四川省资阳市天立学校2024-2025学年高二上学期数学期末适应性考试卷

资阳天立高二数学上学期期末适应性考试卷 (时间:120分钟 试卷满分:150分) 审核:高二数学备课组 班级: 姓名: 第一部分(选择题 共58分) 一、单项选择题(每小题5分,共40分,请将正确答案的序号填涂在答题卡上) 1.了弘扬体育精神,学校组织秋季运动会,在一项比赛中,学生甲进行了8组投篮,得分分别为10,8,a,8,7,9,6,8,如果学生甲的平均得分为8分,那么这组数据的75百分位数为( ) A.8 B.9 C.8.5 D.9.5 2. 点在抛物线上,若点到点距离为6,则点到轴的距离为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 已知为双曲线的左、右焦点,点在上,,则的面积为( ) A. B. C. D. 4某校文艺部有4名学生,其中高一､高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为( ) A. B. C. D. 5.先后两次掷一枚质地均匀的股子,事件“两次掷出的点数之和是6”,事件“第一次掷出的点数是奇数”,事件“两次掷出的点数相同”,则( ) A. A与互斥 B. 与相互独立 C. D. A与互斥 6. 如图,八面体的每一个面都是正三角形,并且4个顶点在同一个平面内,如果是边长为的正方形,则这个八面体的外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 7. 已知实数满足,则的最小值与最大值之和为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 过双曲线的右支上一点,分别向和作切线,切点分别为,则的最小值为( ) A. 28 B. 29 C. 30 D. 32 二、多项选择题(每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目的要求,全部选对得6分,部分选对得部分分,有错选的得0分) 9. 从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是( ) A.个球都是红球的概率为 B.个球不都是红球的概率为 C.至少有个红球的概率为 D.个球中恰有个红球的概率为 10. 抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于两点(点在轴的下方),则下列结论正确的是( ) A. 若,则中点到轴的距离为4 B. 弦的中点的轨迹为抛物线 C. 若,则直线斜率 D. 的最小值等于9 11. 在圆锥中,已知高,底面圆的半径为为母线的中点,根据圆锥曲线的定义,下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线,下面四个选项,正确的是( ) A. 圆的面积为 B. 椭圆的长轴长为 C. 双曲线两渐近线的夹角正切值为 D. 抛物线的焦点到准线的距离为 第二部分(非选择题 共92分) 三、填空题(每题5分,共15分) 12. 若双曲线的弦被点平分,则此弦所在的直线方程为_. 13. 已知点在圆上,点在直线上,点为中点,若,则的最小值为_. 14. 过抛物线焦点且斜率为的直线与交于两点,若为的内角平分线,则面积最大值为_. 四、解答题(共5题,满分77分) 15. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为. (1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率; (2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个是一等品的概率. 已知的三个顶点分别是点 (1)求的外接圆C的标准方程. (2)已知直线与圆相交于两点,求弦长的值. 16. 如图,在四棱柱中,底面是正方形,平面平面,. (1)求证:; (2)求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知抛物线,其焦点为F,点在抛物线C上,且. (1)求抛物线C方程; (2)O为坐标原点,A,B为抛物线上不同的两点,且,求与面积之和的最小值. 18. 已知椭圆的焦点在轴上,中心在坐标原点.以的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形,且其周长为. (1)求椭圆的方程; (2)设过点的直线(不与坐标轴垂直)与椭圆交于不同的两点, ①若直线的斜率为1,求弦长. ②设直线与直线交于点.点在轴上,为坐标平面内的一点,四边形是菱形.试问:直线PD是否过定点?若成立,请求出该定点坐标,若不成立,请说明理由. 19. 已知以下事实:反比例函数()的图象是双曲线,两条坐标轴是其两条渐近线. (1)( )直接写出函数的图象的实轴长; ( )将曲线绕原点顺时针转,得到曲线,直接写出曲线的方程. (2)已知点是曲线的左顶点.圆:()与直线:交于、两点,直线、分别与双曲线交于、两点.试问:点A到直线的距离是否存在最大值?若存在,求出此最大值以及此时的值;若不存在,说明理由. 资阳天立高二数学上学期期末适应性考试卷答案 1. 【答案】C解:由题意可得:,解得:, 将这组数据从小到大的顺序排列为,因为为整数, 所以这组数据的75百分位数为.故选C 2. 【答案】A【详解】抛物线开口向右,准线方程为, 点到焦点的距离为6,则点到准线的距离为6, 点在y轴右边,所以点到y轴距离为4.故选:A. 3. 【答案】C【详解】由题设,,又, ,则, 所以,可得,则的面积为. 故选:C 4. 【答案】C 5.【答案】B解:对于选项A:第一次掷出点数为3,第二次掷出点数为3,满足事件A,也满足事件B,因此A与能够同时发生,所以A与不互斥,故选项A错误; 对于选项B:,,,所以,所以与相互独立,即选项B正确; 对于选项C:,故选项C错误; 对于选项D:第一次掷出点数为3,第二次掷出点数为3,满足事件A,也满足事件C,因此A与C能够同时发生,所以A与C不互斥,故选项D错误;.故选:B 6. 【答案】A 【详解】由题设,八面体有外接球,且关于面对称, 则球体半径必为正方形对角线的一半,为2, 所以这个八面体的外接球的表面积为.故选:A 7. 【答案】C【详解】由题设,大致图象如下, 在各个象限均为一个四分之三圆,且半径均为, 从第一到第四象限圆心依次为, 而表示曲线上点到直线的距离, 要求的最值,只需求的最值, 又过一、三、四象限,且,即直线与曲线无交点, 由图知,,, 所以的最小、最大值分别为,故和为6.故选:C 8. 【答案】C 【详解】由题设中圆心,半径, 中圆心,半径, 根据双曲线方程知其左右焦点为,连接, 所以, 所以 , , 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立,故的最小值为30.故选:C. 9. 【答案】ACD解:由题可知,从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是, 则从甲袋中摸出一个不是红球的概率是,从乙袋中摸出一个不是红球的概率是, 对于A选项,个球都是红球的概率为,A选项正确; 对于B选项,个球不都是红球的概率为,B选项错误; 对于C选项,至少有个红球的概率为,C选项正确; 对于D选项,个球中恰有个红球的概率,D选项正确.故选:ACD 10. 【答案】BCD. 【详解】抛物线的焦点,准线方程为,设, 对于A,依题意,,解得, 线段中点的横坐标,该点到轴的距离为,A错误; 对于B,显然直线不垂直于y轴,设直线:, 由消去x得,, 则,,, 设线段中点坐标为,则,消去可得, 因此弦中点的轨迹为抛物线,B正确; 对于C,显然,由,得,, 由选项B知,有,又,则,, 因此直线的斜率,C正确; 对于D,由选项B知,, 则, 因此, 当且仅当,即时取得等号,D正确.故选:BCD 11【答案】ABD【详解】对于A,依题意,截面圆的半径为底面圆半径的一半,则圆的面积为,A正确; 对于B,如下图轴截面中,作于,则长轴长, 又,则,B正确; 对于C,如下图,与面垂直且过M的平面内,建立平面直角坐标系, 坐标原点、点P与底面距离相等,均为2,则,双曲线与底面一个交点, 设双曲线为,且,则,解得, 所以其中一条渐近线为,若其倾斜角为,则, 所以两条渐近线夹角正切值为,C错误; 对于D,如下图,建立平面直角坐标系,设抛物线与底面圆的一个交点为H, 则,点, 设抛物线方程为,则,解得, 所以抛物线的焦点到准线的距离为,D正确.故选:ABD 12. 【答案】 【详解】令弦所在直线与双曲线交点分别为,显然, 则,两式作差,有,故, 所以弦所在的直线的斜率为,故所求直线为,整理得. 故答案为: 13. .【答案】1 【详解】由题设,已知圆的方程化为,圆心,半径为2, 由垂径定理知,,即在以为圆心,1为半径的圆上, 到的距离为,故的最小值为.故答案为:1 14. 【答案】## 【详解】由抛物线方程知,,则直线, 联立,可得或,不妨令, 则,且, 由为的内角平分线,则, 设,则,整理得, 显然在圆心为,半径为2的圆上,且直线过圆心, 故点到直线距离的最大值2, 所以面积最大值为.故答案为:. 15.解:(1)设甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品为事件A,B,C,由题设得 即由①③,得P(B)=1-P(C),代入②,得 27(P(C))2-51P(C)+22=0, 解得P(C)=或P(C)=(舍去), 将P(C)=分别代入③②,可得P(A)=,P(B)=, 即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是,,. (2)设“从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少有一个是一等品”为事件D, 则P(D)=1-P()=1-P()=1-(1-P(A)) (1-P(B))(1-P(C))=1- =. 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少有一个是一等品的概率为. 16. .【答案】(1)证明见解析; (2). 【小问1详解】 平面平面,平面平面, 由底面正方形,则,面,则面, 由面,故. 【小问2详解】 取的中点为,连接,又,则, 由平面平面,平面平面,面, 所以面,又,故可构建如下图示空间直角坐标系, 则,故, 设面的一个法向量为,则, 取,则,又, 所以直线与平面所成角的正弦值. 17. 【答案】(1);(2). 解:(1)由在抛物线C上可得,,由可得,, ∵, ∴. 抛物线的方程为. (2)设代入,得,,① 设,∴,② ∵,∴,而,∴ 所以直线过定点 当且仅当,即时, 与面积之和的最小值为. 【点睛】方法点睛:在利用代数法解决最值与范围问题时,常从以下方面考虑:①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;②利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系;③利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;④利用基本不等式求出参数的取值范围;⑤利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围. 18. 【答案】(1); (2)①,②过定点,且定点为. 【解析】 【分析】(1)根据焦点三角形的周长以及等边三角形的性质可得且,即可求,可得椭圆方程; (2)联立直线与椭圆方程,应用韦达定理,由弦长公式求,由中点坐标公式得,进而根据菱形的性质可得的方程为,即可求解,,进而根据点斜式求解直线方程,即可求解. 【小问1详解】 由题意,设椭圆方程为, 以的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形,且其周长为, 所以且,可得,故, 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 设直线,联立,整理得, 设,显然,则,, 所以, ①若直线的斜率为1,则,故; ②设中点,则,, 由四边形是菱形,是的中点,且,所以直线的斜率为, 故,令,则, 所以, 设,则,, 所以, 对于,令,则,, 所以为,即,故直线PD过定点. 19. 【答案】(1)( )2;( ). (2)存在,点A到直线距离的最大值为2,. 【解析】 【分析】(1)由题意结合双曲线的性质,即可求得答案; (2)方法一:设,,,设:,联立双曲线方程,可得根与系数的关系式,进而求出两点的纵坐标,结合,即可求得参数之间的关系,代入,即可求得答案; 方法二:设,,,,, 利用,的方程求出,,的表达式,即可得的坐标,从而求出的方程,可推出过定点,即可求得答案; 方法三:设,,,,,可得,设:,联立双曲线方程化简得出,变形后利用根与系数的关系可得出,求出n,即可推出过定点,即可求得答案.. 【小问1详解】 ( )由题意可知双曲线的实轴在上,联立, 解得或,即双曲线的两顶点为, 故实轴长为; ( )将曲线绕原点顺时针转,得到曲线, 曲线的方程为; 【小问2详解】 方法一:设,,,显然直线的斜率存在,设:, 联立:得, 所以,,①, 因为:,令,则,同理,,② 依题意得,③ 由①②③得,, 所以,即或, 若,则:过点A,不合题意; 若,则:.所以,恒过, 所以,.当且仅当,即时取得, 此时方程为,结合, 解得,,, 综上所述,点A到直线距离的最大值为2,此时圆的半径为; 方法二:设,,,,, 则:,:, 联立,得, 为此方程的一根,另外一根为,则, 代入方程得,, 同理可得,, 即,, 则, 所以直线的方程为, 所以直线过定点, 所以.当且仅当,即时取得, 解得, 综上所述,点A到直线距离的最大值为2,此时圆的半径为; 方法三:设,,,,, 则, 依题意,直线不过点A,可设:, 曲线的方程改写为,即, 联立直线的方程得, 所以, 若,则,代入直线方程,无解; 故,两边同时除以得, 则,得, 直线:中,令,则, 所以,恒过, 所以,, 当且仅当,即时取得,此时,符合题意, 且方程为,解得,,, 综上所述,点A到直线距离的最大值为2,此时圆的半径为. 【点睛】难点点睛:本题考查双曲线方程求解以及直线和双曲线位置关系的应用,其中的难点是求解最值问题,解答时要注意利用直线方程和双曲线方程的联立,利用根与系数的关系式进行化简,难点就在于化简的过程十分复杂,计算量大,并且基本上都是有关字母参数的运算,需要有较强的计算能力. 学科网(北京)股份有限公司 $$