山东省枣庄市薛城区2024-2025学年高二上学期学科素养诊断数学试题

秘密★启用前 试卷类型：A 2024~2025学年度第一学期学科素养诊断试题 高二数学 2025.01 本试卷共4页，满分为150分，考试时间120分钟。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.直线√3x-y+1=0的倾斜角为 B. 元 π D.6 2.抛物线x2=6y的焦点到其准线的距离等于 人月 B.3 C.6 D.8 3. 已知等差数列{an}的首项为1，若a,a,a+1成等比数列，则a= A.-2 B.4 C.8 D.-2或4 4.设xeR,向量a=(x,1,1),b=(1,-2,1),且a⊥b,则川a+b上 A.25 B.2W3 C.4 D.3 5.在空间直角坐标系O-yz中，点P(-2,3,1)到x轴的距离为 A.2 B.3 c.5 D.√1o 6.已知双曲线C:3x2-y2=3,则C的焦点到其渐近线的距离为 A.√2 B.3 C.2 D.3 7.已知半径为1的圆经过点(2,3)，过点M(-2,0)向圆作切线，则切线长的最大值为 A35 B.2W6 c.5 D.45 商二数学试题第1页共4页 C扫描全能王 亿人在用的扫描A 8.1 知函数f)=血号，数别a,}满足a山，且a-+》+片如为正整 数).则f(ao5)= A.-1 B.1 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2a,-1,则下列结论中正确的是 A.a2=2 B.S4=30 C.a =2 D.数列 是递增数列 a. 10.如图，R,E是双曲线G:2_上=1与椭圆C,的公共焦点，点4是G,C,在第 8 一象限内的交点，若=FA,则下列选项正确的是 A.双曲线C的渐近线为y=士8x B椭圆C,的离心率为 C.椭圆C,的方程为女 9 D.△AFF的面积为8√2 11,在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，点P满足AP=AB+xAA+yAD, x∈[0，，y∈[0，]，则 A.当x=1时，DP+BP的最小值为√5 B.当x=y时，有且仅有一点P满足DB⊥A,P C,当x+y=1时，有且仅有一点P满足到直线A,B的距离与到平面ABCD的距离 相等 D.当x2+y2=1时，直线AP与平面ADD,4所成角的大小为定值 高二数学试题第2页共4页 C扫描全能王 亿人在用的扫描A 4111 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知点P(2,-2√2)在抛物线C:y2=2px上，则点P到抛物线C的焦点的距离为 13.数列a,}满足a1=,4=1,则4= 2a.+1 14.已知正四面体ABCD的棱长为6，点E,F满足BC=1BE,BD=1BF,用过A,E, F三点的平面截正四面体ABCD的外接球E,当入∈L,3]时，截面的面积的取值范 围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题共13分) 已知直线l:4x-3y+5=0与L2垂直，且1,2经过点(-1,1). (1)求L2的一般式方程： 2)若12与圆C:x2+(Uy-4)2=25相交于A,B两点，求|AB| 16.(本小题共15分) 已知递增等差数列{an}的前n项和为A,a+a5=10,a2·a4=21,n∈N* (1)求a和A: (2)数列{b}满足21ogb.=an-1,求{凸，}的前n项和Bn: (3)若T=n+(n-1)+…+bn,求数列{Tn}的通项公式. 高二数学试题第3页共4页 C扫描全能王 】亿人在用的扫描A 17.(本小题共15分) 如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，已知AB=AC=V5,BC=4,AA=2,M,N 分别BC和AB的中点. M (1)求证：MN∥平面ACC,A: (2)判断A,B与CM是否垂直，并说明理由： (3)求平面CMN与平面L4B,B所成角的余弦值， 18.(本小题共17分) 己知数列{an},若{a,+a}为等比数列，则称{an}具有性质P. (1)若数列{an}具有性质P，a1=1,a2=2,a3=7,求a4i (2)若b,=2+(-1”,求证：数列{亿，}具有性质P: (3)数列{G,}具有性质P,9=c2=1,C=3,求n 19.(本小题共17分) 知椭圆C:三+ +京=1（α>b>0)的右焦点F坐标为（么0），两个焦点与短轴一个 端点构成等边三角形 (1)求椭圆C的方程； (2)过作点F直线1与椭圆C相交与A,B两点， （1)在x轴上存在一点Q,使得QA,QB两条直线恰好关于x轴对称，求点2的 坐标： (ii)再过该2点作x轴的垂线与1交于点M,过M作直线MN与OA平行，交x轴 MP 于点N,交直线OB于点P,求 的值。 PN 高二数学试题第4页共4页 C扫描全能王 亿人在用的扫描A高二数学试题参考答案 2025.01 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1-8 CBBD DBAC 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.AD 10.BD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.3 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题共13分) 解：(1)由直线l:4x-3y+5=0,可得斜率k= 4 -1分 3 因为1⊥1，，所以直线l2的斜率为k2=- -2分 4 又因为直线人经过点(-1，)，所以直线，的方程为y-1=-3 (x+1),--4分 4 即3x+4y-1=0.- -5分 (2)由圆C:x2+(y-4)2=25,可得圆心C(0,4),半径r=5,-7分 则圆心C到直线l2:3x+4y-1=0的距离为 d=4×4-1=15 V3+45=3, 10分 所以|AB=2P2-d2=2√25-9=8 -13分 16.(本小题共15分) [2a+4d=10 解：(1)设数列{an}公差为d(d>0),由 (a+d)(a,+3d)=21' 1分 解得 a1=1a1=9 或 d=2d=-2 (舍去)， -2分 所以an=1+(n-1)×2=2n-1, -3分 高一数学试题第1页共7页 4.=no,+mnDd. 2 =m(2n-)+-少x2=2n2-n+n2-n=3n2-2n. -5分 2 (2)由21og2bn=2n-2,即1og2b。=n-1,得bn=2 7分 公2示=2，么=1，所以么}为首页为1公比为2的等比数列， bul=2” 812 -10分 1-2 =2°-1- (2)方法一：Tn=6+(n-16+…+b,由(1)知b,=2-, 所以Tn=n×2°+(0n-1)×2+(n-2)×22+…+2×2"-2+1×2-, 2T,= n×2+(n-1)×22+…+3×2-2+2×2+1×2”-12分 两式相减得 Tn=2+22+23++2-2+21+2”-n 2-2+州 -n=21-(n+2). 1-2 -15分 方法二：Tn=b+(n-1)b2+.+b =b+(6+b)+(b+b2+b)++(6+b2+…+b) 12分 =S+S2++Sn=(2-1H(22-1H…+(2-) =2+2++2m=22- -m=2+-2-n -15分 2-1 17.(本小题共15分) 解：(1)连接AB,AC,,由于M,N分别BC和AB的中点，则MN∥AC,2分 又因为ACc平面ACC,A,MN文平面ACC,A, 因此MN∥平面ACCA, 4分 高一数学试题第2页共7页 (2)取BC中点O,连接OA,OM,则OM∥BB,，则OM⊥平面ABC, 由于AB=AC,则AO⊥BC,因此，OB,OA,OM两两垂直.- --5分 以O为原点，OB,OA,OM的方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系， 则A0,10),B(20.0.C(-2,00,M(00,2,N12,6分 MC=(-2,0,-2),AB=(2,-1,-2)· 所以AB.MC=(（-2,0,-2)(2,-1,-2)=0. 所以AB与CM垂直.8分 3)m=02.B=(2-1.0. 设平面CMN的一个法向量为n=(x,y,2) n·MN=0 x=1 所以 x+2y-名=0 n.M元=0 取{=4 -2x1-221=0 31=-1 则%=(1，-4，-1)- 10分 设平面CMN的一个法向量为2=(x2,y2,2), h2·AB=0 所以 2-=0,即 y2=2x2 h2·AA=0 2z2=0 (z2=0 取2=(1,2,0)，则 12分 cos(,2)=% (1,-4,-1)(1,2,0)7√10 -14分 m1 √18×15 30 设AB与平面CMN所成角为O,则 cos0-cos7 0 高一数学试题第3页共7页 即求平面CMN与平面AABB与所成角的余弦值为 7N10 -15分 30 18.(本小题共17分) 解：(1)由题意可知a,+a2,a2+a,a+a成等比数列. 则(a2+a)2=(a1+a2(a+a4) 即(2+7)2=(1+2)(7+a4), -2分 81=21+3a4,解得a4=20.- -4分 (2)证明：bn+b1=2”+(-1)”+21+(-1)m+1=3.2”: -5分 bn1+bn42=21+(-1)++2*2+(-1)+2=32+ --6分 b+b2=3:24=2:6+6,=6, -8分 bn+b413.2" 数列仍。+b}是以6为首项，以2为公比的等比数列，故数列具有性质P-9分 (3)由数列{cn}具有性质P,则{Cn+C}为等比数列， 因为G+C2=1+1=2,92+C3=1+3=4 10分 所以 C9+C9=2, Ci +C2 故数列{cn+cn+}为以2为首项以2为公比的等比数列. 则cn+C41=22=2”, 11分 222 -13分 即器甘将为身君 -15分 236 则数列气-是以上为首项，以-1为公比的等比数列， 23 6 -16分 高一数学试题第4页共7页 得c 2”+(-1) 17分 3 19.(本小题共17分) c=1 解：(1)依题意得 解得a=2,b=√5 -2分 a2=b2+c2 所以椭圆C的方程为 x2,y2 -3分 43 (2)(i)设直线1的方程为：x=my+1,m≠0，A(x,Bx2,y2), 联立 {2g4469-0 -4分 其中△=(6m)2+4.9(3m2+4)=36.4(m2+1)>0, 6m 9 则y+y2= 4+3m'=4+3m,y+5=3 2-5分 设Q(t,0),因为QA,QB恰好关于x轴对称，所以kg4+kB=0, 即+=0， -6分 x1-1x3-1 即(：2-t)+y2(x-t)=0,即y(my2+1-t)+y2(my+1-t)=0 整理可得2y2+(1-t)(以+2)=0， 8分 4+3m =0, 即-6m4-=0得4-1=0，即1=4. 4+3m1 所求点Q的坐标为(4,0).- -9分 3 (ⅱ)对于直线1的方程，令x=4,得y= m 高一数学试题第5页共7页 所以点M的坐标为M -11分 由于直线OA的斜率为ko4=上 直线MN1/直线OA,所以kv=当 从而直线MN的方程为y--兰(x-4),① m x 令y=0,得x=4-3x=4my-3x my my 于是点N的坐标为N m-3,0 12分 my 所以直线OB的方程为y=上x,② X2 联立方程①②得 x=mx+3-my X2 mx 即mxy2x=myx2x+x2·(3-my,), 即m(xy2-yx2)x=x2·(3-my), 其中xy2-y2=(my+1)y2-(my2+1)以=-片， 所以m(2-y)x=x2(3-my), 于是有 x3-m m(y2-y) 从面，为6) -14分 m(y2-y) 3 MN yu= m 3(2-y)3(2-y) ③---15分 PN Yp ·(3-y） h(3-my)3y,-myy2’ m(y2-y) 2m 3 方法一：由乃+为=3%得m%=20+), 高一数学试题第6页共7页 34=）= 3(y2-y) 代入③式得 3奶w530,+》 MN 即 MN =2,所以PN -17分 PN 方法二：③式中令 3-）=元，得3(0y,-y）=3%-m)· 3y2-my y2 整理得元myy2=3[(2-l)y2+], 2 3 由y+y3= 3,得m=0+乃小，代入得1=2. MN=2.所以PN I=1 -17分 高一数学试题第7页共7页