b=(m,2m+1,3)满足a⊥b,则m十n= 13.已知⊙P过(-1,1)，(7，-3)，(5，-7)三点，则⊙P的面积为 14.已知双曲线C号-若=1a>0.6>0)的左，右焦点分别为R,F,过点R:作：轴的垂线 与双曲线C在第-象限交于点M,0为坐标原点，若M=N,且O示，MF,=0,则双 曲线C的离心率为 吉安市高二上学期期末教学质量检测数学试题第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共7？分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 现有0,1,2,3,4这五个数字，回答下列两个问题。 (1)用这5个数字能够组成多少个无重复数字的五位数？ (2)用这5个数字能够组成多少个无重复数字的五位偶数？ 16.(本小题满分15分) 已知椭圆C,无+1(@>b>0)的右焦点为(2,0)，点(22)在椭圆C上 (1)求椭圆C的标准方程： (2)已知直线1交椭圆C于A,B两点，且线段AB的中点为（一2,1），求直线1的斜率. 17.(本小题满分15分) 已知⊙C的圆心在y轴上，且经过点(3,1)和（一22,2）. (1)求⊙C的标准方程： (2)过点P(1,3)的直线1与⊙C交于A,B两点， ①若引AB|=4√2，求直线1的方程： ②求弦AB最短时直线！的方程. 吉安市高二上学期期末教学质量检测数学试题第3页共4页 18.(本小题满分17分) 在长方体ABCD-A,B,C,D,中，侧面A1ADD1为正方形，AB=2AD=2,E为线段AB(不 包含端点)上一动点，请利用空间向量法解决下列两个问题。 (I)若D,E⊥EC,求AE的长度； (2)求点A到平而D,EC距离的取值范围. D 19.(本小题满分17分) 已知双曲线C:言-y°-1(a>0)的渐近线方程为y-士号，双曲线C的右顶点为M,左 顶点为M:,过点A(2a,0)的直线l与双曲线C的右支交于P,Q两点. (1)若1的斜率存在，求出1斜率的取值范围： (2)探究：k。 心是否为定值，若是，求出该定值：若不是，说明理由（其中kMQk:分别表示 直线M,Q,M:P的斜率)： (3)若直线MzP,M1Q交于点R,且S△kr0≥λS△M,,求实数入的取值范围. 吉安市高二上学期期末教学质量检测数学试题第4页共4页吉安市高二上学期期末教学质量检测 2025.1 数学试题参考答案 题号 2 3 号成+成 答案 A B 0 A B 题号 7 8 9 10 11 ∴G=市+心=A市+气2丽+之心=市 答案 D AD BCD ABD 号-+安C-)=市+1号： 1.【答案】A 2025元 【解析】，直线l:x=eos 2025开为一常数， 店+会心，由空间向量基本定理得x=?y十 故直线的饭斜角为受 7.【答案 2.【答案B 【解析】：小明没有选影片A,,小明有C=3种选 【解析1k<9.“25-k>9一k>0.放25k+g—古 法，其余4个人可以选3部影片或4部影片. =1(使<9)表示焦点在x轴上的椭圆，其半焦距c= 当其余4个人选3部影片时，有CA一36种选法：当 √25-k一(9-k)=4,故其焦点坐标为（士1.0）. 其余4个人选4部影片时，有A=24种选法 3.【答案】D 故共有(36+24)×3=180种不同的选法 【解析】由两条平行直线间的距离公式可得d= 8.【答案D 10-（-3)1-3-313 【解析】取BD中点O,连接AO,CO, √3+2√1313 AB=BD-DA=23.BC=CD=2. 4.【答案】A .CO⊥BD,AO⊥BD,且(CO=1,AO=3,于是 【解行：双曲线号y=1与双信俊兰-若-16 ∠A(OC是二面角A-BDC的平面角， 显然BD⊥平面AOC,在平面AOC内过点O作O:⊥ OC,则BD⊥Ok, 直线OC,OD.O:两两垂直，以)为原点，直线OC (负舍)， OD,O上分别为x轴，y轴，：轴建立如图空间直角坐 5.【答案】C 【解析】圆C1x2+y=4,则圆心C:(0,0),半径r,= 标系。 2.圆C:(x-2)2+(y-3)=9,则圆心C:(2.3),半 径r:=3.侧|CC:|一√2+3=√13.由于1< 13<5,即r:-r|<C,C:|<r1+r:故圆C与 圆C:相交，其公切线条数为2 6.【答案】B 【解析】设E-AE京，A∈[0.1门.由题意可得E元 B(0,-3.0),C(1.0,0),D(0.3,0).设二面角A 7AC=2AD心-之A成， BDC的大小为0.测0e[臣·】 “D心-D成+成-Di+AD心-之Ai 因此A(3cos0.0.3sin0),B=(3cos0,5.3sin0). 吉安市高二上学期期末教学质量检测数学试题参考答案第1页共4项 Ci=(-13.0 大值，最大值为3，故A正确： 于是eosa=|os(Bi,C方)1= BA.CD 由题意可知，线段MN在直线y=2上，直线y=2 IBAIICDI 与直线1：x十y十1=0的交点为(-3,2)， |3-3cos01√311-cos01 当线段MN与直线1有交点时，a-3≤一3≤a,即 23×2 一3≤a≤0，故B正确： 显然co%0∈ 12 a=3.M(0,2).N(3,2),设P(6,-b-1), 22 ,则当c086= 2时，(cosa) PMLPN,则kmkN=二-3.二二3--1 b b-3 8' 去分母整理得2h+3b+9=0,4=3一4×2×9<0. s。的最大值为停 方程无解，故PM与PN不垂直，故C错误： :△PMN的周长为PM|+PN|+MNI 9.【答案】AD 又MN1=3, 【解析】过点P向准线作垂线，垂足为M,由地物线的 ∴.要求△PMN周长的最小值.只需求PM+PN 定义可知PF=PM=5+?=6,解得p=2.则抛 的最小值 2 a=1,.M(-2,2),N(1,2). 物线的方程为y2=4红，准线为直线x=一1.焦点F 设M(一2,2)关于直线1的对称点为M'(m,n), (1,0),故A正确，B错误： n-2 则 m+21, m-2n+2+1=0 解得m一3， n=1, 2 2 即M(-3.1). :.PM +PNI=IPM'+PNI>IM'NI= √(-3-1)+(1-2)F=√17，当且仅当M,P.N 将x=5代人抛物线方程，解得y。=±25，即ya 三点共线时取等号（点P在线段MN之间）， 2√5，故C错误：易知点F(1.0),P(5,士25).即 .△PMN周长的最小值为17+3，故D正确. 1 12.【答案】 1PQ-25.Sam-2×25×(5-1)-45,故 【解析】a⊥b.故(2,1，-3)·(m,2n+1,3)=2m D正确。 十2n一8-0.解得m十n-4. 10.【答案BCD 13.【答案25π 【解析】由题意可知2=64，则=6，故A错误：令x 【解析】设⊙P的方程为x+y2+Dr十Ey+F=0, =1,则X1-）广=1放B正确：“。=6.由三 代入（一1,1），(7，一3)，(5，一7)三点坐标可得 1+1-D十E十F=0, D=-4, 项式系数的性质可知中间项系数最大，即第4项二 49+9+7D-3E+F=0,解方程得E=6, 项式系数最大，放正确：设亿：一) 展开式的 25+49+5D-7E+F=0, F=-12. ∴.⊙P的方程为x2+y-4r+6y一12=0，其标准 通项为T,+1=C(2x)·(一x)=C2·· 方程为(x一2)”十(y十3)2=25，故其面积S=r (-1)'x-"(r∈Z.0≤r≤6)，故当r-2时，常数项 =25r 为C时2=240.故D正确， 11.【答案】ABD .【省案灯 【解析】在△PMN中.IPM一|PNI≤|MN1 3,∴.当P,M,N三点共线时，PM-|PN|取最 【解析】旅圈意，∠MF:F,=9O.M,-仁.M, 吉安市高二上学期期末教学质量检测数学试题参考答案第2页共4项 +2a-:-是NF,故NF, ①当1AB|=4W2时.圆心C到直线1的距离为d= 号g,1- a,由题意.△ONF,∽△MFF, -(-5=1.7分 当直线/的斜率不存在时，直线1的方程为x=1,此 小一甲长品要理可 时，圆心C到直线1的距离为1，合题意，…8分 当直线1的斜率存在时.设直线1的方程为y一3= 。-+1=0.解得=3+5或=3-5（含 2 2 k(x-1),即kr一y+3-k=0, 去)，故=6+1 期-2去一1解得-此 2 √+T√+I 15.解：(1)先排数字0,0只能占除最高位外的其余四个 时，直线1的方程为3r一4y+9=0。…9分 数位，有A种排法，…2分 综上所述，直线1的方程为x-1或3.x一4y+9-0 +*+0小004440…0…10分 博排四个非0数字有A:种，由分步乘法计数原理得 ②当PC⊥AB时，例心C到直线1的距离最大，此 Λ=4X24=96,……5分 时，AB取最小俏，…………12分 .能组成96个无重复数字的五位数.…6分 3-1 1 (2)当个位数字为0时，则可以鉗成=24个无重 =一2…14分 k 复数字的五位偶数，………8分 当个位数字为2或4时，则可以组成CCA:=36个 此时，直线1的方程为y-3一2(x一.即x+ 无重复数字的五位偶数，……………12分 2y一7=0,4**4………”15分 即可以组成24+36=60个无重复数字的五位偶数. 18.解：(1)以D为坐标原点，DA,DC,DD,所在直线为 4444…13分 坐标轴建立如图的空问直角坐标系，设AE=m(0< m<2),则D1(0.0,1),E(1,m.0),C(0.2,0). 4 2 16解：1)由题意，得后十示-1… 解得8， 椭圆C A(1,0,0）,………*……*…分 a2=b2+22. ED=(-1,-m,1),EC=(-1,2-m,0), 的标准方程为 由D,E⊥EC得ED·EC=0,放1+m(m-2)=0, 十=………5分 解得雅=1，故AE=1。…………7分 (2)设A(x1y:),B(xy:),直线1：kx一y+2k十1 一0。……4408分 D y=kxr十2k+1, 联立 消去y得(2k+1)x2+4k(1 4=1, 十2k)x十8k2十8k一6=0，…11分 (2)由(1)可得AC=(-1,2.0),………8分 4k(1+2k 故x1-x:= 1+2k ,故+ 2 =一2，即x1+ 设平面DEC的一个法向量为n=(x,y:),则 4k(1+2k) 一一1，解得k一1。…… n·EDi=-x-my+:=0, 1+2k2 令y=1,则x-2 n·E元--x+(2-m)y=0, m,:一2.可得平面D,EC的一个法向量为n一(2 17.解：(1)设圆心为C(0,a),由题意可得√9+(a一1) 程，1,2)，44*4*4444444444…11分 =√8干（一2）7，解得a=1,……2分 故点A到平面D,EC距离d=n·A亡 n ∴.圆的半径为r=√9+(1一1)F一3，因此，⊙C的标 1 准方程为x2一(y一1)-9.…………5分 ,令1=1 √m-4m+9 (2)由(1)可知，点P在⊙C内部，…6分 91+ 吉安市高二上学期期末教学质量检测数学试题参考答案第3项共4项 (付+）则-后号 业=+2-(r-2-y(my:+2 4……4……16分 因此kne y: y2r1+2)y(my,+6) x:-2 故点A到平面D,FC距离的取值范围为(0，号后) myiy:+2y my1y:十6y 3 3 19解：1由C的渐近线方程为y=士子x可得a=2。 -2y+y)+2y 1 3 3 9。 2y+y:)+6:-2+2 3 …1分 易知直线1的斜率不为0.设P(x1y1).Q(x:y:) 小小+小小4小小小……小+小小…】】分 直线1的方程为上=my十4，……2分 (3)由(2)可知，ku0=一3kwP,设直线M:P与直线 r M1Q的方程分别为y=k,(x+2)y=一3：(r一2)， 联立气一=l得（m-4y+8my+12=0. 联立两直线方程可得交点R的坐标为(1,3k:),… x=my十4. 13分 [△=(8m)2-4(m2-4)×12=16(m2+12)>0. 1 则m-4≠0. SEN四 RP·RQ·sm∠PRQ RP RM 12 y4=m-4<0. 2RM,·RM:·m∠M,RM 解得一2<m<2。………4分 RQ=x-1.-」 RM 3 1 再由斜率太存在以及太一】可，得k的取值范阴为 (my1+3)(my￥十3)my:y:十3m(y1十y:)+9 3 3 (,)(合+）片 一m2一12 m-4 =-1+,16 4一m (2)依题意，M(一2,0)，M:(2.0),山韦达定理可， 8m 12 ≥-1+4-0 16 =3,当且仪当m=0时等号成立，一 y十y=一myym二…6分 于是2my1y:=一3(y1十y生)，…7分 故实数入的取值范围为（一∞，3]。……17分 吉安市高二上学期期末教学质量检测数学试题参考答案第4页共4项