培优练8：圆锥曲线的三大定义-2025届高三数学二轮复习

培优练8　圆锥曲线的三大定义 一、单选题 1.(2024·江西九师联盟联考)阿波罗尼斯(约公元前262年～约公元前190年)，古希腊著名数学家，主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率e＝，从F2发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则sin∠F2F1E＝(　　) 2.椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称，若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　) 3.(2024·合肥质检)椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的取值范围是(　　) [2，6] [1，4] [，3] [4，] 4.(2024·苏州质检)椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一点，且P在第一象限，PF1⊥PF2，则点P的横坐标为(　　) 1 5.设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为(　　) －1 － 6.(2024·西安模拟)已知椭圆＋＝1(0<b<2)的左顶点和右焦点分别为A，F，点B，C为椭圆上关于原点O对称的两点，且kABkAC＝－，kFBkFC＝－1，则△BFC的面积为(　　) 2 2 4 7.(2024·广州调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，点A，B在C上，且满足＝2，·＝4c2－，则C的离心率为(　　) 二、多选题 8.(2024·石家庄调研)有这样一句诗歌：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点F(1，0)，直线l：x＝4，动点P与点F之间的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，下列结论中正确的是(　　) 点P的轨迹方程是＋＝1 直线x－2y＋4＝0是“最远距离直线” 平面上有一点A(－1，)，则|PA|＋2|PF|的最小值为5 点P到直线x－2y＋6＝0距离的最大值为2 9.(2024·长沙模拟)已知椭圆＋＝1上一点P位于第一象限，左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，∠F1PF2的角平分线与x轴交于点G，与y轴交于点H，则(　　) 四边形HF1PF2的周长为4＋ 直线A1P，A2P的斜率之积为－ |F1G|∶|F2G|＝3∶2 四边形HF1PF2的面积为2 三、填空题 10.(2024·成都诊断)双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线第一象限上的一点P满足△PF1F2为等腰三角形，则点P的坐标为________. 11.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交双曲线的右支于A，B两点，点M满足＋＝2，且·＝0.若cos∠AF1B＝，则双曲线C的离心率是________. 12.已知椭圆＋＝1内有一点P(1，－1)，F是椭圆的右焦点，点M在椭圆上，则|MP|＋2|MF|的最小值是________，此时点M的坐标为________. 参考答案 1.B　[设|EF1|＝m，|EF2|＝n，|F1F2|＝2c， 由题意知m－n＝2a，F2E⊥EP， ＝， 所以m2＋n2－2mm＝4a2，c＝a，m2＋n2＝4c2，所以mn＝2c2－2a2＝8a2， 又m－n＝2a，所以n2＋2an－8a2＝0， 解得n＝2a， 所以sin∠F2F1E＝＝＝.] 2.A　[如图，设点P关于x轴的对称点为P′，则kAP＝－kAP′，由题意得点P′， Q关于原点对称，故kAP′·kAQ＝－＝e2－1，所以kAP·kAQ＝－kAP′·kAQ＝1－e2＝，故e＝.] 3.A　[由题意，a＝，c＝2，e＝， 设P(x0，y0)，其中－≤x0≤， 则|PF1|＝＋x0，|PF2|＝－x0， 所以|PF1|·|PF2|＝6－x∈[2，6].] 4.A　[设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)， 根据椭圆的第二定义，|PF1|＝|x0＋| ＝a＋ex0＝＋x0.同理|PF2|＝－x0. 由PF1⊥PF2可得|PF1|2＋|PF2|2＝12＋x＝|F1F2|2＝16， 解得x0＝，故P点横坐标为.] 5.B　[∵∠F1AF2＝90°， ∴△F1AF2为等腰直角三角形，∴b＝c， ∴a2＝2b2＝2c2， ∴＝， 且∠AF2O＝45°， ∴kMA＝－1， 又kMA·kMB＝－＝－，∴kMB＝.] 6.B　[由题可知A(－2，0)，设B(x0，y0)，则C(－x0，－y0)， 由椭圆的第三定义知kABkAC＝－＝－＝－， 即b2＝2，c2＝4－b2＝2，则F(，0)， 所以kFBkFC＝·＝＝－1， 即x＋y＝2，与＋＝1联立得|y0|＝， 所以S△FBC＝S△FCO＋S△FBO＝|FO|×(|－y0|＋|y0|)＝×＝2.(另解：由|y0|＝， 得x0＝0，B，C为椭圆短轴的两个端点， 故S△FBC＝×2b×c＝2.)] 7.B　[如图，由＝2，得BF2∥AF1， |BF2|＝|AF1|，取AF1的中点M， 则四边形BMF1F2为平行四边形， |BM|＝|F1F2|＝2c， 于是·＝·＝(＋)·(＋)＝2－2＝4c2－2， 则4c2－2＝4c2－， 解得|AM|＝，|AF1|＝2|AM|＝， 由椭圆定义知|AF2|＝2a－|AF1|＝a， 又|BF2|＝|MF1|＝，|BF1|＝2a－|BF2|＝a， 由BF2∥AF1，得∠AF1F2＋∠BF2F1＝π， 即cos∠AF1F2＋cos∠BF2F1＝0， 在△AF1F2和△BF2F1中， 余弦定理得： ＋ ＝0， 即＋ ＝0， 整理得2a2＝3c2， 所以C的离心率为e＝＝.] 8.BCD　[由题意可知点P的轨迹是椭圆，其中c＝1，＝， 则b＝＝. 所以点P的轨迹方程为＋＝1，故A错误. 由得x＝－1， 则y＝，所以直线x－2y＋4＝0上存在P，其与点F之间的距离是其到直线x－2y＋4＝0的距离的一半，则直线x－2y＋4＝0是“最远距离直线”，故B正确. 由2|PF|＝d可知，|PA|＋2|PF|＝|PA|＋d， 当点P与点A纵坐标相等且点P在点A右侧时，|PA|＋2|PF|取得最小值， 为4－(－1)＝5，C正确. 由B可知，直线x－2y＋4＝0与椭圆相切，直线x－2y＋6＝0与直线x－2y＋4＝0平行，由椭圆的对称性易知与直线x－2y＋4＝0平行的另一条椭圆的切线方程为x－2y－4＝0，故直线x－2y＋6＝0与直线x－2y－4＝0之间的距离即所求距离的最大值，为＝2，故D正确.] 9.ABD　[由题意知，长半轴长a＝2，短半轴长b＝，半焦距c＝1， ∴F1(－1，0)，F2(1，0). 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4， 易得|HF1|＝|HF2|＝＝， ∴四边形HF1PF2的周长为4＋，故A正确. 由椭圆的第三定义知kA1P×kA2P＝－ ＝－，故B正确. 设P(x0，y0)，则＋＝1，0<x0<2，0<y0<，则直线PF1：y＝(x＋1)，即y0x－(x0＋1)y＋y0＝0，同理可得直线PF2：y0x－(x0－1)y－y0＝0. ∵PH是∠F1PF2的角平分线，∴点H到直线PF1的距离与点H到直线PF2的距离相等， ∴＝， 易知(x0＋1)＋y0与(x0－1)－y0必一正一负. ＝ ＝(x0＋4)， 同理得＝(4－x0)， ∴＝－， 整理得y0＝，∴x0＝1， ∴四边形HF1PF2的面积为×|F1F2|×＝2，故D正确. kPH＝＝2， 直线PH：y＋＝2x， 即y＝2x－，令y＝0，得x＝， 故G，∴|F1G|＝－(－1)＝， |F2G|＝1－＝，∴|F1G|∶|F2G|＝5∶3，故C错误.] 10.或　[由题意a＝1，b＝，c＝2，e＝2， 设P(x0，y0)(x0>1，y0>0)， 则|PF1|＝|2x0＋1|＝2x0＋1，|PF2|＝|2x0－1|＝2x0－1，|F1F2|＝4， 因为△PF1F2为等腰三角形，且显然|PF1|≠|PF2|，所以|PF1|＝|F1F2|或|PF2|＝|F1F2|， 若|PF1|＝|F1F2|，则2x0＋1＝4，解得x0＝，代入双曲线方程解得y0＝， 从而P； 若|PF2|＝|F1F2|，则2x0－1＝4， 解得x0＝， 代入双曲线方程解得y0＝， 从而P， 所以点P的坐标为或 .] 11.　[由＋＝2，得M为边BF1中点，又·＝0，所以AM⊥BF1， 所 以△ABF1为等腰三角形，|AB|＝|AF1|，∠AF1B＝∠ABF1，如图所示， 设|AF2|＝m，由双曲线第一定义可得|AB|＝|AF1|＝2a＋m，即|BF2|＝2a，|BF1|＝4a， 在△BF1F2中，由余弦定理cos∠F1BF2＝， 得＝，整理可得＝， 所以离心率e＝＝.] 12.3　　[由椭圆的方程，可知a＝2，b＝，c＝1，所以e＝，右准线l：x＝＝4. 如图， 设M在右准线l：x＝4上的射影为M1， 根据椭圆的第二定义，有e＝＝， 即2|MF|＝|MM1|， 所以|MP|＋2|MF|＝|MP|＋|MM1|. 显然，当P，M，M1三点共线时，|MP|＋|MM1|有最小值，即(|MP|＋2|MF|)min＝－xP＝4－1＝3. 此时yM＝yP＝－1，将yM＝－1代入椭圆的方程得xM＝或xM＝－(舍去)， 所以M.] 学科网（北京）股份有限公司 $$