培优练20：同构函数-2025届高三数学二轮复习

培优练20同构函数 一、单选题 1.(2024合肥调研)若2024r-20242025-x-2025y,x,y∈R,则( [A]In(y-x+1)-0 [B]In(yx+1)<0 [c]Inx-y>0 [D]Inx-y<0 2.已知实数1，x2满足x13=9,x20g3X3一2)=81，则3=() [AJ27 [B132 [c164 [D]81 3.已知函数fx)=e-ar2的定义域为alvs-4 allcol0f12),2),且对x1,x2∈ als41alco1f12),2),≠x2,f(x1)一f(x2)x1一x2<十恒成立，则实数a 的取值范围为() [Al fe24)-1,+00)[B][e-1,+IcI lalvs4lallcol(-oo,fe2)-1)[D] alvs4lallcol(-o,e2)-1) 4.若关于x的不等式ex-a≥nx十a对一切正实数x恒成立，则实数a的取值范围 是( ) [A1las4 alicol(-o,f1e)[B1(-∞，e[c](-o∞，1][D1(-o,2] 5.已知是方程2x2e2x十lnx=0的实根，则关于实数o的判断正确的是() [A]xo2In 2 [B]xole [C]2xo+In xo=0 [D]2er0+In xo=0 6.若0<x2<1,则() [A]ex2-exl>In x2-In x1 [B erl-ex2-In x2-In x1 [CI x2erl>xex2 [D]x2exl<xer2 二、多选题 7.已知a>b>1,若ea-2a=aeb+1-be4,则() [AlIn(a-b)<0 [BI In(a++b)>1 [c13a+3-b23 [D13a-1<3b 8.(2024茂名模拟)已知mem+lnn>nlnn十m(m∈R),则下列结论一定正确的是 () 【A1若m>0,则m一n>0【B1若m>0,则cm一n>0 [c)若m<0,则m+ln0[D]若m<0,则em十n>2 三、填空题 9.若关于x的不等式x2e3r≥(k+3)x+2nx+1对任意x0恒成立，则k的取值范 围是 10.(2024武汉调研)已知函数x)=x+1一xa(x≥0，a>0且a≠1)有两个不同的零 点，则实数a的取值范围为 四、解答题 11.(15分)(2024邵阳模拟)已知函数x)=ex+1一ax+1,g(x)=lnxx+2. (I)讨论函数g(x)在定义域内的单调性； (2)若x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围 参考答案 1.A[由2024r-20242025-x-2025-y,x,y∈R,可得2024r-2025-<2 024-2025-y, 由于函数y=2024,y=一2025-￥均在R上单调递增， 则函数x)=2024r一2025-x在R上单调递增. 则2024"-2025-x<2024Ψ-2025'→x)y)台xy A,B选项，>x→y-x+1>1→ln(y-x十I)>ln1=0,故A正确，B错误 C,D选项，由条件知x一y与1的大小关系无法判断，故C,D错误] 2.D[由题意得，x10,x20. 令10g32-2=1,则x2=32+,32+1=81, 得t-31=9, ,1是方程x3x=9的根。 令fx)=x3(x0),则fx)=3r+x3n3>0,∴x)在(0，+∞)上单调递增， ∴=t,即1og3x2-2=x1,.x1x2=(1og322)x2=81.] 3.A[设x1>x2,因为对x1,x2∈ais4 alcol/l2),2),当1≠x2时都有f(xl) 一f(x2)x1一x2<+3恒成立，等价于)一2x21一x22,即x)一x21 x2)x22, 令Fx)=fx)-x2=er-ar2-x2,则F(x)F2),所以Fx)在alvs-4alco10f12), 2)上为减函数， 所以F(x)=er一2(a+1x≤0在1avs4 allcollf12),2)上恒成立， 即exx≤2(a+1)在lavs4alco1f12),2)上恒成立， 令hx)=exx,x∈las4 alcol(f12,2), 则h(x)=ex(x一1)x2, 所以函数h(x)在1als4 alcol(f12),1)上单调递减，在(1,2)上单调递增， 又hals4 allcol0f12)=2e,h2)=e22,且2e<e22, 所以h(x)m<h(2)=e22, 所以e22≤2(a十1)，解得a≥e24-1,故选A.] 4.C ['.'ex-a>In x+a, .er-a+x-a≥x十nx, ∴.er-a+x-a≥ehx+lnx, 设f0=e+t,则f(0=e'+1>0, ∴)在R上单调递增， 故er-a+(x-a)≥elnx+lnx, 即fx-a)≥flnx), 即x-a≥lnx,即a≤x一lnx, 设g(x)=x一lnx, 则g(x)=1一1x=x一1x, 令gx)>0,x>1,令g(x)0,0<r1, ∴.g(x)在(1，+∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减， 故g(xin=g(1)=1,故a≤1，故选C.] 5.C[由2xr2e2x+lnx=0得 2xe2x=-Ixln x=Ixln Ix=eln I*In Ix, 构造函数x)=xe*,其中x>0, 则fx)=(x+1)e>0, 所以x)在(0，十∞)上单调递增， 根据题意，若o是方程2r2e2x+lnx=0的实根， 2xoe2x0=eln Ixoln 1x0, f2xo)=falvs4alcol(in 1x0)), 所以2xo=n1x0=-lnxo, 因此2xo十nxo=0.] 6.C[A中，e2-exl>nx2-In xer2-lnx2>ex1-ln1,设x)=ex-lnx ..f (x)=ex-Ix=xex-Ix, 设gw)=xe-1,则有g(x)=(x+1)e0恒成立，所以gx)在(0,1)上单调递增， 因为g(0)=-1<0,g(1)=e一1>0， 从而存在x∈(0,1)，使得gxo)=0, 由单调性可判断出，x∈(0，o), gx)0→f(x)0: x∈(xo,1),g(x)0→f(x)>0,所以x)在(0,1)上不单调，不等式不会恒成立， A不正确： B中，e1一e2lnx2一ln台erl+ln>e2+lnx2,设函数fx)=er+nx, 可知x)单调递增， 所以s)x2),B错误； C中，exl>x1e2exlx1>ex2x2, 构造函数x)=exx,fx)=(x一I)exx2, 则f()0在x∈(0,1)恒成立，所以x)在(0,1)上单调递减，所以)>x2)成立， C正确，D错误] 7.BC[ea-2a=aeb+1-bea, 得(b+1)ea=aeb+1+2), 所以eaa=eb+1+2b+l,令x)=exx(x>l), 则f(x)=(x-1)ex2>0, 所以x)在(1，十∞)上单调递增 因为eaa-eb+1b+1=2b+1>0, 所以fa)>fb+1),所以a>b+1, 所以a-b>1,所以ln(a-b)>ln1=0,A错误： 因为a+b>b+1+b>3>e, 所以ln(a十b)>lne=l,B正确： 易知3a十3-b3b+1+3-b23b+13-b=23,C正确： 因为a-1>b,所以3a-1>3b,D错误] 8BC[原式可变形为mem-m>lnn一lnn,即mem-m>In neln m一nn, 因而可构造函数x)=xe一x, 则m)≥nn), fx)=e(x+1)-1,当x0时，e>1,x十1>1，则ex+1)>1,fx)>0, 当x0时，0<e<1,x+1<1,则c'(x+11,f(x)0, 故x)在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上单调递增 对于A,取m=n=e,则lnn=1<m, ,x)在(0，+∞)上单调递增， ∴m)>lnnm),满足题意，但m一n=0,A错误。 对于B,若m>0,则当lnn≤0， 即0<n≤1时，em1≥n,即em-n>0: 当nn>0,即n>1时，由fx)在(0，十o)上单调递增，且fm)>lnm,得m>nn, 则em-n>0.B正确. 对于C,若m<0,则当lnn≤0，即0<n≤1时，m+ln0显然成立. 当nn>0时，即n>1时，令h(x)=fx)-f-x)=x(er十e-x-2), .'ex+e-x-222exe-x-2=0, 当且仅当e=e一x,即x=0时等号成立， ∴.当x0时，h(x)0,即x一x), 由m<0可得(m)一m), 则nn)一m), 又fx)在(0，+∞)上单调递增，且lnn>0,一m>0,∴ln一m,即lnn十m0.C 正确」 对于D,取m=一2，n=1e,则lnn=一1>m, ,x)在（一∞，0）上单调递减， fm)>fnnm,满足题意， 但em+n=1e2+le<2,D错误.故选BC] 9.(-∞，0][原不等式可变形为e2血x+3-(6x十2n)≥十1，e2nx+3x-(3x十2n x)一1≥kx, 利用e≥x十1，可得x≤0， 又x⊙0，故k≤0.] 10.(0,1)U{e}【令fx)=0,得xa+1-xa=0,即x(xa-)=0,则x=0或xa a. 当x心0时，对xa=a等号两边同时取对数可得alnx=xna, 故lnxx=lnaa(a>0且a≠1) 设函数g(x)=lmxx,则g'(x)=1一lnxx2, 当⊙e时，g(x)0,当0<x<c时，g(x)>0,所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e, 十∞)上单调递减， 故g(x)的最大值为g(e)=1e, 又当x一0+时，g)-∞，当x一十∞时，gw)一0，当1时，g)>0, 故可作出函数g(x)的大致图象如图所示 要使fx)有两个不同的零点，只需方程lmxx=naa(a0且a≠1)有一个解， 即曲线y=gx)与直线y=lnaa(a0且a≠1)有一个交点， 数形结合可知lnaa0或lmaa=Ie, 得0<a<l或a=e, 故a的取值范围为(0,1)U{e] 11解(1).g(x)=nx十2的定义域为(0，十∞)， ∴.g'(x)=1-lmx2. 由g(x)>0,得0<x<e, 由g'x0,得oe. ∴.g(x)在(0，e)上单调递增，在(e,十∞)上单调递减. (2)由fw)≥g(x),即er+1-ax+1≥mxx+2, 得a≤xex+1-lnx-x=enx+x+1-(nx+x+l)+l, 令t=lnx+x+1,t∈R, 即a≤e'-t+1恒成立，令p(t0=e'-t十1，t∈R, 则9(t0=e-1,当t∈（一∞，0）时，p'(t)0 当t∈(0，+∞)时，p'(t)>0, ∴.g(0在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上单调递增，.g(t)mm=p(0)=2,.故a ≤2.