培优练9：圆锥曲线中的二级结论-2025届高三数学二轮复习

培优练9　圆锥曲线中的二级结论 一、单选题 1.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为(　　) 2.椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝(x＋c)与椭圆C的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于(　　) －1 －1 3.设F1，F2为椭圆C：y2＋＝1(0<n<1)的焦点，若在椭圆C上存在点P，满足∠F1PF2＝120°，则实数n的取值范围为(　　) 4.(2024·齐鲁名校联考)已知抛物线C：x2＝4y，过直线l：x＋2y＝4上的动点P可作C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB(　　) 斜率为2 斜率为±2 恒过点(0，－2) 恒过点(－1，－2) 5.(2024·泉州调研)已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝8x的焦点，M为C上一点，若|MF|＝8，则△MOF的面积为(　　) 4 3 8 3 6.(2024·昆明诊断)已知椭圆Г：＋＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与Г相交于A，B两点，且＝3，则k＝(　　) 1 2 7.抛物线E：y2＝4x的焦点为F，曲线l：y＝|x－1|交抛物线E于A，B两点，则△ABF的面积为(　　) 4 6 3 8 二、多选题 8.(2024·宜昌质检)伟大的古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的π倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆C的面积为12π，离心率为，F1，F2是椭圆C在x轴上的两个焦点，A为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是(　　) 椭圆C的标准方程为＋＝1 若∠F1AF2＝，则S△F1AF2＝20 存在点A，使得∠F1AF2＝ ＋的最小值为＋ 9.设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是C上异于A1，A2的一点，则下列结论正确的是(　　) 若C的离心率为，则直线PA1与PA2的斜率之积为－ 若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为b2 若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，则C的离心率的取值范围是 若|PF1|≤2b恒成立，则C的离心率的取值范围是 三、填空题 10.抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|＝8，则抛物线的方程为________. 11.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为2a2，则双曲线的离心率为________. 12.如图所示，已知抛物线C1：y2＝2px(p>0)过点(2，4)，圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0.过圆心C2的直线l与抛物线C1和圆C2分别交于P，Q，M，N，则|PM|＋4|QN|的最小值为________. 参考答案 1.D　[抛物线C：y2＝3x中，2p＝3，p＝， 故S△OAB＝＝＝.] 2.A　[法一　因为y＝(x＋c)经过左焦点， 且斜率为，故tan∠MF1F2＝， 所以∠MF1F2＝60°，所以∠MF2F1＝30°，则MF2⊥MF1， 设|MF1|＝x，则|MF2|＝|MF1|tan 60°＝x， 由椭圆的定义可知：|MF2|＋|MF1|＝2a， 即x＋x＝2a，解得x＝(－1)a， 所以|MF1|＝(－1)a， |MF2|＝x＝(3－)a， 由勾股定理得|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2， 故(－1)2a2＋(3－)2a2＝4c2， 解得＝4－2， 故椭圆离心率＝＝－1. 法二　如图，设∠MF1F2＝α＝60°， ∠MF2F1＝β＝30°， △MF1F2外接圆半径为R， 则e＝＝ ＝ ＝＝＝ ＝－1.] 3.A　[易知当点P位于椭圆的左顶点或右顶点时，∠F1PF2最大，且△PF1F2的面积也最大，故b2tan ≤×2c×b. 即n≤×2×， 又0<n<1，故解得0<n≤.] 4.D　[由题意知动点P(x0，y0)在抛物线外， 则过A，B两点的切点弦方程为x0x＝2(y0＋y)，① 又点P满足直线l的方程. 所以x0＋2y0＝4.② 联立①②得(4－2y0)x＝2(y0＋y)， 即2x－y－y0(x＋1)＝0， 令得 所以直线AB恒过点(－1，－2)，故选D.] 5.A　[法一　抛物线C：y2＝8x的准线方程为 x＝－2. 设M(x0，y0)，由抛物线的定义可知，点M到焦点F(2，0)的距离等于其到准线x＝－2的距离，所以|MF|＝x0＋2＝8，所以x0＝6. 因为点M(x0，y0)在抛物线C：y2＝8x上， 所以y＝8×6＝48，则|y0|＝4，所以S△MOF＝|OF|·|y0|＝×2×4＝4，故选A. 法二　因为抛物线C：y2＝8x关于x轴对称， 所以不妨设点M在x轴上方，直线FM的倾斜角为θ，则|MF|＝＝＝8， 所以cos θ＝，因为0<θ<π，所以θ＝，则∠OFM＝， 所以S△MOF＝|OF|·|MF|·sin∠OFM＝×2×8×sin ＝4，故选A.] 6.D　[依题意a＝2b，e＝＝， 设＝λ，因为＝3， 所以λ＝3，设直线的倾斜角为α， 则e＝ 得＝，|cos α|＝， 又k>0，∴α∈， 得cos α＝，所以k＝tan α＝.] 7.D　[作出图形如图所示， 曲线l：y＝|x－1|关于直线x＝1对称， 且曲线l过抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)， 设直线FA的倾斜角为θ，即∠AFx＝θ， 所以∠OFB＝θ， 所以直线FB的倾斜角为π－θ， 由题意可知，tan θ＝， 则|AF|＝＝， |BF|＝＝. 又∠AFB＝π－2θ，所以S△ABF＝|AF|·|BF|·sin(π－2θ)＝××sin 2θ＝＝＝＝＝8，故选D.] 8.AD　[对于A，由 解得a＝6，b＝2，c＝4， 则椭圆C的标准方程为＋＝1，故A正确； 对于B，令θ＝∠F1AF2，S△F1AF2＝b2·tan ＝，故B错误； 对于C，当点A为短轴的一个顶点时，∠F1AF2最大，此时cos∠F1AF2＝＝>0， 所以∠F1AF2为锐角， 则不存在点A，使得∠F1AF2＝，故C错误； 对于D，＋ ＝(|AF1|＋|AF2|) ＝ ≥(3＋2)＝＋， 当且仅当＝， 即|AF1|＝|AF2|时，等号成立，故D正确.] 9.BD　[设P(x0，y0)，所以＋＝1， ∵e＝＝，∴a＝2c，∴a2＝b2， ∴kPA1·kPA2＝－＝－， ∴选项A错误； 若PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为b2tan＝b2， ∴选项B正确； 若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，即C上存在四个点P使得△PF1F2的面积为b2， ∴·2c·b>b2，∴c>b，∴c2>a2－c2， ∴e∈，∴选项C错误； 若|PF1|≤2b恒成立，∴a＋c≤2b， ∴a2＋c2＋2ac≤4b2＝4(a2－c2)， ∴5e2＋2e－3≤0， ∴0<e≤，∴选项D正确.] 10.y2＝2x　[∵|AB|＝＝＝8p＝8， ∴p＝1，∴抛物线的方程为y2＝2x.] 11.　[如图.设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′， 因为以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F(c，0)， 所以S△AF′F＝S△ABF＝2a2且∠F′AF＝θ＝， 根据双曲线焦点三角形面积公式， 得S△AF′F＝. 所以2a2＝b2，即＝2，e＝＝.] 12.13　[由题设知，16＝2p×2，则2p＝8， 故抛物线的标准方程为y2＝8x， 则焦点F(2，0)， 由直线PQ过抛物线的焦点， 则＋＝＝， 圆C2：(x－2)2＋y2＝1的圆心为(2，0)，半径为1， |PM|＋4|QN|＝|PF|－1＋4(|QF|－1) ＝|PF|＋4|QF|－5 ＝2(|PF|＋4|QF|)－5 ＝2×＋5≥4＋5＝13， 当且仅当|PF|＝2|QF|时，等号成立，故|PM|＋4|QN|的最小值为13.] 学科网（北京）股份有限公司 $$